1、第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第四课时作者：郑吉星 整 体 设 计教学分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义本节课通过教师
2、提出问题、设置情境及对和角公式中 、 关系的特殊情形 时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想这一切教师要引导学生自己去做，因为数学课程标准提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验” 在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神三维目标1通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题
3、目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力2通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力3通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神重点难点教学重点：二倍角公式的推导及其应用教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式课时安排1 课时 教 学 过 程导入新课思路 1.(复习导入)请
4、学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课思路 2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若 sin ， ( ，)，求 sin2，cos2 的35 2值学生会很容易看出：sin2 sin( ) sin coscos sin2sin cos 的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式推进新课Error!Error!还 记 得 和 角 的
5、正 弦 、 余 弦 、 正 切 公 式 吗 ？ (请 学 生 默 写 出 来 ， 并 由 一 名 学 生 到 黑 板默 写 )你写的这三个公式中角 、 会有特殊关系 吗？此时公式变成什么形式？在得到的 C2公式中，还有其他表示形式吗？细心观察二倍角公式的结构，有什么特征呢？能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )2sin( )cos( )，cos( )cos 2( )sin 2( )思考过公式的逆用吗？想一想 C2还有哪些变形？请思考以下问题：sin22sin 吗？cos2
6、2cos 吗？tan22tan 吗？活动：问题，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的 ，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试如果学生想到 ， 会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板上的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义同时开拓学生的思维空间，为学生
7、将来遇到的 3 或 3 等角的探究附设类比联想的源泉sin( )sin coscossin sin22sin cos(S2)；cos( )coscos sin sincos2cos 2sin 2(C2)；tan() tan2 (T2)tan tan1 tantan 2tan1 tan2这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角” 、教师适时提出问题，点拨学生结合 sin2cos 21 思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式sin22sincos S2cos2cos 2sin
8、 2C2tan2 T2tan1cos22cos 21cos2 12sin 2这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)倍角公式给出了 的三角函数与 2 的三角函数之间的关系问题，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征并记忆，首先公式左边角是右边角的 2 倍；左边是 2 的三角函数的一次式，右边是 的三角函数的二次式，即左到右升幂缩角，右到左降幂扩角二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式问题，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：( ) 这里的“倍角”专指“ 二倍角” ，遇到“三倍角”等名词时， “三”字
9、等不可省去；( )通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；( ) 二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；()公式(S 2)，(C 2)中的角 没有限制，都是 R.但公式 (T2)需在 k 和 k (kZ )时才成立，这一条件限12 4 2制要引起学生的注意但是当 k ，kZ 时，虽然 tan 不存在，此时不能用此公式，2但 tan2 是存在的，故可改用诱导公式问题，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于 2 是 的二倍的形式，其他如 4 是 2 的二倍， 是 的二倍，3 是 的二倍， 是 的二倍， 是2 4 32 3 6 2 的二倍等，所有这些都可以应
10、用二倍角公式4 2例如：sin 2sin cos ，cos cos 2 sin 2 等等2 4 4 3 6 6问题，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意如：sin3 cos3 sin6，4sin cos 2(2sin cos )2sin ，12 4 4 4 4 2tan80，cos 22sin 22cos4，2tantan2(1tan 2)等等2tan401 tan240问题，一般情况下：sin2 2sin ，cos22cos ，tan22tan.若 sin22sin，则 2sincos2sin ，即 sin0 或 cos1，此时 k(kZ)若 c
11、os22cos，则 2cos22cos10，即 cos (cos 舍去)1 32 1 32若 tan22tan，则 2tan，tan0，即 k(kZ)2tan1 tan2解答：(略)Error!思路 1例 1 已知 sin2 ， ，求 sin4，cos4，tan4 的值513 4 2活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的本题中的已知条件给出了 2 的正弦值由于 4 是 2 的二倍角，因此可以考虑用倍角公式本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍
12、角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成解：由 ，得 2.4 2 2又sin2 ，513cos2 .1 sin221 5132 1213于是 sin4sin2(2)2sin2cos22 ( ) ；513 1213 120169cos4cos2(2)12sin 2212( )2 ；513 119169tan4 ( ) .sin4cos4 120169 169119 120119点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1不
13、查表，求值：sin15 cos15.解：原式 .sin15 cos152 sin215 2sin15cos15 cos21562点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力2若 ，则 cossin 的值为( )cos2sin 4 22A B C. D.72 12 12 72答案：C3下列各式中，值为 的是( )32A2sin15cos15 Bcos 215sin 215C2sin 2151 Dsin 215cos 215答案：B例 2 证明 tan .1 sin2 cos21 sin2 cos2活动：先让学生思考一会，鼓励
14、学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予表扬；对暂时找不到思路的学生给
15、予点拨、鼓励强调“1”的妙用，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它证明：方法一：左 sin2 1 cos2sin2 1 cos2 2sincos 1 1 2cos22sincos 1 2cos2 1 sincos 1 cos2sincos cos2 sincos sin2sincos cos2 tan右sincos sincossin cos所以，原式成立方法二：左 sin2 cos2 sin2 sin2 cos2sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 sin2 2sin2sin2 2cos2 tan右2sinsin cos
16、2cossin cos方法三：左 1 sin2 cos21 sin2 cos2 sin2 cos2 2sincos cos2 sin2sin2 cos2 2sincos cos2 sin2sin cos2 cos sincos sinsin cos2 cos sincos sinsin cossin cos sin cossin cossin cos cos sin tan右sin cos2sinsin cos2cos点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细
17、体会这点在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是思路 2例 1 求 sin10sin30sin50sin70的值活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式并点拨学生结合诱导公式思考学生经过探索发现，如果用诱导公式把 10，30 ， 50，70正弦的积化为 20，40，60，80余
18、弦的积，其中 60是特殊角，很容易发现 40是 20的 2 倍， 80是 40的 2 倍，故可考虑逆用二倍角公式解：原式cos80cos60cos40cos2023sin20cos20cos40cos80232sin20 .sin16016sin20 sin2016sin20 116点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律例 2 在ABC 中，cosA ，tanB 2，求 tan(2A2B)的值45活动：这 是 本 节 课 本 上 最 后 一 个 例 题 ， 结 合 三 角 形 ， 具 有
19、 一 定 的 综 合 性 ， 同 时 也 是 和与 差 公 式 的 应 用 问 题 教 师 可 引 导 学 生 注 意 在 三 角 形 的 背 景 下 研 究 问 题 ， 会 带 来 一 些 隐 含的 条 件 ， 如 A B C ， 0A， 0B， 0C.可 先 让 学 生 讨 论 探 究 ， 教 师 适 时 点拨 学 生 探 究 解 法 时 教 师 进 一 步 启 发 学 生 思 考 由 条 件 到 结 果 的 函 数 及 角 的 联 系 由 于 对2A 2B 与 A， B 之 间 关 系 的 看 法 不 同 会 产 生 不 同 的 解 题 思 路 ， 所 以 学 生 会 产 生 不 同 的
20、 解 法 ，不 过 它 们 都 是 对 倍 角 公 式 、 和 角 公 式 的 联 合 运 用 ， 本 质 上 没 有 区 别 不 论 学 生 的 解 答 正 确与 否 ， 教 师 都 不 要 直 接 干 预 在 学 生 自 己 尝 试 解 决 问 题 后 ， 教 师 可 与 学 生 一 起 比 较 各 种 不同 的 解 法 ， 并 引 导 学 生 进 行 解 题 方 法 的 归 纳 总 结 基 础 较 好 的 班 级 还 可 以 把 求 tan(2A 2B)的 值 改 为 求 tan2C 的 值 解：方法一：在ABC 中，由 cosA ，0A，得45sinA .1 cos2A1 452 35
21、所以 tanA ，sinAcosA 35 54 34tan2A .2tanA1 tan2A2341 342 247又 tanB2，所以 tan2B .2tanB1 tan2B 221 22 43于是 tan(2A2B) .tan2A tan2B1 tan2Atan2B247 431 247 43 44117方法二：在ABC 中，由 cosA ，0A，得45sinA .1 cos2A1 452 35所以 tanA .又 tanB2，sinAcosA 35 54 34所以 tan(AB) .tanA tanB1 tanAtanB34 21 342 112于是 tan(2A2B)tan2(AB) .
22、2tanA B1 tan2A B2 1121 1122 44117点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别，其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考，以拓展学生的视野.变式训练化简 .1 cos4 sin41 cos4 sin4解：原式 cot2 .2cos22 2sin2cos22sin22 2sin2cos2 2cos2cos2 sin22sin2sin2 cos2Error!已知 cos ， cos() ，且 0 ，17 1314 2(1)求 tan2 的值；(2)求 .解：(1)由 cos ，0 ，得 sin .17 2 1 cos2 1 172 437tan
23、 4 .于是 tan2 .sincos 437 71 3 2tan1 tan2 2431 432 8347(2)由 0 ，得 0 .2 2又cos() ，sin( ) .1314 1 cos2 1 13142 3314由 ( )，得coscos ( )coscos()sinsin( ) .17 1314 437 3314 12 .3点评：本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力Error!课本习题 3.1 A 组 15、16、 17.Error!1先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变
24、化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值与恒等式证明2教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的 设 计 感 想1新课改的核心理念是：以学生发展为本本节课的设计流程从回顾探索应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，
25、由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深地留在了学生记忆中本节课的教学设计流程还是比较流畅的2纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的3教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生
26、真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣 备 课 资 料一、三角变换中的“一致代换”法在三角变换中， “一致代换”法是一种重要的方法，所谓“一致代换”法，即在三角变换中，化“异角” “异名” “异次”为“同角” “同名” “同次”的方法它主要包括：在三角函数式中，如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称入手，尽量化为同名函数，常用“化弦法” ；如果含有异角，一般应从变化角入手，尽量化不同角为同角，变复角为单角；如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂二、备用习题1求值： .1sin10 3cos10答案：原式 cos
27、10 3sin10sin10cos10 212cos10 32sin10sin10cos10 4.4sin30cos10 cos30sin102sin10cos10 4sin30 10sin202化简：cos36cos72.答案：原式 .2sin36cos36cos722sin36 2sin72cos724sin36 sin1444sin36 143化简：coscos cos cos cos .2 22 23 2n 1答案：先将原式同乘除因式 sin ，然后逐次使用倍角公式，则原式.2n 1 sin22nsin 2n 14求值：sin6sin42sin66sin78.答案：原式sin6cos4
28、8cos24cos12sin6cos12cos24cos48 .24cos6sin6cos12cos24cos4824cos6 sin9624cos6 cos616cos6 1165若 cos( x ) ， x ，求 的值4 35 1712 74 sin2x 2sin2x1 tanx答案：原式 sin2xtan( x )2sinxcosx 2sin2x1 tanx 2sinxcosx1 tanx1 tanx 4 x ，1712 74 x2.53 4又 cos( x) ，4 35sin( x) ，tan( x) .4 45 4 43sin2x sin2( x) cos2( x )2cos 2( x )1 ，4 2 4 4 725故原式 ( ) .725 43 28756已知 cos( ) ，sin( ) ，且 ，0 ，求 cos()的值2 19 2 23 2 2答案：cos( ) ， ，0 ，2 19 2 2 .2 2sin( ) .2 459sin( ) ， ，0 ，2 23 2 20 .2 2cos( ) .2 53cos cos( )( ) 2 2 2cos( )cos( )sin( )sin( )2 2 2 2( ) ，19 53 459 23 7275cos() 2cos 2 1 . 2 239729
