1、2.3 等差数列的前 n 项和（学生版）1新课引入高斯的故事：200 多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：（1 ）计算： 23.910（2 ）计算： ()n据说，当其他同学正忙于把这 100 个数逐项相加时，10 岁的高斯却用下面的方法迅速的算出了正确答案：，(10)(9)(501)50即 232高斯的算法实际上解决了求等差数列 前 100 项和的问题，受此启发，用3,.n， ， ，下面的方法计算 的前 n 项和：1,.， ， ， (1)1(1)2n此方法可以推广到一般方法吗？2数列的前 n 项和的概念（1 ）一般地，我们把 a1a 2a 3a n 叫做数列 的前 n 项和，记作 ，即an
2、S.nnnSa（2）数列的项 an 与前 n 项和 Sn 的关系：a nError!3等差数列的前 n 项和的推导设等差数列 的前项和为 ，即n.nna11().()nSadadnn两式相加得： ，即11112()().()()nnnSaa1()nnaS又由 ，所以 1()nd1()2nSd上述推导等差数列前 n 项和的方法称为“倒序相加法” 等差数列的前 n 项和公式： 或1()nna1()2nSad公式解读：（1）由 5 个元素构成： . 可知三求二1,nds（2 ）共同点：须知 和；不同点：前者需知道 ，后者需要知道 an（3 ）若 a1、 d 是确定的，那么 ，21 1()()ndSa
3、na设 ，上式可写成 ，若 （即 d0）时， 是关于,2dAB2AB0nSn 的二次式且缺常数项4等差数列的前 n 项和的性质(1)等差数列a n中，S n，S 2nS n，S 3nS 2n 也构成等差数列，且公差是 n2d.如下所示：(2)若a n与 bn均为等差数列，且前 n 项和分别为 与 ，则 .nST21naSb(3)若等差数列a n的前 n 项和为 Sn，则数列 是等差数列，且首项为 a1，公差为 .Snn d2(4)若等差数列的项数为 2n(nN *)，则S 2nn(a na n1 )；S 偶 S 奇 nd； .S奇S偶 anan 1若等差数列的项数为 2n1(n N *)，则S
4、 2n1 (2n1)a n(an 为中间项) ；S 奇 S 偶 a n； .S奇S偶 nn 1(5)由于 Snpn 2qnp 2 ，结合二次函数的性质可知：(n q2p) q24p如果顶点横坐标 是正整数，S n 在顶点处取得最大值(p0)q2p如果顶点横坐标 不是正整数，S n 在最接近顶点横坐标的正整数处取得最大值(p0) 典型例题考点 1等差数列的前 n 项和公式： 或1()2nna1()2nSad【例 1】计算下列各数列的和（1） ； （2） ；23 35(1) （3） ； （4）462n 5(1) 【例 2】 已知等差数列a n的前 3 项和为 6，前 8 项和为 4.(1)求数列a
5、 n的前 n 项和 Sn；(2)求数列 的前 n 项和 Tn.Snn练习 1已知a n是等差数列，S n 为其前 n 项和，nN *，若 a316，S 2020，则 S10 的值为_练习 2根据下列各题中的条件，求相应的等差数列a n的 sn (1)a =5,an=95,n=10 (2)a1=100,d=2,n=50 (3)a1=14.5,d=0.7,an=32练习 3在等差数列a n中：(1)已知 a610，S 55，求 a8 和 S10；(2)已知 a3a 1540，求S17.考点 2 已知 求 ：a n Error!nS【例 3】已知下面各数列 的前项和为 的公式，求 的通项公式nSna
6、(1)Sn2n 23n； (2)Sn3 n2.点评：(1) a nError!这是一个非常重要的结论，望牢记！(2)由 Sn 求 an 时，要分 n1 和 n2 两种情况分别计算，然后验证两种情形可否有统一表达式表示，若不能统一，则用分段函数的形式表示练习 1已知下面各数列a n的前 n 项和 Sn 的公式，求数列 an的通项公式(1)Sn2 n1；(2) Snn 2n； (3)若 Sn n2 n1.求a n的通项公式12 12考点 3 等差数列的前 n 项和的最值【例 4】在等差数列a n中，若 a125，且 S9S 17，求 Sn 的最大值分析：解答本题可先根据条件求出公差 d.然后利用
7、Sn 或 an 求 Sn 的最大值或利用等差数列的前 n 项和 Sn 是关于 n 的二次函数，利用抛物线的图象性质求解练习 1在等差数列a n中，已知 a120，前 n 项和为 Sn，且 S10S 15，求当 n 取何值时，S n有最大值，并求它的最大值 当堂检测1在等差数列a n中，已知 a12，d2，则 S20( )A230 B420 C450 D5402已知数列a n为等差数列，S n 是它的前 n 项和，若 a1 2，S 312，则 S4( )A10 B16 C 20 D243设数列a n的前 n 项和 Snn 2，则 a8 的值为( )A15 B16 C49 D644数列a n中，a
8、 n2n49，当数列a n的前 n 项和 Sn 取得最小值时，n_.5已知等差数列a n中：(1)a1 ，d ，S n15，求 n 及 an；(2)a 120，a n54，S n666，求 d 及 n；(3)32 12S714，求 a3a 5.6已知等差数列a n中，a 3a 415，a 2a554，公差 d0，a 2 005a 2 0060，a 2 005a2 0060 成立的最大自然数 n 是( )A4 009 B4 010 C4 011 D4 0125在等差数列a n中，a 12 014，其前 n 项和为 Sn，若 2，则 S2 014 的值等于( )S1414 S1212A2 011
9、B2 012 C2 013 D2 0146正项数列a n，a 11，前 n 项和 Sn 满足 Sn S n1 2 (n2) ，则Sn 1 Sn SnSn 1a10( )A72 B80 C90 D827在项数为 2n1 的等差数列中，所有奇数项的和为 165，所有偶数项的和为 150，则 n 等于( )A9 B10 C11 D128已知 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，且 S1135S 6，则 S17 等于( )A117 B118 C 119 D1209在等差数列a n中，a 10，公差 d0)q2p如果顶点横坐标 不是正整数，S n 在最接近顶点横坐标的正整数处取得最大值(p0) 典型例题考点 1等差数列的前 n 项和公式 或1()2nnaS1()2nSad【例 1】计算下列各数列的和（1） ； （2） ；23 35() （3） ； （4） 46 46(1)2n 解析：（1） ；（2） ；（3） ；（4）(1)nn(1)n【例 2】 已知等差数列a n的前 3 项和为 6，前 8 项和为 4.(1)求数列a n的前 n 项和 Sn；(2)求数列 的前 n 项和 Tn.Snn解析：(1)方法一：设a n的公差为 d，由题意得Error!
