1、2.2.2 等差数列的性质一、学习目标在理解等差数列定义、如何判定等差数列及学习等差数列通项公式的基础上,掌握等差中项的定义及应用,明确等差数列的性质, 并运用其进行一些等差数列的相关计算.合作学习二、设计问题,创设情境在上一节我们已经学习了等差数列,掌握了等差数列的定义、通项公式与公差,作为一类特殊的数列,是否具有某些特殊的性质?又如何去证明或判定一个数列是等差数列呢?三、信息交流,揭示规律1.对于三个数成等差数列,我们定义等差中项在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列.(1)2,( ),4; (2)-12,( ),0; (3)a,( ),b.2.等差中项定义由三个
2、数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时 A 叫做 a 与 b 的等差中项.符号表示:2A=a+b A= . 【思考】(1)在等差数列 an中,是否有 2an+1=an+an+2 成立? 等差数列又可以怎么叙述?从第 2 项起, 每一项是它的前一项和后一项的等差中项.(2)等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.3.等差数列的性质问题 1:列举几个数列, 观察数列的特点,研究公差与数列单调性的关系.性质 1:若数列a n是等差数列,公差为 d.若 d0,则a n是递增数列;若 d1), 求差得 an-an-1=(pn+q)-p(n-1)+q=pn+q-(pn-p+q)=
3、p,它是一个与 n 无关的常数,所以a n是等差数列.5.解: a 1+a7=2a4,a 1+a4+a7=3a4=15,由此得到 a4=5.又a 2a4a6=45,a 2a6=9,即(a 4-2d)(a4+2d)=9,(5-2d)(5+2d)=9.得 d=2.当 d=2 时,a n=a4+(n-4)d=2n-3; 当 d=-2 时,a n=a4+(n-4)d=13-2n.五、变式训练,深化提高6.解: 设这三个数分别为 x-d,x,x+d. 则解得；相应地,所求三个数为 3,5,7 或 7,5,3.7.证明: a,b,c 成等差数列, 2b=a+c. (b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c),b+c,c+a,a+b 成等差数列.说明:如果 a,b,c 成等差数列, 常化成 2b=a+c 的形式去运用;反之,如果求证 a,b,c 成等差数列,常改证 2b=a+c 成立.
