1、备课资料一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处,特别是处理线段相等,线线平行,垂直,点共线,线共点等问题,往往简单明了,少走弯路,同时避免了复杂,烦琐的运算和推理,可以收到事半功倍的效果.现举几例以供教师、学生进一步探究使用.1.简化向量运算图 11例 1 如图 11 所示,O 为ABC 的外心,H 为垂心,求证: .OCBAH证明:如图 11,作直径 BD,连接 DA,DC,有 = ,OBD且 DAAB,DCBC,AHBC,CHAB,故 CHDAHDC,得四边形 AHCD 是平行四边形.从而 = .AHDC又 = ,OB得 AO即 .CH2.证明
2、线线平行例 2 如图 12,在梯形 ABCD 中,E,F 分别为腰 AB,CD 的中点.求证:EF BC,且 | |= (| |+| |).EF21ADB图 12证明:连接 ED,EC,ADBC,可设 = (0),ADBC又 E,F 是中点, + =0,E且 = ( + ).F21DC而 + = + + +AB= + =(1+) ,ADBC = ,EF 与 BC 无公共点 ,EF21EFBC.又 0,| |= (| |+| |)= (| |+| |).21ADBC3.证明线线垂直图 13例 3 如图 13,在ABC 中,由 A 与 B 分别向对边 BC 与 CA 作垂线 AD 与 BE,且 A
3、D 与 BE交于 H,连接 CH,求证:CH AB.证明:由已知 AHBC,BHAC,有 .0,0CBHA又 ,故有( + ) =0,且 =0,ACHB)两式相减,得 =0,)(B即 =0, .4.证明线共点或点共线图 14例 4 求证:三角形三中线共点 ,且该点到顶点的距离等于各该中线长的 .32已知:ABC 的三边中点分别为 D,E,F(如图 14).求证:AE,BF,CD 共点,且 .32CDGBFAE证明:设 AE,BF 相交于点 G, =1 ,由定比分点的向量式有 1= ,BCA)1(21又 F 是 AC 的中点 , ,)(AF设 ,BG2则 ,BCBCA2)1(122)1(2 ,3
4、2,)(111 即 = .BFGA32又 = = (CA+2CE)C)2(11CEAE31= ( + )= ,3232DC,G,D 共线,且 = .GBFAE3二、备用习题1.有一边长为 1 的正方形 ABCD,设 =a, =b, =c,则| a-b+c|=_.ABC2.已知|a |=2,|b|= ,a 与 b 的夹角为 45,则使 b-a 与 a 垂直的 =_.23.在等边ABC 中, =a, =b, =c,且|a|=1,则 ab+bc+ca=_.B4.已知三个向量 =(k,12), =(4,5), =(10,k),且 A,B,C 三点共线,则 k=_.OAOC图 155.如图 15 所示,
5、已知矩形 ABCD,AC 是对角线,E 是 AC 的中点,过点 E 作 MN 交 AD 于点 M,交 BC 于点 N,试运用向量知识证明 AM=CN.6.已知四边形 ABCD 满足| |2+| |2=| |2+| |2,M 为对角线 AC 的中点.求证:ABCD| |=| |.MBD7.求证:如果一个角的两边平行于另一个角的两边 ,那么这两个角相等或互补.参考答案:1.2 2.2 3.- 4.-2 或 1123图 165.建立如图 16 所示的直角坐标系,设 BC=a,BA=b,则 C(a,0),A(0,b),E( ).2,ba又设 M(x2,b),N(x1,0),则=(x2,0), =(x1
6、-a,0).AMCN ,)2(),2(,/ 1baxENbxaE( =0.()21bxax2=a-x1.| |=AM.| 12axa而| |=CN|)(11| |=| |,即 AM=CN.6.设 =a, =b, =c, =d,ABDAa+b+c+d=0,a+b=-(c+d).a2+b2+2ab=c2+d2+2cd. | |2+| |2=| |2+| |2,Ca2+b2=(-d)2+(-c)2=c2+d2. 由得 ab=cd.图 17M 是 AC 的中点,如图 17 所示 ,则 = (d-c), = (b-a).D21B21| |2= 2= (b2+a2-2ab),4| |2= 2= (d2+c2-2cd).| |2=| |2.MBD| |=| |.7.解:已知 OAOA,OBOB.求证:AOB=AOB或AOB+AOB=.证明:OAOA,OBOB, = (R,0), = (R,0).OAOBcosAOB= .|cosAOB= ,|)(| OBAOBOABA 当 与 , 与 均同向或反向时,取正号,O即 cosAOB=cosAOB.AOB,AOB(0,),AOB=AOB.当 与 , 与 只有一个反向时,取负号,AB即 cosAOB=-cosAOB=cos(-AOB).AOB,-AOB(0,),AOB=-AOB.AOB+AOB=.命题成立.(设计者：郑吉星)
