1、图说投影,陆 俊 青年论坛科普讲座 2013年4月3日,圆圈到直线的投影N 映到 1:1 映射,1. 球极投影,北极点,南极点,圆圈,直线,球面到平面的投影N 映到 1:1映射,S2 球面,P 平面,圆圈到直线的投影 (极点:O)Q1 , Q2 映到 2:1 映射 （二次覆盖）,2. 改变极点位置,空间曲线到平面曲线的投影 CC P1 , P2 映到 P几乎 1:1 映射 (除了P1 , P2 外),3. 空间曲线的投影,空间曲线到平面曲线的投影 CC 1:1 映射 ， OP与C相切,结点： x2-y2=0 (局部坐标 （x,y）)（普通）尖点 ：x2-y3=0,C: 空间曲线， O: 极点，
2、 投影 C C 曲线一般投影定理: O 的位置充分一般,4. 曲线一般投影定理,C只含有结点,曲面到平面投影 S P (极点O取 ） 几乎2：1映射 （二次覆盖）Q: 分歧点,5. 曲面投影,平面,原像仅有一点Q,分歧轨迹 R: 分歧点全体带结点的二次覆盖,平面,几乎 3:1 投影 （三次覆盖）简单分歧点 Q: 原像仅有两点Q1, Q2三重分歧点 T: 原像仅有一点T,Kn : n 维空间, Kn-1 子空间 (K复数域)r维几何图形极点O的投影压缩背景空间的维度,6. 高维投影,X,空间压缩投影 会挤压出“奇点 ”四维空间中的球,复变函数图 y2=x,三维空间中的压缩像,克莱因瓶压缩至3维空
3、间中的示意模型实射影平面压缩至3维空间中的示意模型,X: r 维图形， Kn： n维空间若 n2r+1, 则 X 可压缩成 K2r+1 中的光滑图形（即无“奇点”）曲线可压缩成 K3 中的光滑曲线曲线压缩到 K2 最多出现结点（见前）曲面可压缩成 K5 中的光滑曲面,S: K5 中的曲面， O极点.一般投影( O的位置充分一般）S: 一般曲面（含有非正常二重点）,7. 曲面的一般投影,非正常二重点,示意图,S: K4 中的一般曲面， O极点. 一般投影 ( O的位置充分一般）S有三类奇点:结点 三重点 拧点,曲面一般覆盖: S 到平面 P 的一般投影S 在每点附近的投影局部近似成：平面、平面二
4、次覆盖或上述平面三次覆盖,分歧轨迹 B: 不可约尖点曲线（即只含结点和尖点）尖点个数c，结点个数n,B的次数d.c,d,n 有很强限制条件.比如: c是3的倍数，n是4的倍数，,尖点曲线示意图,Chisini猜想:次数 4 的曲面一般覆盖由分歧轨迹唯一确定. （Kulikov 2008 证明该猜想）.反例（Catanese，Chisini）: 4次覆盖， Veronese曲面 S,黎曼存在性问题: 给定曲线B, 是否存在曲面一般覆盖,恰以B为分歧轨迹? 寻找刻画 B 的适当条件。 （Enriques, Segre, Chisini, Friedman, Teicher，Tan ）曲线的黎曼存在性定理 （Riemann 拓扑条件基本群与单值),多项式: f(x, y)=yd+a1(x)yd-1+ad(x).代数曲线 C： 满足 f=0 的点集 (x, y).(几何观点) 投影 p: C L, (x, y)x.L：直线 p: d次覆盖,8. 多项式函数与投影,（函数观点） 多值函数 y=y(x), (方程观点） f(x, y)=0 关于y有d个根（投影) 分歧点=(函数)支点=（多项式）重根,点x绕支点转一周后, 根的顺序发生变化单值：环路 r 映到置换分歧点 p1,ps , L 直线基本群到置换群,r,Thank You!,
