1、第二章第三节平面向量的基本定理及坐标表示第一课时整 体 设 计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示这是引进平面向量基本定理的一个原因在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来方便联系平面向量基本定理和向量的正
2、交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量，最方便的是分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y，使得 ax iyj .于是，平面内的任一向量 a 都可由 x、y 唯一确定，而有序数对( x，y)正好是向量 a 的终点的坐标，这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想三维目标1通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不
3、共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达3了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量正交分解，会用坐标表示向量重点难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示教学难点：平面向量基本定理的运用课时安排1 课时 教 学 过 程导入新课思路 1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜
4、面上的物体所受的竖直向下的重力 G，可分解为使物体沿斜面下滑的力 F1 和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力 F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角 的方向起飞的速度为 v，可分解为沿水平方向的速度 vcos 和沿竖直方向的速度 vsin.从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是作正交分解，即在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么 a 与 e1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解在平面上，如果
5、选取互相垂直的向量作为基底，是否会给我们带来更方便的研究呢？思路 2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理教师可以通过对多个向量进行分解或者合成，在黑板上给出图象进行演示和讲解如果条件允许，用多媒体教学，通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课Error!Error!给定平面内任意两个不共线的非零向量 e1、e 2，请你作出向量 3e12e 2、e 12e 2.平面
6、内的任一向量是否都可以用形如 1e1 2e2 的向量表示呢？如图 1，设 e1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究 a 与 e1、e 2之间的关系图 1活动：如图 1，在平面内任取一点 O，作 e 1， e 2， a.过点 C 作平行于直OA OB OC 线 OB 的直线，与直线 OA 交于点 M；过点 C 作平行于直线 OA 的直线，与直线 OB 交于点 N.由向量的线性运算性质可知，存在实数 1、 2，使得 1e1， 2e2.由于 OM ON OC ，所以 a 1e1 2e2.也就是说，任一向量 a 都可以表示成 1e1 2e2 的形式OM O
7、N 由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量 e1、e 2表示出来当 e1、e 2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便由此可得：平面向量基本定理：如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1、 2，使 a 1e1 2e2.定理说明：(1)我们把不共线向量 e1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1、e 2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一讨论结果：可以a 1e1 2e2.E
8、rror!平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量 a 和 b(如图 2)，作 a， b，则AOB(0180) 叫做OA OB 向量 a 与 b 的夹角图 2显然，当 0时，a 与 b 同向；当 180时，a 与 b 反向因此，两非
9、零向量的夹角在区间0，180内如果 a 与 b 的夹角是 90，我们说 a 与 b 垂直，记作 a b.由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量 a，均可以分解为不共线的两个向量1a1 和 2a2，使 a 1a1 2a2.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解例如，重力 G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便讨论结果：存在夹角且两个非零向量的夹角在区间0， 180内；向量与直线的夹角不一样可以Error!我们知道，在平面直角坐标系中
10、，每一个点都可用一对有序实数即它的坐标 表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？活动：如图 3，在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得图 3axiyj. 这样，平面内的任一向量 a 都可由 x、y 唯一确定，我们把有序数对( x，y)叫做向量 a的坐标，记作a(x， y) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示显然，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)教师
11、应引导学生特别注意以下几点：(1)向量 a 与有序实数对(x ，y) 一一对应(2)向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系如图所示， 是表示 a 的有向线段，A 1、B 1 的坐标分别为(x 1，y 1)、A1B1 (x2，y 2)，则向量 a 的坐标为 xx 2x 1，y y 2y 1，即 a 的坐标为(x 2x 1，y 2y 1)(3)为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量 a 的有向线段的起点，这时向量a 的坐标就由表示向量 a 的有向线段的终点唯一确定了，即点 A 的坐标就是向量 a 的坐标，流程表示如下： a xi yj a的
12、 坐 标 为 x，y a OA ，Ax，y讨论结果：平面内的任一向量 a 都可由 x、y 唯一确定，我们把有序数对( x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a(x，y) 是一一对应的Error!思路 1例 1 如图 4，在 ABCD 中， a， b，H 、M 是 AD、DC 的中点，F 使AB AD BF BC，以 a，b 为基底分解向量 与 .13 AM HF 图 4活动：教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解，让学生自己动手、动脑教师可以让学生到黑板上板书步骤，并对书写认真且正确的同学提出表扬，对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励解：由 H、M、F 所在位置，有 b a.AM AD
13、DM AD 12DC AD 12AB 12 HF AF AH AB BF AH AB 13BC 12AD a b.AB 13AD 12AD 16点评：以 a、b 为基底分解向量 与 ，实为用 a 与 b 表示向量 与 .AM HF AM HF 变式训练已知向量 e1、e 2(如图 5(1)，求作向量2.5e 13e 2.图 5作法：(1)如图 5(2)，任取一点 O，作 2.5e 1， 3e2.OA OB (2)作 OACB.故 就是求作的向量.OC 例 2 如图 6，分别用基底 i、 j 表示向量 a、b、c、d，并求出它们的坐标图 6活动：本例要求用基底 i、j 表示 a、b、c、d，其关
14、键是把 a、b、c、d 表示为基底i、j 的线性组合一种方法是把 a 正交分解，看 a 在 x 轴、 y 轴上的分向量的大小把向量a 用 i、j 表示出来，进而得到向量 a 的坐标另一种方法是把向量 a 移到坐标原点，则向量 a 终点的坐标就是向量 a 的坐标同样的方法，可以得到向量 b、c、d 的坐标另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a 与 b 关于 y 轴对称，a 与 c 关于坐标原点中心对称，a 与 d 关于 x 轴对称等由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标解：由图可知，a x iyj ，AA1 AA2 a(2,3)同理，b2i3j(2,3)；c2i3j(2，3)；d2
15、i3j(2，3)点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.变式训练i，j 是两个不共线的向量，已知 3i 2j， ij ， 2ij，若AB CB CD A、B、D 三点共线，试求实数 的值解： (2ij )(i j)3i(1)j，BD CD CB 又A、B 、D 三点共线，向量 与 共线因此存在实数 ，使得 ，AB BD AB BD 即 3i2j3i(1)j 3i(1)j.i 与 j 是两个不共线的向量，故 2,)(1 当 A、B、D 三点共线时， 3.3例 3 下面三种说法：一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为该
16、平面所有向量的基底；零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A B C D活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底解析：平面内向量的基底是不唯一的在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量综上所述，正确答案：B点评：本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解思路 2例 1 如图 7，M 是ABC 内一点，且满足条件 2 3 0，延长 CM 交 ABAM
17、 BM CM 于 N，令 a，试用 a 表示 .CM CN 图 7活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论 1：e 1与 e2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数 1、 2，使得1e1 2e20，则 1 20.推论 2：e 1与 e2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数 a1，a 2，b 1，b 2，使得aa 1e1a 2e2b 1e1b 2e2，则Error!解： ， ，AM AN NM BM BN NM 由 2 3 0，得( )2( )3 0.AM BM CM AN NM BN NM CM 3 2 3
18、 0.AN NM BN CM 又A、N、B 三点共线，C、M、N 三点共线，由平行向量基本定理，设 ， ，AN BN CM NM 3 2 3 0.BN NM BN NM (2) (33 ) 0.BN NM 由于 和 不共线，BN NM Error! Error! .CM NM MN 2 2a.CN CM MN CM 点评：这里选取 ， 作为基底，运用化归思想，把问题归结为 1e1 2e20 的形BN NM 式来解决.变式训练设 e1与 e2是两个不共线向量，a3e 14e 2，b2e 15e 2，若实数 、 满足ab5e 1 e2，求 、 的值解：由题设 ab(3e 14e 2)(2e 15e
19、 2)(32)e 1(4 5)e 2.又 ab5e 1e 2.由平面向量基本定理，知 .,3解之，得 1 ，1.例 2 如图 8，ABC 中，AD 为ABC 边上的中线且 AE2EC，求 及 的值AGGD BGGE图 8活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后，然后结合向量的相等进行求解比值解：设 ， .AGGD BGGE ，即 ，BD DC AD AB AC AD ( )AD 12AB AC 又 ( )，AG GD AD AG . AG 1 AD 21 AB 21 AC 又 ，即 ( )，BG GE AG AB
20、 AE AG (1 ) ， .AG AB AE AG 11 AB 1 AE 又 ， . AE 23AC AG 11 AB 231 AC 比较， 、 不共线，AB AC Error! 解之，得Error! 4， .AGGD BGGE 32点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果.变式训练过OAB 的重心 G 的直线与边 OA、OB 分别交于 P、Q 两点，设 h ，OP OA k ，试证： 3.OQ OB 1h 1k证明：设 a， b，OG 交 AB 于 D，则 ( ) (ab)(图略)OA OB OD 12OA OB
21、 12 (ab) ， (ab)kb a b， OG 23OD 13 QG OG OQ 13 13 1 3k3 QP ha kb.OP OQ P、G、Q 三点共线， .QG QP a bh akb.13 1 3k3 .31,kh两式相除，得 kh3hk ，11 3k hk 3.1h 1kError!1已知 G 为ABC 的重心，设 a， b，试用 a、b 表示向量 .AB AC AG 答案：如图 9， ，AG 23AD 图 9而 a (ba) a b，AD AB BD AB 12BC 12 12 12 ( a b) a b.AG 23AD 2312 12 13 13点评：利用向量加法、减法及数乘
22、的几何意义2已知向量 a(x3，x 23x4)与 相等，其中 A(1,2)，B (3,2)，求 x.AB 答案：A(1,2)，B(3,2) ， (2,0)AB a ，(x3，x 23x 4) (2,0)AB Error! 解得Error!x1.点评：先将向量 用坐标表示出来，然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解AB 决Error!1先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示2教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合、几何作图Error!课本习题 2.3 A 组 1. 设 计 感
23、想1本 节 课 内 容 是 为 了 研 究 向 量 方 便 而 引 入 的 一 个 新 定 理 平 面 向 量 基 本 定 理 教 科书 首 先 通 过 “思 考 ”： 让 学 生 思 考 对 于 平 面 内 给 定 的 任 意 两 个 向 量 进 行 加 减 的 线 性 运 算 时 所表 示 的 新 向 量 有 什 么 特 点 ， 反 过 来 ， 对 平 面 内 的 任 意 向 量 是 否 都 可 以 用 形 如 1e1 2e2的 向量 表 示 2教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来
24、解决这部分的题3如果条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效果整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷 备 课 资 料一、三角形三条中线共点的证明如图 10 所示，已知在ABC 中，D、E、L 分别是 BC、CA、AB 的中点，设中线AD、BE 相交于点 P.图 10求证：AD、BE 、CL 三线共点分析：欲证三条中线共点，只需证明 C、P、L 三点共线证明：设 a， b，则 b， a b.AC AB AL 12 CL AL AC 12
25、设 m ，则 m( )，AP AD AC CP AC CD (1m) m (1m)am (ba) (1 m)a mb. CP AC CD 12 12 12又设 n ，则 n( )，EP EB CP CE EC CB (1n) n (1n)an(ba) ( n)anb. CP CE CB 12 12 12由得Error!解之，得Error! a b (a b) .CP 23 13 23 12 23CL C、P、L 三点共线AD、BE、CL 三线共点二、备用习题1如图 11 所示，已知 ， ，用 、 表示 ，则 等于( )AP 43AB AQ 13AB OA OB OP OP 图 11A. 13OA 43OB B 13OA 43OB C 13OA 43OB D. 13OA 43OB 答案：B2已知 e1，e 2是两非零向量，且| e1|m，|e 2|n，若 c 1e1 2e2(1， 2R)，则|c|的最大值为( )A 1m 2n B 1n 2mC| 1|m| 2|n D| 1|n| 2|m答案：C
