1、3.1 不等关系与不等式（学生版）1生活中的不等关系现实生活和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。在数学中，我们常用不等式来表示这些不等关系： （1）交通部门规定，机动车辆在有些道路上行驶时，时速不能超过 40 千米，写成不等式为_；（2）设点 A 与平面 a 的距离为 d，B 为平面内任意一点，则写成不等式为_；（3）要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种，且规定 600mm 的数量不能超过 500mm 的 3 倍，写成不等式为_；答案：（1） ；（2） ；（3）40vdAB50640,xyN且2不等式的性质为了利用不等式研究不等关系，需要对不等
2、式的性质进行了解：关于实数 a，b 大小的比较，有以下事实：如果 是正数，那么 ；如果 等于零，那么 ；如果 是负数，那么abababab反过来也对用符号表示为：a0可以证明：不等式具有以下性质：性质 别名 性质内容 注意性质 1 对称性 abbb，bca c性质 3 可加性 abacbc 可逆Error!ac bc性质 4 可乘性Error!acbd 同向性质 6 同向同正可乘 性 Error!ac bd 同向性质 7 可乘方性 ab0a nbn(nN *，n2)性质 8 可开方性 ab0 (nN *，n2)nanb同正 典型例题考点 1用不等式(组)表示不等关系【例 1】某矿山车队有 4
3、辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不等式组解析：设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，则 Error!即Error!点评：用不等式表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系(2)找出体现不等关系的关键词：“至少” “至多” “不少于” “不多于” “超过”“不超过”等用代数式表示相应各量，并用关键词连接特别需要考虑的是“” “”中的“”能否取到变式 1某校对高一美术生划定
4、录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文化课总分 y 高于 380 分，体育成绩 z 超过 45 分，用不等式(组)表示就是( )A.Error! B.Error! C.Error! D.Error!解析：“不低于”即“” ， “高于”即“” ， “超过”即“” ，x95，y380，z45. 答案：D变式 2用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，要求菜园的面积不小于 216 m2，靠墙的一边长为 x m试用不等式表示其中的不等关系解析：由于矩形菜园靠墙的一边长为 x m，而墙长为 18 m，所以 0b0，m0 ，试比较 与 的大小mab解： )()(ab
5、mbab0， m0，a-b0，a+m0， ， ()0mabmba从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵变式 2已知正数 a、b、c 成等比数列，比较 a2b 2c 2 与(abc) 2 的大小解析：因为 a、b、c 均为正数，且 a、b、c 成等比数列，所以 b2ac，b.ac所以(a 2b 2c 2)(abc) 2a 2b 2c 2a 2b 2c 22ab2ac 2bc2ab4b 22bc 2b(a 2bc )2b(a2 c)2b( )20，所以ac a ca2b 2c 2 (abc )2.变式 3已知 x0(x 12)2 34 (x 12) 34(x1) 0a b； (2)若 ab，且 ac
6、 bd，则 cd；cacb(3)ab0 且 cd0 ； (4) a b.ad bc ac2 bc2解：(1) 0. 0 时，此式成立，此时推不出 ab.(1)错cacb 1a1b(2)当 a4， b1 时，虽然 421 3，但是 2 b0，c d0， 0， .(3)对adbc ad bc(4)显然 c20，两边同乘以 c2 得 ab. (4)对.考点 4利用不等式的性质求取值范围【例 4】已知 120 Blg( a21)0 C. 0 D3 a0a|a|解析：当 a0 时，A、B 两项中的不等式不成立；当 a0，b 0，则不等式 b Dx1b 1a解析：当 x0 时，由 0 ；当 x .1b 1
7、a答案：D3已知 a，b 为非零实数，且 af(n)，则 m、n 的大小5 12关系为_解析：05 12f(n)，mb，则 acbc2，则 ab； (3)若 aabb2；(4)若 a|b|； (5)若 cab0，则 ； (6)若ac a bc bab， ，则 a0，bbc2，c 0，c 20，ab.故该命题为真命题(3)Error!a 2ab.又Error! abb 2，a 2abb2.故该命题为真命题(4)两个负数，离原点远的数小，绝对值反而大故该命题为真命题(5)c ab0，0 ， . 故该命题为真1c a 1c b ac a bc b命题(6)由已知条件，得 ba0， 0， abb， a
8、0， bb0，下列不等式中必成立的一个是( )Aac b d BacbdCad ac bd解析：c d.又a b0，ac bd.故选 B.2下列说法正确的个数为( )若 a|b|，则 a2b2；若 ab，c d，则 acb d；若 ab，c d，则acbd；若 ab0，c .cacbA1 B2 C3 D4解析：a|b|0，a 2b2 成立，正确；取 a2，b1，c 3， d2，则 23b0 ， 0 ，1a1b cacb正确答案：B3若 x2 且 y1，则 Mx 2y 24x2y 的值与5 的大小关系是( )AM5 BM0，M5.故选 A.4设 ab1，c ；a ccacbloga(bc )其中
9、所有的正确结论的序号是 ( )A B C D解析：由 ab1，c ；幂函数 yx c(cbc ，所以 logb(ac)log a(a c)loga(bc )，均正确，选 D.5如果 ab0,cd0,则下列不等式中不正确的是 （ C ）Aa-db-c B Ca+db+c Dacbdcd6对于 ，给出下列四个不等式： ；10a )1(log)1(logaa； ； ，其中成立的是（ C ） )(log)(logaaa11A与 B与 C与 D 与7若 a0，1b0，则有（ B ）Aaabab 2 Bab 2aba Cab a ab 2 Dab ab 2a8若 a0，ac0.a bc ba c答案：A9
10、若 1logba；|log ablog ba|2；(log ba)1a1b2|logablog ba|.其中，正确的结论是_(填序号)解析：用特殊值法由 1bc0，求证： .ba b ba c ca c证明：因为 ， .又 abc0，则ba b ba c bb ca ba c ba c ca c b ca cac0 ，ab0，bc0 ，所以 0， 0，即bb ca ba c b ca c 0， 0，所以 .ba b ba c ba c ca c ba b ba c ca c13设 f(x)(4a3) xb2a，x0,1 ，若 f(0)2，f (1)2，求 ab 的取值范围解：f(0) b2a，
11、f (1) b2a3，且 f(0)2，f(1) 2，a ，b ab .f1 f0 34 f1 f0 32 3f1 f0 94 174ab 的取值范围是 .( ，1743.1 不等关系与不等式（教师版）1生活中的不等关系现实生活和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。在数学中，我们常用不等式来表示这些不等关系： （1）交通部门规定，机动车辆在有些道路上行驶时，时速不能超过 40 千米，写成不等式为_；（2）设点 A 与平面 a 的距离为 d，B 为平面内任意一点，则写成不等式为_；（3）要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种，且规定 600mm 的数量
12、不能超过 500mm 的 3 倍，写成不等式为_；2不等式的性质为了利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质进行了解：关于实数 a，b 大小的比较，有以下事实：如果 是正数，那么 ；如果 等于零，那么 ；如果 是负数，那么abababab反过来也对用符号表示为：a0可以证明：不等式具有以下性质：性质 别名 性质内容 注意性质 1 对称性 abbb，bca c性质 3 可加性 abacbc 可逆Error!ac bc性质 4 可乘性Error!acbd 同向性质 6 同向同正可乘 性 Error!ac bd 同向性质 7 可乘方性 ab0a nbn(nN *，n2)性质 8 可开方性 ab0
13、(nN *，n2)nanb同正 典型例题考点 1用不等式(组)表示不等关系【例 1】某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不等式组点评：用不等式表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系(2)找出体现不等关系的关键词：“至少” “至多” “不少于” “不多于” “超过”“不超过”等用代数式表示相应各量，并用关键词连接特别需要考虑的是“” “”中的“”能否取到变式 1
14、某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文化课总分 y 高于 380 分，体育成绩 z 超过 45 分，用不等式(组)表示就是( )A.Error! B.Error! C.Error! D.Error!变式 2用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，要求菜园的面积不小于 216 m2，靠墙的一边长为 x m试用不等式表示其中的不等关系考点 2比较两数(式)的大小【例 2 】已知 ， ，求证： .0abcdabdc点评：方法一用作差法，关键是因式分解和符号判定方法二用作商法是因为两个式子的符号均为正，用起来也很方便，关键是作商后分子部分的配方和符号判定变式 1已知 ab0，m0 ，试比较 与 的大小mab从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵变式 2已知正数 a、b、c 成等比数列，比较 a2b 2c 2 与(abc) 2 的大小
