1、第 2 课时 三角恒等变换的应用1掌握三角恒等变换的方法2会利用三角恒等变换解决三角函数问题三角恒等变换(1)asin bcos _sin( )(ab0) ，其中 tan _，a 和 b 的符号确定 所在的象限仅仅讨论 1、 、 的情况ba 3 33(2)sin2x ，cos 2x ，sin xcos x_.1 cos 2x2 1 cos 2x2(3)讨论三角函数的性质时，通常经过三角恒等变换，将三角函数的解析式化为 f(x)_的形式来解决【做一做 11】 sin x cos x 等于( )Asin 2x B. sin C. sin Dsin2 (x 4) 2 (x 4) (x 4)【做一做
2、12】 函数 ysin 2xcos 2x 的最小值等于_ 答案：(1) (2) sin 2x (3) Asin(x)a2 b2ba 12【做一做 11】 C 原式 2(22sin x 22cos x) sin .2 (x 4)【做一做 12】 y sin 4x，则最小值为 .12 12 12三角恒等变换问题剖析：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换三角恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，它以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍角公式，和差化积和积化和差公式为基础在恒等变形中要注意三角函数式中的“角”的特点，即有没有特殊角，有没有与特殊角相关联的角，有没有互余、互补的角，角与角
3、之间有没有和、差、倍、半的关系，什么角需要保留，什么角需要化掉等在恒等变形中，化简三角函数式是核心，而化简的要求是：尽量减少三角函数式中角的个数( 最好只含有相同的角 )；尽量减少三角函数式中函数名称的种类 (最好只含有同名函数)；在函数名称较多的情况下，最好只保留正弦和余弦；在选择使用三角变换公式时，应根据三角函数式中角的特点选择恰当的公式；在化简过程中，要合理使用代数手段，诸如整式、分式、根式运算以及因式分解对化简的结果，应该尽量减少项数；尽量减少函数种类和次数；尽量化为整式；对含有特殊角的三角函数要求写出其值来题型一 讨论三角函数的性质【例 1】 已知函数 f(x)sin 2xasin
4、xcos xcos 2x，且 f 1.(4)(1)求常数 a 的值及 f(x)的最小值；(2)当 x 时，求 f(x)的单调增区间0，2分析：(1)利用 f 1 求得 a，再将函数 f(x)的解析式化为 f(x)Asin(x)的形式后(4)求出最小值；(2) 利用(1) 求出函数 f(x)在 R 上的单调增区间，再与 取交集0，2反思：解答此类综合题的关键是利用三角函数的和、差、倍角、半角公式化成 f(x)A sin(x )的形式，然后借助于三角函数的图象及性质去研究 f(x)的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误题型二 在实际中的应用【例 2】 要把半径为
5、 R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使长方形截面面积最大？分析：用三角函数表示长方形的面积，转化为求三角函数式的最大值反思：本题中，将长方形面积表示为三角函数式，利用三角恒等变换转化为讨论函数yA sin(x)b 的最值问题，从而使问题得到简化这个过程蕴涵了化归思想题型三 易错辨析【例 3】 当函数 ysin x cos x，xR 取最大值时，求自变量 x 的取值集合 S.3错解：ysin x cos x23 (12sin x 32cos x)2 (sin xcos6 cos xsin6)2sin ，(x 6)则 y 取最大值 2 时，有 x 2k(k Z)，6 2则 x 2k(k
6、Z)3即 SError! .错因分析：令 k0，则 x 2k ，则 f sin cos 2.其原因3 3 (3) 3 3 3 32 32 3是化简函数解析式没有保持恒等变换，错认为 cos ，sin .6 12 6 32反思：将三角函数式化为 yAsin(x )时，每一步要保持恒等变形，否则变形的结果是错误的，如本题本题中，还可能出现的错误变形为 ysin .(x 3)答案：【例 1】 解：(1)f 1，(4)sin 2 asin cos cos 2 1 ，解得 a2.4 4 4 4f(x)sin 2x2sin xcos xcos 2xsin 2x cos 2x sin .2 (2x 4)当
7、2x 2k (kZ )，即 xk (kZ)时，sin 有最小值1，4 2 8 (2x 4)则 f(x)的最小值为 .2(2)令 2k 2x 2k (kZ)，2 4 2整理得 k xk (kZ )8 38又 x ，则 0x .0，2 38f(x)的单调增区间是 .0，38【例 2】 解：如图，设圆心为 O，长方形截面面积为 S，AOB，则ABR sin ，OBRcos ，S(Rsin )2(Rcos )2R 2sin cos R 2sin 2.当 sin 2 取最大值，即 sin 21 时，长方形截面面积最大故 时，长方形截面4面积最大，最大截面面积等于 R2.【例 3】 正解：ysin x c
8、os x23 (12sin x 32cos x)2 (sin xcos3 cos xsin3)2sin ，则 y 取最大值 2 时，有 x 2k(k Z)，则 x 2k(k Z )(x 3) 3 2 6即 SError! .1函数 y 是( )22cossin44xxA周期为 的奇函数 B周期为 的偶函数C周期为 2 的奇函数 D周期为 2 的偶函数2函数 y2sin x2cos x 的值域是 _3如图所示，圆心角为直角的扇形 AOB，半径 OA2，点 C 是 上任一点，且ABCEOA 于 E，CFOB 于 F，设AOCx ，矩形 OECF 的面积为 f(x)求：(1)f(x) 的解析式；(2
9、)矩形 OECF 面积的最大值4(2011北京东城高三期末) 已知函数 f(x) 2cos 2x1.23sinco(1)求 的值及 f(x)的最小正周期；6f(2)当 x 时，求 f(x)的最大值和最小值0,25如图所示，要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才使OAB 的周长最大？答案：1A y 22cossin44xx sin 2x ，周期 T .cos42 ， y2sin x2cos x ，则值域是 ，2sin4x23解：(1)f(x)OE ECOCcos xOCsin x4sin x cos x2sin 2x，f(x)2sin 2x，x .0,(2)f(x) 2sin 2
10、x ，x ，02x.,当 x 时，f( x)取得最大值 2，4即矩形 OECF 面积的最大值为 2.4解：(1)f(x) 23sincos1x ，3sin2cox2i6 2，且函数 f(x)的最小正周期为 .6f2sin6(2)由 x 可知， 2x ，0,76所以，当 2x 即 x 时，f (x)有最大值，最大值为 2；6当 2x 即 x 时，f (x)有最小值，最小值为1.75分析：用AOB 表示OAB 的各边长，转化为求三角函数式的最大值解：设AOB ，OAB 的周长为 l，则 ABRsin ，OBRcos ，lOAAB OBRRsin Rcos R(sin cos )R .2sin40 ， .243 l 的 最 大 值 为 ( 1)R， 此 时 ， ， 即 .故 当 时 ，2424 OAB 的周长最大
