1、教学设计32 简单的三角恒等变换作者：房增凤整 体 设 计教学分析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用本节的内容都是用例题来展现的，通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上，从而使三角函数性质的研究得到延伸三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一而对于三角变换，不仅
2、要考虑三角函数式结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点三维目标1通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力2理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用3通过例题的解答，引导学生对变换对象进行对比、分
3、析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练2三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力课时安排2 课时教 学 过 程第 1 课时导入新课思路 1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变
4、换以及引入辅助角的变换前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和(差) 角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换思路 2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这
5、是三角式恒等变换的重要特点推进新课Error!Error! 与 有什么关系？2如何建立 cos 与 sin2 之间的关系？sin 2 ，cos 2 ，tan 2 这三个式子有什么共同特cos1cos1cos1点？通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗？证明1 sincos sin sin ；212sinsin 2sin cos .并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式 cos12sin 2 ，将公式中的 用2代替，解出 sin2 即可教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现： 是 的二倍角在2 2 2倍角公式 cos212
6、sin 2 中，以 代替 2，以 代替 ，即得 cos12sin 2 ，2 2所以 sin2 . 2 1 cos2在倍角公式 cos22cos 2 1 中，以 代替 2，以 代替 ，即得2cos2cos 2 1，2所以 cos2 . 2 1 cos2将两个等式的左右两边分别相除，即得tan2 . 2 1 cos1 cos教师引导学生观察上面的式，可让学生总结出下列特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”( 即用此式可达到“降次”的目的)教师与学生一起总结出这样的特点，并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到提醒学生在以后的
7、学习中引起注意同时还要强调，本例的结果还可表示为：sin 2，cos ，tan ，并称之为半角公式(不要求记忆)，符号由1 cos2 2 1 cos2 2 1 cos1 cos所在象限决定2教 师 引 导 学 生 通 过 这 两 种 变 换 共 同 讨 论 归 纳 得 出 ： 对 于 三 角 变 换 ， 由 于 不 同 的 三 角 函 数式 不 仅 会 有 结 构 形 式 方 面 的 差 异 ， 而 且 还 有 所 包 含 的 角 ， 以 及 这 些 角 的 三 角 函 数 种 类 方 面 的差 异 因 此 ， 三 角 恒 等 变 换 常 常 先 寻 找 式 子 所 包 含 的 各 个 角 间
8、 的 联 系 ， 并 以 此 为 依 据 ， 选 择可 以 联 系 它 们 的 适 当 公 式 ， 这 是 三 角 恒 等 变 换 的 重 要 特 点 代 数 式 变 换 往 往 着 眼 于 式 子 结 构形 式 的 变 换 对于问题：(1)如果从右边出发，仅利用和( 差)的正弦公式作展开合并，就会得出左式但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含 sincos 呢？想到 sin() sin coscos sin.从方程角度看这个等式，sincos，cossin 分别看成两个未知数二元方程要求得确定解，必须有 2 个方程，这就促使
9、学生考虑还有没有其他包含 sincos 的公式，列出 sin()sin coscossin 后，解相应的以 sincos，cossin 为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果(2)由(1)得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与(1)没有什么区别只需做个变换，令 ， ，则 ， ，代入(1)中的式子即得(2)中的式子 2 2证明：(1)因为 sin()sincoscossin，sin( )sin coscossin ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin( )sin( )2sincos，即 sincos sin( )sin()12(
10、2)由(1)，可得 sin()sin( ) 2sin cos. 设 ，那么 ， . 2 2把 ， 的值代入 ，即得 sinsin2sin cos . 2 2教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想，如把 看作 ， 看作 ，从而把包含 ， 的三角函数式变换成 ， 的三角函数式另外，把 sincos 看作 x，cossin 看作 y，把等式看作x，y 的方程，通过解方程求得 x，这就是方程思想的体现讨论结果： 是 的二倍角2sin 2 .2 1 cos2略(见活动)Error!思路 1例 1 化简 .1 sinx cosx1 sinx cos
11、x活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系解：原式 2sin2x2 2sinx2cosx22cos2x2 2sinx2cosx22sinx2sinx2 cosx22cosx2cosx2 sinx2tan .x2点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练化简 sin50(1 tan10)3解：原式sin50(1 )sin503sin10cos10 212cos10 32sin10cos102sin50sin30cos10 cos30sin10cos102cos4
12、0 1.sin40cos10 sin80cos10 cos10cos10例 2 已知 sinx cosx ，求 sin3xcos 3x 的值12活动：教师引导学生利用立方差公式对原式变换化简，然后再求解由于(ab)3a 33a 2b3ab 2b 3a 3b 33ab(ab) ，a 3b 3(ab) 33ab( ab)解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由 sinxcosx 与 sinxcosx 之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想本题也可直接应用上述公式求之，即sin3xcos 3x(sinx cos x)33sin xcosx(sinxcosx) .此方法往往适用于 s
13、in3xcos3x 的化1116简问题之中解：由 sinxcos x ，得(sinx cos x)2 ，12 14即 12sinxcos x ，sinxcosx .14 38sin 3x cos3x(sinx cos x)(sin2xsin xcosxcos 2x) (1 ) .12 38 1116点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法.变式训练已知 sincos ，且 ，则 cos2 的值是_ 15 2 34答案：725例 3 已知 1，求证： 1.cos4Acos2B sin4Asin2B cos4Bcos2A sin4Bsin2A活动：此题可从多个角度进
14、行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将 A，B 的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有 A，B 角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类从结构上看，已知条件是 a2b 21 的形式，可利用三角代换证明一： 1，cos4Acos2B sin4Asin2Bcos 4Asin2Bsin 4Acos2Bsin 2Bcos2B.cos 4A(1cos 2B)sin 4Acos2B(1cos 2B)cos2B，即 cos4Acos 2B(cos4Asin 4A)cos 2Bcos 4B.cos 4A2cos 2Acos2Bcos 4B0.(cos 2Acos 2
15、B)20.cos 2Acos 2B.sin 2Asin 2B. cos 2Bsin 2B1.cos4Bcos2A sin4Bsin2A证明二：令 cos ， sin ，cos2AcosB sin2AsinB则 cos2Acos Bcos，sin 2A sinBsin.两式相加，得 1cosBcos sin Bsin，即 cos(B)1.B2k(kZ)，即 B2k(kZ)coscos B，sinsinB.cos 2Acos Bcoscos 2B，sin 2Asin Bsinsin 2B. cos 2Bsin 2B1.cos4Bcos2A sin4Bsin2A cos4Bcos2B sin4Bsi
16、n2B点评：要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元.变式训练在锐角三角形 ABC 中，A、B、C 是它的三个内角，记 S ，求证：11 tanA 11 tanBS90 ，90A90B0.tanA tan(90B)cotB 0，tanA tanB1.S0.2tan( 2)0.2又(0 ， )，2 0，得 0 2 .2 2 2由 tantan( 2 )，得 2，2 2即 2 .2例 2 求证： 1 .sin sin sin2cos2 tan2tan2活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换
17、中经常使用的方法证明：证法一：左边sincos cossinsincos cossinsin2cos2 1 1 右边sin2cos2 cos2sin2sin2cos2 cos2sin2sin2cos2 tan2tan2原式成立证法二：右边1 cos2sin2sin2cos2 sin2cos2 cos2sin2sin2cos2sincos cossinsincos cossinsin2cos2 左边sin sin sin2cos2原式成立点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形，灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力.变式训练求证： .1 sin4 cos42tan 1 sin4 cos41
18、 tan2分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于 ，此式右边1 sin4 cos41 sin4 cos4 2tan1 tan2就是 tan2.证明：原等式等价于 tan2 .1 sin4 cos41 sin4 cos4而上式左边 tan2右边上式sin4 1 cos4sin4 1 cos4 2sin2cos2 2sin222sin2cos2 2cos22 2sin2cos2 sin22cos2sin2 cos2成立，即原等式得证.Error!1若 sin ， 在第二象限，则 tan 的值为( )513 2A5 B5C. D15 15答案：A2设 56，cos a，则 sin 等于( )2 4A. B.1 a2 1 a2
