1、23.1 平面向量基本定理1了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量2掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义1平面向量基本定理如果 e1，e 2 是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a_，其中不共线的向量 e1，e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组_(1)这个定理告诉我们，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即 0 1e1 2e2，且 1 20.(2)对于固定的 e1，e 2(向量 e
2、1 与 e2 不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组【做一做 1】 在平面四边形 MNPQ 中，下列一定可以作为该平面的一组基底的是( )A. 与 B. 与MN MP MN QP C. 与 D. 与MQ PN QN NQ 2向量的夹角(1)定义：两个非零向量 a 和 b，且 a， b，则AOB 叫做向量 a 和 b 的夹OA OB 角(如图所示) ，范围是_当 0时，向量 a 和 b_；当 180时，向量 a 和 b_.(2)垂直：如果向量 a 和 b 的夹角是_，我们就说向量 a 与 b 垂直，记作_【
3、做一做 2】 在等边三角形 ABC 中， 与 的夹角等于( )AB BC A60 B90 C120 D150答案：1不共线 1e1 2e2 基底【做一做 1】 A 由于 ，则不能作为基底，所以选项 D 不能作为基底；当四QN NQ 边形 MNPQ 是平行四边形时， ， ，所以选项 B 和 C 都不能作为基底；很MN QP MQ PN 明显 与 不共线，则可以作为基底，故选 A.MN MP 2(1)0 180 同向 反向 (2)90 ab【做一做 2】 C 延长 AB 到 D，使 ABBD，如图所示，则 与 的夹角等于 CBD.AB BC 又ABC60，则CBD180ABC18060 120，所
4、以 与 的夹角等于 120.AB BC 1理解平面向量基本定理剖析：(1)e 1，e 2 是同一平面内的两个不共线向量(2)对给定的向量 a，实数 1， 2 存在且唯一实数 1， 2 的唯一性是相对于基底e1，e 2 而言的(3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一一旦选定一组基底，则给定向量按照基底的分解是唯一的(4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平面内任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合(5)零向量与任意向量共线，故不能作为基底中的向量2理解向量的夹角剖析：(1)由于零向量的方向是任意的，因此，
5、零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直，因此不讨论与零向量有关的夹角问题(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，BAC 不是 与 的夹角，BAD 才是 与 的夹角CA AB CA AB (3)特 别 地 ， a 与 b 的 夹 角 为 ， 1a 与 2b( 1， 2 是 非 零 常 数 )的 夹 角 为 0， 当 1 2 0 时， 0=180；当 1 20 时， 0=.题型一 判断向量的基底【例 1】 设 e1，e 2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e 1 与e1e 2；e 1 2e2 与 e22e 1； e 12e 2 与
6、 4e22e 1；e 1e 2 与 e1e 2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是_(写出所有满足条件的序号)反思：根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不可能作为一组基底题型二 作两向量线性运算的结果【例 2】 如图所示，已知基向量 a，b，求作向量 3a2b.分析：分别作出向量 3a 和2b，再用平行四边形法则作出它们的和反思：已知向量 a，b，求作 1a 2b(1， 2R)的步骤： (1)作 1a， 2b；(2)OA OB 作 OACB， 就是求作的向量OC 题型三 用基底表示向量【例 3】 如图，梯形 AB
7、CD 中，ABCD，且 AB2CD ，M，N 分别是 DC 和 AB 的中点，若 a， b，试用 a，b 表示 ， ， .AB AD DC BC MN 分析：由于 DCAB，则 a， a；构造三角形和平行四边形，利用向量加法、DC DC 减法的运算法则来解决反思：用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来解决此类题时，首先仔细观察所给图形借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决题型四 易错辨析易错点 分不清向量的起点和终点【例 4】 在 RtABC 中，ABC90， ACB60 ，则 与 的夹角AC CB _.错解：ACB 是 与 的夹角，60
8、.AC CB 错因分析：错解中，误认为ACB 是 与 的夹角，其实不然，ACB 是 与 的夹AC CB CB CA 角， 与 的起点不同，则ACB 不是其夹角AC CB 反思：当且仅当 a 与 b 的起点相同，且 a ，b 时，AOB 才是向量 a 与 b 的夹OA OB 角答案：【例 1】 设 e1e 2e 1，则Error!无解，e 1e 2 与 e1 不共线，即 e1 与 e1e 2 可作为一组基底；设 e12e 2(e 22e 1)，则(12)e 1(2)e 20，则Error!无解，e 12e 2 与e22e 1 不共线，即 e12e 2 与 e22e 1 可作为一组基底；e 12e
9、 2 (4e22e 1)，e 12e 2 与 4e22e 1 共线，即 e12e 2 与 4e22e 1 不可作12为一组基底；设 e1e 2(e 1e 2)，则(1)e 1(1)e 20，Error! 无解，e 1e 2 与 e1e 2 不共线，即 e1e 2 与 e1e 2 可作为一组基底【例 2】 作法：(1)如图所示，在平面内任取一点 O，作 3a， 2b.OA OB (2)作 OACB. 就是求作的向量OC 【例 3】 解：如图所示，连接 CN，则四边形 ANCD 是平行四边形则 a，DC AN 12AB 12 b a，BC NC NB AD 12 MN CN CM AD 12CD
10、ab.AD 12( 12AB ) 14【例 4】 正解：如图所示，延长 AC 到 D，使 ACCD，则 ，BCD 是 与AC CD AC 的夹角CB 由于BCDACB180，ACB60，则BCD18060 120，即 120.1如图所示，D 是 BC 边的一个四等分点试用基底 ， 表示ABC_.A2a 与 b 是一组基底，且 pam b，qm a2b，且 p 与 q 不能组成一组基底，则实数 m_.3如图，平行四边形 ABCD 中， a， b，M 是 DC 的中点，以 a，b 为基ABD底表示向量 _.AM4已知 e1与 e2不共线，ae 12e 2，be 1e 2，且 a 与 b 是一组基底
11、，则实数 的取值范围是_5已知基向量 a 和 b，如图所示，求作向量 2ab.答案：1. D 是 BC 边的四等分点，314ABC ，() .()4AB314AC2 由于 p 与 q 不能组成一组基底，则 pq，存在实数 使 p q，有 amb(ma2b)，即 am bma2 b， 解得 m .1,3b b .2aAMDA12DC12ABa4. 当 ab 时，设 am b，则有 e12e 2m( e1e 2)，即1,e12e 2me 1me 2， 解得 ，即当 时，ab.1,2m12又 a 与 b 是一组基底，a 与 b 不共线， .5作法：(1)如图所示，任取一点 O，作 2a， b.AB(2)作平行四边形 OACB， 就是求作的向量C
