1、2.4 等比数列的性质（教师版）一、选择题：1在等比数列a n中，首项 a1an，则公比 q应满足( )Aq1 B00 对任意正整数 n 都成立，而 a1a2，则 an( )A(2) n1 B(2) n1 C( 2) n D(2) n【答案】A【解析】：|a 1|1，a 1 1 或 a11，a 58a 2， q 38，q2.又 a5a2，即 a2q3a2，a 2的最大正整数 n 的值为_19【答案】 4【解析】：a 2a44a ，且 a30，a 32.又 a1a 2a 3 214， 3( 舍232q2 2q 1q去)或 2，1q即 q ，a 18.又 ana 1qn1 8 n1 n4 ，a n
2、an1 an2 3n9 ，即12 (12) (12) (12) 1923n9 0，b 22.原式 .52三、解答题11等差数列a n中，公差 d0，且 a1，a 3，a 9 成等比数列，则 等于多少？a1 a3 a9a2 a4 a10【答案】见解析【解析】：由题意知 a3 是 a1 和 a9 的等比中项，a a 1a9，(a 12d) 2a 1(a18d)，解23得 a1d， .a1 a3 a9a2 a4 a10 13d16d 131612设关于 x 的一元二次方程 anx2a n1 x10( n1,2,3，)有两根 和 ，且满足6263.(1)试用 an表示 an1 ；(2)求证：数列 是等
3、比数列；an 23(3)当 a1 时，求数列a n的通项公式76【答案】见解析【解析】 (1)根据根与系数的关系，有Error!，代入题设条件 6()23，得 3，所以 an1 an .6an 1an 2an 12 13(2)因为 an1 an ，所以 an1 ，12 13 23 12(an 23)所以数列 是以 为公比的等比数列an 23 12(3)当 a1 时，a 1 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，76 23 12 an 23 12 12所以 an n(n1,2,3，) 23 (12)13某市 2011 年新建住房 400 万平方米，其中 250 万平方米是中低价房，预计今年后
4、的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加 50 万平方米，那么到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积( 以 2011 年为累计的第一年)将首次不少于 4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%?【答案】见解析【解析】 (1)设中低价房面积构成数列a n，由题意可知，a n是等差数列，其中a1250，d50，则 Sn250n 5025n 2225n.nn 12令 25n2225n4 750，得 n29n1900，令 f(n)n 29n 190，当 f(n)0 时，n 119，
5、n 210，由二次函数的图象得 n19 或 n10 时，f (n)0，而 n 是正整数n10.故到 2020 年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万平方米(2)设新建住房面积构成数列 bn，由题意可知， bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则 bn4001.08 n1 ，由题意可知 an0.85bn，即 250(n1)504001.08 n1 0.85，满足不等式的最小正整数 n6.故到 2016 年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.14在公差为 d(d0)的等差数列 an和公比为 q 的等比数列b n中，已知a1b 11，a 2b 2，a 8b 3.(1)求 d，q 的值；(2)是否存在常数 a，b，使得对于一切自然数 n，都有 an logabnb 成立？若存在，求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】 (1)由 a2b 2，a 8b 3，得Error!即Error!解方程组得Error!或Error! (舍去)(2)由(1)知 an1(n1)55n4，b nb 1qn1 6 n1 .由 anlog abnb，得 5n4 loga6n1 b，即 5n4nlog a6blog a6.比较系数得Error!解得 a 5， b1，使得对一切自然数 n，都有 anlog a
