1、人教版必修四2. 1 平面向量的实际背景及基本概念（练）一、选择题1如图所示，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则以图中点A、B 、C 、D、E、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量 外，与向量 共线的向量共有( )OA OA A6 个 B7 个C8 个 D9 个答案 D解析 与向量 共线的向量有： ， ， ， ， ， ， ， ， ，故共有 9OA OD DO AD DA EF FE BC CB AO 个2在下列判断中，正确的是( )长度为 0 的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；单位向量的长度都相等；单位向量都是同方向；任意向量与零向量都共
2、线A BC D答案 D解析 由定义知正确，由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确显然，、正确，不正确，所以答案是 D.3若| | |且 ，则四边形 ABCD 的形状为( )AB AD BA CD A平行四边形 B矩形C菱形 D等腰梯形答案 C解析 ，四边形 ABCD 为平行四边形，BA CD 又| | |，四边形为菱形AB AD 4已知圆心为 O 的O 上三点 A、B、C ，则向量 、 、 是( )BO OC OA A有相同起点的相等向量B长度为 1 的向量C模相等的向量D相等的向量答案 C解析 圆的半径 r| | | |不一定为 1，故选 C.BO O
3、C OA 5下列关于向量的结论：(1)若|a|b|，则 ab 或 ab；(2)向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；(3)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量 a 与 b 同向，且| a|b|，则 ab.其中正确的序号为( )A(1)(2) B(2)(3)C(4) D(3)答案 D解析 (1)中只知|a| |b|，a 与 b 的方向不知，故(1)不对；不要让实数的性质|x| a，则 xa，错误迁移到向量中来(2)没告诉是非零向量，故(2)不对，因为零向量的方向是任意的(3)正确对于任一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起
4、点不同(4)向量与数不同，向量不能比较大小6四边形 ABCD、CEFG、CGHD 都是全等的菱形，HE 与 CG 相交于点 M，则下列关系不一定成立的是( )A| | |AB EF B. 与 共线AB FH C. 与 共线BD EH D. 与 共线DC EC 答案 C解析 三个四边形都是菱形，| | |，ABCD FH，故 与 共线，又三AB EF AB FH 点 D、C 、E 共线， 与 共线，故 A、B 、D 都正确当 ABCD 与其它两个菱形不共DC EC 面时，BD 与 EH 异面7下列命题正确的是( )A向量 a 与 b 共线，向量 b 与 c 共线，则向量 a 与 c 共线B向量
5、a 与 b 不共线，向量 b 与 c 不共线，则向量 a 与 c 不共线C向量 与 是共线向量，则 A、B、C、D 四点一定共线AB CD D向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量答案 D解析 当 b0 时，A 不对；如图 a ，c ，b 与 a，b 与 c 均不共线，但 a 与AB BC c 共线，B 错在ABCD 中， 与 共线，但四点 A、B、C 、D 不共线，C 错；AB CD 若 a 与 b 有一个为零向量，则 a 与 b 一定共线，a，b 不共线时，一定有 a 与 b 都是非零向量，故 D 正确8下列说法正确的是( )向量 与 是平行向量，则 A、B、C 、D 四点
6、一定不在同一直线上AB CD 向量 a 与 b 平行，且|a| |b|0，则 ab0 或 ab 0向量 的长度与向量 的长度相等AB BA 单位向量都相等A BC D答案 D解析 对于，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故 错对于，由于|a| |b|0， a，b 都是非零向量，ab ，a 与 b 方向相同或相反，ab0 或 ab0.对于，向量 与向量 方向相反，但长度相等AB BA 对于，单位向量不仅仅长度为 1，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同选 D.二、填空题9如图 ABCD 是菱形，则在向量 、 、 、 、 和 中，相等的有_AB BC CD DA DC A
7、D 对答案 2解析 ， .其余不等AB DC BC AD 10给出下列各命题：(1)零向量没有方向；(2)若|a|b|，则 ab；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(6)若 ab，bc，则 ac；(7)若 ab，bc，则 ac；(8)若四边形 ABCD 是平行四边形，则 ， .AB CD BC DA 其中正确命题的序号是_答案 (5)(6)解析 (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；(2)该命题不正确，| a| b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；(3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度 1，而对方向没要求
8、；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(6)该命题正确由向量相等的定义知，a 与 b 的模相等， b 与 c 的模相等，从而 a 与c 的模相等；又 a 与 b 的方向相同，b 与 c 的方向相同，从而 a 与 c 的方向也必相同，故ac；(7)该命题不正确因若 b0，则对两不共线的向量 a 与 c，也有 a0,0c ，但 a c；(8)该命题不正确如图所示，显然有 ， .AB CD BC DA 11已知 A、B、C 是不共线的三点，向量 m 与向量 是平行向量，与 是共
9、线向量，AB BC 则 m_.答案 0解析 A、 B、C 不共线， 与 不共线，AB BC 又m 与 、 都共线，m 0.AB BC 三、解答题12如图所示，点 O 为正方形 ABCD 对角线的交点，四边形 OAED，OCFB 都是正方形在图中所示的向量中：(1)分别写出与 ， 相等的向量；AO BO (2)写出与 共线的向量；AO (3)写出与 的模相等的向量；AO (4)向量 与 是否相等？AO CO 解析 (1) ， ；AO BF BO AE (2)与 共线的向量为： ， ， ；AO BF CO DE (3)| | | | | | | | |；AO CO DO BO BF CF AE D
10、E (4)不相等13如图所示，四边形 ABCD 中， ，N 、M 是 AD、BC 上的点，且 .AB DC CN MA 求证： .DN MB 解析 ，AB DC | | | |且 ABCD.AB DC 四边形 ABCD 是平行四边形| | |，且 DACB.DA CB 又 与 的方向相同，DA CB .CB DA 同理可证：四边形 CNAM 是平行四边形， .CM NA | | | |，| | |，CB DA CM NA | | |，DNMB ，即 与 的模相等且方向相同 .MB DN DN MB DN MB 14如图所示，43 的矩形(每个小方格都是单位正方形) ，在起点和终点都在小方格的顶
11、点处的向量中，试问：(1)与 相等的向量共有几个；AB (2)与 平行且模为 的向量共有几个？AB 2(3)与 方向相同且模为 3 的向量共有几个？AB 2分析 非零向量平行( 共线) 包括两种情况：一种是方向相同，另一种是方向相反解析 (1)与向量 相等的向量共有 5 个(不包括 本身) AB AB (2)与向量 平行且模为 的向量共有 24 个AB 2(3)与向量 方向相同且模为 3 的向量共有 2 个AB 215如图所示，已知ABCD，AOBE，ACFB，ACGD，ACDH ，点 O 是ABCD 的对角线交点，且 a， b， c.OA OD AD (1)写出图中与 a 相等的向量；(2)
12、写出图中与 b 相等的向量；(3)写出图中与 c 相等的向量解析 (1)在OAEB 中， a；在ABCD 中， a，所以 a .OA BE CO OA BE CO (2)在ABCD 中， b；在AOBE 中， b，所以 b .BO OD EA BO EA BO (3)在ABCD 中， c；在ACGD 中， c，所以 c .BC AD CG AD BC CG 16已知飞机从甲地按北偏东 30的方向飞行 2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30的方向飞行 2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行 1000 km 到达丁地，问丁地2在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？解析 如图所示，A 、B、C、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形 ABC 为正三角形，AC2000km.又ACD45，CD 1000 ，ACD 为直角三角形，2即 AD1000 km，CAD 45.2答：丁地在甲地的东南方向，距甲地 1000 km.2
