1、1.1.1 正弦定理（教师版）1新课引入我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边角关系准确量化的表示呢？思考：在直角三角形中， “边”与“ 角”的关系如何？在 中， ， ， ，RTABCsin,siacAbBinsiabcABin1Csiniiab思考：对于一般三角形，上述结论是否成立？（1 ）若三角形是锐角三角形分析：过点 C 作 CDAB 于 D, 此时有 ， ，所以 CD=asinB=bsinA, sinCAbsinDBa即 ，同理可得 ，siniabABsiibcBiiiac（2 ）若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?2正弦定理正弦定理:
2、在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等即 sinisinabcABC证明：（外接圆法）作外接圆 O, 过 B 作直径 BC/,连 AC/, ， ，90BAC， ，同理 ， ，sii2cR2sin2sinaRA2sinbinisiab3对正弦定理的理解（1 ）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，该正数为 ，2（2 ）正弦定理的基本作用为：已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.已知两角和一边，求其他角和边.（3 ）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形4正弦定理的常见公式变形(1)abcsinAsinBs
3、in C； (2) ， ， ab sinAsinB ac sinAsinC bc；sinBsinC(3) ； (4)asinA bsinB csinC a b csinA sinB sinCa2RsinA ，b2RsinB，c2R sinC；(5)sinA ，sin B ，sinC ； (6)a2R b2R c2RAA30 ，B 为锐角或钝角，B45或 B135.(1)当 B45时，C180(AB)180(30 45)105. ，c 1.csinC asinA asinCsinA 2sin105sin3026 2412 3(2)当 B135时，C180(AB)180(30 135)15.c 1
4、.asinCsinA 2sin15sin3026 2412 3综上可得 B45，C 105，c 1 或 B135，C15，c 1.3 3考点 3讨论三角形解的个数已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，要注意根据两边和其中一边的对角之间的关系对三角形解的个数进行判断，可能有一解、两解或无解，否则可能导致错误在ABC 中，已知 a，b，A，以点 C 为圆心，以边长 a 为半径画弧，与除去顶点 A 的射线 AB 交点的个数即为三角形解的个数，其解的情况如下表：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 ab解的个数 0 1 2 1 0 1【例 3】 在ABC 中，分别根据下列条件指出解的个数(1)a
5、4，b 5，A30； (2)a5，b4，A60；(3)a ，b ，B 120； (4)a ，b ，A60.3 2 3 6解析：(1)a b，A90，ab，无解(4)a0)，判断此三角形解的个数解析：由于 b 是不确定的边长，无法知道 a 与 b 的大小关系，即无法判断 B是锐角还是钝角，这就需要对 x 的取值进行分类讨论解法一：当 08 时，sinB 1，B 无解，此时ABC 无解xsinAa综上可知：当 08 时，ABC 无解解法二：A30，是锐角，分三种情况：当 absinA 或 ab，即 4xsin30或 4x，即 x8 或 08 时，三角形无解综上可知，当 08 时，ABC 无解 .考
6、点 4正弦定理性质的应用例 4在 中，已知 ， 的值是（ A ）ABC5,3absin:ABA B C D533757解析：由 ， ，选 AasinA bsinB ib例 5在ABC 中，若 ，则ABC 是( )acosA bcosBA等腰三角形 B直角三角形 C等腰或直角三角形 D等腰直角三角形解析：由 ， ，sinAcosBcosA sinB0，sin(A B)acosA bcosB sinAcosA sinBcosB0，AB0，A B，即为等腰三角形答案：A变式 5在ABC 中，ABC411，则 abc( )A411 B211 C. 11 D. 112 3解析：ABC180，ABC411
7、，A120，B30，C30. 由正弦定理的变形公式，得 abcsinA sinBsinCsin120sin30sin30 1 1.故选 D.32 12 12 3变式 6在 中，若 ，则 等于（ D ）bsinA B C D0或 0645或 0612或 0153或变式 7在 中，一定成立的等式是（ C ）CA B. C. D.siniabcosaAbBsiniaBbAcosaB变式 8. 在 中，若 ，试判断 的形状.【解析】等腰三角形或直角三角形 当堂检测1已知 ABC 中， A ， ，则 = 2 603asinsinabcABC2在 中，若 ， 则BC5,2bB5co_43已知ABC 中，A
8、BC114，则 abc 等于（ C ）.A11 4 B11 2 C11 D2 2334 在 ABC 中，若 ，则 与 的大小关系为（ A ）.siniAA. B. C. D. 的大小关系不能确定B5 在 中，若 ，则 是（ B ）.cobaA等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形 C直角三角形 D等边三角形6在 中，若 ，则 是 等边三角形 CcAoscosA7. 已知ABC 中，AB 6，A30，B ，解此三角形120解：C180 30 =30，由正弦定理 ，解得 BC6，120sinisinBCAB.63A考点 5三角形面积公式的应用【例 6】在ABC 中，已知 A30，a8，b8 ，求AB
9、C 的面积3解析：由 ，得 sinB sinA，sinB sin30 .asinA bsinB ba 838 32又8 sin30 C 2 D0 2x22xx8三角形两边之差为 2，夹角的余弦值为 该三角形的面积为 14，则这两边分别为（ C 3）A3 和 5 B4 和 6 C5 和 7 D6 和 89在 中， ， ， ，则 _ _BC 3AB310在 中，若 ，则 c= 4 ， 0,2,ba C9011在 中，已知 ，则 等于 A6:5)(:)(bac BAsin:si7:5:3 12在 中， ，则三角形的面积等于 BC30,1Bba 3213已知在 中，A=45， ，求其他边和角ABC2,
10、6BCA解析：由正弦定理： ，即 ，解得 ，所以sinisini453sin2C，所以 C=60或 C=120，当 C=60，B=75， 31A当 C=120，B=15， C14 在 ABC 中，已知 c=10cm,A=45 ,C=30 求 a , b .解：B180 4530 =105，由正弦定理 ，10sin45isin3b解得 ， .102a5(6)b15在ABC 中，已知 b3，c3 ，B30，判断ABC 的形状3解析：由 csinB3 ，即 csinBbc，故此题有两解312 332由正弦定理，得 sinC .csinBb 32C 60或C120.当C 60时，A180( BC)90
11、 ，ABC 为直角三角形；当C 120时，A180( BC)30 B，ABC 为等腰三角形.16在ABC 中，sin(CA)1，sinB .13(1)求 sinA 的值； (2)设 AC ，求ABC 的面积6解析：(1)sin( CA )1 ， CA，CA .2ABC，ABA ，B 2A，sinB sin cos22 2 (2 2A)A ，1312sin 2A ，sin 2A ，sinA .13 13 33(2)由(1)知，A 为锐角，cosA ，sinCsin cosA .63 (2 A) 63由正弦定理，得 AB 6，S ACsinCsinB66313ABC ABACsinA 6 3 .1
12、2 12 6 33 21.1.1 正弦定理（学生版）1新课引入我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边角关系准确量化的表示呢？思考：在直角三角形中， “边”与“ 角”的关系如何？在 中， ， ， ，RTABCsin,siacAbBinsiabcABin1Csiniiab思考：对于一般三角形，上述结论是否成立？（1 ）若三角形是锐角三角形分析：过点 C 作 CDAB 于 D, 此时有 ， ，所以 CD=asinB=bsinA, sinCAbsinDBa即 ，同理可得 ，siniabABsiibcBiiiac（2 ）若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?
13、2正弦定理正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等即 sinisinabcABC证明：（外接圆法）作外接圆 O, 过 B 作直径 BC/,连 AC/, ， ，90BAC， ，同理 ， ，sii2cR2sin2sinaRA2sinbinisiab3对正弦定理的理解（1 ）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，该正数为 ，2（2 ）正弦定理的基本作用为：已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.已知两角和一边，求其他角和边.（3 ）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形4正弦定理的常见公式变形(1)a
14、bcsinAsinBsin C； (2) ， ， ab sinAsinB ac sinAsinC bc；sinBsinC(3) ； (4)asinA bsinB csinC a b csinA sinB sinCa2RsinA ，b2RsinB，c2R sinC；(5)sinA ，sin B ，sinC ； (6)a2R b2R c2RAB ab2RsinA2Rsin BsinAsinB.5三角形的面积公式： 11sinsisin2SahbacBbcA证明：过点 C 作 CDAB 于 D，此时有 ， ，A1siCSD同理可得 1sinsisi22ABSabcBc 典型例题考点 1：已知两角和任意边，求其他两边和一角（唯一解）【例 1】在 中，已知 ， ， ，解三角形ABC4560B2a分析：可先由 ABC180求出角 C，再用正弦定理求出 b 和 c.变式 1 （1）在ABC 中，已知 A45，B30，c10，求 b.（2）在 中，已知 ， ， cm，解三角形ABC4560C12a考点 2：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角（解的情况：无解、一解、两解） 【例 2】在ABC 中， ， ， ，求 ， 和 45A6c2abBC变式 2（1）已知ABC 中，a4，b8，A30，则B 等于 90
