1、本章整合知识网络专题探究专题一 向量的基本运算及几何意义向量的运算有：加法、减法、数乘及两个向量的数量积，进行向量的运算常见的方法有两种：定义法和坐标法(1)在定义运算中，要会根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，利用三角形法则或平行四边形法则，结合平面向量的基本定理求解(2)如果条件是坐标的向量，则直接进行运算如果向量在含有垂直关系的几何图形中给出，则可以建系利用坐标进行向量的运算，从而转化为实数的运算求解【例 1】 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60，E 为 BC 的中点，则 AE BD( )A3 B0 C 1 D1解析：方法一： E A B C，12所以 D 2 AB
2、1C| |cos 120 2| B| D|cos 60 1222 22 11.方法二：ABCD 为菱形，ACBD.以 AC，BD 所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，则由菱形 ABCD 的边长为 2，BAD60 ，得 A( 3， 0)，B(0，1) ，C ( 3，0)，D(0,1)，中点 E 31,，则 A ,2， BD(0,2)， E 30 121.答案：C专题二 向量的模向量的模，即向量的大小，也就是用来表示向量的有向线段的长度向量的模不仅是研究向量的一个重要的量，而且是利用向量方法解决几何问题的一个“交汇”点因此，我们必须熟练掌握求向量的模的基本方法一般地，求向量的模主要是利用
3、公式|a| 2a 2 将它转化为向量的数量积问题，利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决或利用公式|a| 2xy将它转化为实数问题，使问题得以解决【例 2】 若 a，b，c 均为单位向量，且 ab0，则| abc|的最小值为( )A. 1 B1 C. 1 D. 2解析：|abc| 2a 2b 2c 22ab2ac 2bc32(ab)c，因为 ab0，且|a|b|c|1，所以|ab| ，所以(ab) c|a b|c|cos ab，c 2cosab，c 所以|a bc| 232 cosab，c 所以当 cosab，c1 时，|abc| 2 最小为|abc| 232 ( 21)
4、2，即|a b c| 的最小值为 1.选 A.答案：A【例 3】 设|a|b|1，| 3a 2b|3，求|3ab| 的值解法一：|3a2b| 3， 9a212ab4b 29.又|a|b|1， ab .故|3ab| 2ab 2296ab 96132 .解法二：设 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)|a|b|1，x 2y x y 1.3a2b(3x 12x 2,3y12y 2)，|3a 2b| 213.x 1x2y 1y2 3.|3 a b| 221xy 212296xy 632 .专题三 向量的夹角求向量 a，b 夹角 的步骤： 求| a|，|b| ，a b；求 cos |ab (夹角公
5、式)；结合 的范围0， 求出 .因此求向量的夹角应先求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小【例 4】 若两个非零向量 a，b 满足|ab| |ab|2| a|，则向量 ab 与 a 的夹角为( )A. 6 B. 3 C. 23 D. 56解析：由|ab |ab|，得 a22abb 2a 22abb 2，即 ab0.由|ab|2|a|，得 a22abb 24a 2，即 b23a 2，所以|b| |a|.所以(ab) aa 2ab|a| 2.所以向量 ab 与 a 的夹角的余弦值为cos | |2 1，所以 3，选 B.答案：B【例 5】 已知在直角梯形 ABCD 中，AB DC，AD
6、 AB，AB4，ADCD2，E，F 分别为 BC，CD 的中点，则EAF _.解析：如图建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(4,0)，C(2,2)，D(0,2) ，E(3,1)，F(1,2)，则 AE(3,1)， F(1,2) ，cosEAF A 31205 .0EAF 2，EAF 4.答案： 4专题四 向量的共线与垂直及应用已知非零向量 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)，abab x1y2x 2y10(R )；abab0x 1x2y 1y20.因此证明 ab，只需要证明 ab 或 x1y2x 2y10(R) ；已知 ab，则必有a b，x 1y2x 2y10( R)证明 ab
7、，只需证明 ab0 或 x1x2y 1y20；已知 ab，则必有 ab0，x 1x2y 1y2 0.【例 6】 如图， AB(6,1)， C( x，y) ， D(2， 3)(1)若 BC DA，求 x 与 y 之间的关系式；(2)若在(1)的条件下，又有 C BD，求 x，y 的值及四边形 ABCD 的面积解：(1) (6,1)( x，y )(2，3)( x4，y2)， (x4,2y)又 BC DA，(x，y)，x(2 y)y(x4)0，即 x2y0.(2) (6,1)( x，y )(x6，y1)， (x，y)( 2，3)(x2，y3)， AC B， 0.即(x6)(x2)(y 1)(y 3)0.又 x2y0，(62y )(2y2)(y1)(y3) 0，化简得 y22y30.y3 或 y1.当 y3 时， x6. BC(6,3)， A(0,4)， BD(8,0) | A| 4，| |8.S 四边形 ABCD 12| | |16.当 y1 时，x 2. BC(2，1)， A(8,0)， BD(0，4) | A| 8，| D|4.S 四边形 ABCD 12| | |16.综上， 63xy ， 或 xy ， ， S 四边形 ABCD16.
