1、人教版必修三3. 3.1 几何概型（教）一、问题情境如图，有两个转盘甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向区域时，甲获胜，否则乙获胜问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率二、建立模型1. 提出问题首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关即：字母B 所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比接着提出这样的问题：变换图中 B 与 N 的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型注意：（1）
2、这里“只” 非常重要，如果没有“ 只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的（2）正确理解“几何因素” ，一般说来指区域长度（或面积或体积）2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰抽象概括如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下：3. 再次提出问题，并组织学生讨论（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（2）在 500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打
3、开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于 10min 的概率通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法三、典型例题1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6：307：30 之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上 7：008：00 之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件 A）的概率是多少分析：我们有两种方法计算事件的概率（1）利用几何概型的公式（2）利用随机模拟的方法解法 1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件根据题意，只要点落到阴影
4、部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件 A 发生，所以解法 2：设 X，Y 是 01 之间的均匀随机数X6.5 表示送报人送到报纸的时间，Y7 表示父亲离开家去工作的时间如果 Y7X6.5，即 YX0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸用计算机做多次试验，即可得到 P（A）教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中
5、的豆子数之比，并以此估计圆周率的值解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即假设正方形的边长为 2，则由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以这样就得到了 的近似值另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1）产生两组 01 区间的均匀随机数，a 1RAND，b 1RAND；（2）经平移和伸缩变换，a（a 10.5）*2，b（b 10.5）*2；（3）数出落在圆内 a2b 21 的豆子数 N1，计算 （N 代表落在正方形中的豆子数）可以发现，随着试验次数的增加，得到 的近似值的精度会越来越高本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积练 习1. 如图 30-4，如果你向靶子上射 200 镖，你期望多少镖落在黑色区域2. 利用随机模拟方法计算图 30-5 中阴影部分（y1 和 yx 2 围成的部分）的面积3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积作业：课本
