1、 等差数列前 n 项和公式的两个侧重摘要：本文从在思想方法的角度给出了等差数列前 n 项和两个公式的侧重点。 关键词：等差数列 思想 前 n 项和公式我们知道，教材就等差数列前 n 项和给出了两个公式：设等差数列 na的前 n 项和公式和为 nS，公差为 d， *N，则 1()2a（公式一）nn（公式二）这两个公式在解决问题时如何使用，下面举例说明。以下 *,mnpqN,不再说明。一 侧重于函数方程思想的公式一1 方程思想：所谓方程思想就是将题目条件运用前 n 项和公式，表示成关于首项 a1 和公差 d 的两个方程，通过解决方程来解决问题。例 1 已知a n为等差数列，前 10 项的和 S10
2、=100，前 100 项的和 S100=10，求前 110 项的和S110.剖析：方程的思想，将题目条件运用前 n 项和公式，表示成关于首项 a1 和公差 d 的两个方程.解析：设a n的首项为 a1，公差为 d，则,09210d解得 .10,5daS 110=110a1+ 2110109d=110.拓展：观察结构特点，将公式一做如下变形： 11()()2nnSa，在处理问题是会更方便。例 2 如果等差数列 n的前 4 项和是 2，前 9 项和是 6，求其前 n 项和公式。解：由变形公式得：dnSn4219421将 ,294S代入 ,得： nn30472 函数思想将 21 1()()ndSan
3、a，当 0d，数列 na为常数列；当0d，则 是关于 n 的二次函数，若令 1,2ABa则 2SAB。此时可利用二次函数的知识解决。例题 3 设等差数列 na满足 8135a，且 0，则 n的前多少项的和最大？解析：思路一：由 3 a8=5a13 得： d= 92a1,若前 n 项和最大，则 0392)1(1na，又 a10 得： 2419n，n=20, 即 n的前 20 项和最大。这一做法为通法。思路二： 21111()()(40)3939Sdaan,当且仅当20n时 nn 最大。点评：这一做法突显了数列的函数特征。思路三：由 8135a得 15125813 125252aaa S,又 10
4、a， nS的图象是开口向下的抛物线上的点列，对称轴恰为 0n，故 时 Sn 最大。点评：这一做法中几乎没有运算，抓住了题目条件，结合数列的函数特性做处理，显得十分巧妙。二 侧重于等差数列性质的公式二1 侧重于性质：若 ,mnpq则 mnpqaa。有些涉及等差数列前 项和的题目，常与等差数列的上述性质融合在一起，将 1na与其他条件进行转换。例题 4 一个只有有限项的等差数列，它的前 5 项的和为 34，最后 5 项的和为 146，所有项的和为 234，则它的第七项等于（ ）A. 22 B. 21 C. 19 D. 18解：设该数列有 项且首项为 ，末项为 ，公差为 ，则依题意有12345234(1)62()nnnaa结合上述性质可得 代入(3)有从而有 故选 D点评：依题意能列出 3 个方程，若将 作为一个整体，问题即可迎刃而解。在求时，巧用等差中项的性质也值得关注。知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。2 侧重于等差中项利用等差中项，可以实施等差数列前 n项和 nS与其通项 na的转换：1221()nnnaSa例题 5 在等差数列 和 nb中，它们的前 n项和分别为 ,nST，且 213n，则7ab的值是多少？分析：利用等差中项建立起等差数列前 n项和与其通项的联系是解决本题的关键。解析：13137 72132aSbbT
