1、斐波那契数列斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、 1、2 、3、5、8 、13、21、34、在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=1， F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n=2，nN*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从 1963 起出版了以斐波纳契数列季刊为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。斐波那契数列指的是这样一个数列
2、 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765 ，10946，17711，28657，46368.自然中的斐波那契数列这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列的定义者，是意大利数学家 列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci） ，生于公元1170 年，卒于 1250 年，籍贯是 比萨。他被人称作“ 比萨的列昂纳多”。1202 年，他撰写了算盘全书 （Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商
3、业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。通项公式编辑递推公式斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .如果设 F(n）为该数列的第 n 项（nN*） ，那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)显然这是一个线性递推数列。通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)注：此时 通项公式推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：解得 则 解得
4、方法二：待定系数法构造等比数列 1（初等代数解法）设常数 ， .使得则 ， 时，有联立以上 n-2 个式子，得： ， 上式可化简得：那么（这是一个以 为首项、以 为末项、 为公比的等比数列的各项的和） 。， 的解为则 方法三：待定系数法构造等比数列 2（初等代数解法）设 得 构造方程 解得 ，所以由(1)(2)式得化简可得方法四：母函数法。对于斐波那契数列a(n)，有 a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n2 时)令 S(x)=a(1)x+a(2)x2+a(n)xn+。那么有 S(x)*(1-x-x2)=a(1)x+a(2)-a(1)x2+a(n)-a(n-1)-a(
5、n-2)xn+=x.因此 S(x)=x/(1-x-x2).不难证明 1-x-x2=-x+(1+5)/2x+(1-5)/2=1-(1-5)/2*x1-(1+5)/2*x.因此 S(x)=(1/5)*x/1-(1+5)/2*x-x/1-(1-5)/2*x.再利用展开式 1/(1-x)=1+x+x2+x3+xn+于是就可以得 S(x)=b(1)x+b(2)x2+b(n)xn+其中 b(n)=(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n.因此可以得到 a(n)=b(n)=(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n与黄金分割关系 有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来
6、表达的。而且当 n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近 0.618） 。11=1，12=0.5，23=0.666.，35=0.6，58=0.625，5589=0.617977144233=0.6180254636875025=0.6180339886.越到后面，这些比值越接近黄金比.证明两边同时除以 得到： 若 的极限存在，设其极限为 x，则。所以 解得 所以极限是黄金分割比。特性平方与前后项从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多 1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少 1。如：第二项 1 的平方比它的前一
7、项 1 和它的后一项 2 的积 2 少 1，第三项 2 的平方比它的前一项 1 和它的后一项 3 的积 3 多 1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项 1 开始数，第 4 项 5 是奇数，但它是偶数项，如果认为 5 是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）证明经计算可得：f(n)2-f(n-1)f(n+1)=(-1)(n-1)与集合子集斐波那契数列的第 n+2 项同时也代表了集合1,2,.,n中所有不包含相邻正整数的子集个数。奇数项求和偶数项求和平方求和隔项关系f(2n-2m-2)f(2n)+f(2n+2)=f(2m+2)+f(4n-2m) nm
8、-1，且 n1两倍项关系f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)其他公式应用生活斐波那契斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前 比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣） ，蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数 e（可以推出更多） ，黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。合并图册(2 张)斐波那契数与植物花瓣 3百合和蝴蝶花 5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花 8翠雀花 13金盏和玫瑰 21紫宛 34、 55、89雏菊斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数 0，然后依序点数叶子（假定没有折损） ，直到到达与那
9、些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。黄金分割随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值 0.6180339887.杨辉三角将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、 1、2、3 、5 、 8、公式表示如下：f=C(0,0)=1 。 f=C(1,0)=1。f=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。 f=C(3,0)+C(2,1)=1+
10、2=3。f=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。 f=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。F=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+C(n-1-m,m) (m2） ，每段的长度不小于 1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则 n 的最大值为多少？分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是存在两边之和不超过另一边。截成的铁丝最小为 1，因此可以放 2 个 1，第三条线段就是 2（为了使得 n 最大，因此要使剩下来的铁丝尽可
11、能长，因此每一条线段总是前面的相邻 2 段之和） ，依次为：1、 1、2、3 、5 、 8、13、21 、34、55，以上各数之和为 143，与 144 相差 1，因此可以取最后一段为56，这时 n 达到最大为 10。我们看到， “每段的长度不小于 1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数 1 产生了斐波那契数列，如果把 1 换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。在这个问题中，144143，这个 143 是斐波那契数列的前 n 项和，我们是把 144 超出 143 的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有 3 条线
12、段可以构成三角形了。影视作品中的斐波那契数列斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的达芬奇密码里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在魔法玩具城里又是在店主招聘会计时随口问的问题。可见此数列就像黄金分割一样流行。可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。在电视剧中也出现斐波那契数列，比如：日剧考试之神第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题在 FOX 热播美剧 Fringe 中更是无数次引用，甚至作为全剧宣传海报的设计元素之一。推广斐波那契卢卡斯数列卢卡斯数列 1、3 、4、7、11、18，也具有斐波那契数列同样的性质。
13、 （我们可称之为斐波那契卢卡斯递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和 f(n) = f(n-1)+ f(n-2） 。卢卡斯数列的通项公式为 f(n)=(1+5）/2n+(1-5)/2n这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示） ，F（n）*L （n ） =F(2n） ，及 L（n）=F（n-1)+F(n+1)n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 斐波那契数列 F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 卢卡斯数列 L(n) 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 F(n)*L(n) 1 3 8 21 55 14437798725846765类似的数列还有
14、无限多个，我们称之为斐波那契卢卡斯数列。如 1，4 ， 5，9， 14，23 ，因为 1，4 开头，可记作 F1，4，斐波那契数列就是 F1，1 ，卢卡斯数列就是 F1， 3，斐波那契 卢卡斯数列就是 Fa，b。斐波那契卢卡斯数列之间的广泛联系任意两个或两个以上斐波那契卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契卢卡斯数列。如：F1,4n+F1,3n=F2,7n，F1,4n-F1,3n=F0,1n=F1,1(n-1） ，n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F1,4n 1 4 5 9 14 23 37 60 97 157 F1,3n 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 F1,4n
15、-F1,3n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 F1,4n+F1,3n 2 7 9 16 25 41 66107173280 任何一个斐波那契卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F1,1(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 F1,1(n-1) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 F1,1(n-1) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 F1,3n 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 黄金特征与孪生斐波那契卢卡斯数列斐波那契卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后
16、两项之积的差的绝对值是一个恒值，斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=1卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=5F1，4 数列：|4*4-1*5|=11 F2，5数列：|5*5-2*7|=11F2，7 数列：|7*7-2*9|=31斐波那契数列这个值是 1 最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征 1 的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是 5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。而 F1， 4与 F2，5的黄金特征都是
17、 11，是孪生数列。F2，7 也有孪生数列：F3 ，8。其他前两项互质的斐波那契卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契卢卡斯数列。广义斐波那契数列斐波那契数列的黄金特征 1，还让我们联想到佩尔数列：1，2，5，12，29 ， ，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=1（该类数列的这种特征值称为勾股特征） 。佩尔数列 Pn 的递推规则：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，称为广义斐波那契数列。当 p=1， q=1 时，我们得到斐波那契 卢卡斯数列。当 p=1，
18、 q=2 时，我们得到佩尔 勾股弦数（跟边长为整数的直角三角形有关的数列集合） 。当 p=2， q=-1 时，我们得到等差数列。其中 f1=1，f2=2 时，我们得到自然数列 1，2，3，4。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为 1（等差数列的这种差值称为自然特征） 。具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义 斐波那契数列 p=1。当 f1=1， f2=2， p=2，q=0 时，我们得到 等比数列 1，2，4，8， 16相关数学排列组合有一段楼梯有 10 级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第 10 级台阶有几种不同的走法?这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法
19、；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法1， 2，3，5，8 ，13所以，登上十级，有 89 种走法。类似的，一枚均匀的硬币掷 10 次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？答案是（1/5)*(1+5)/2(10+2) - (1-5)/2(10+2)=144 种。求递推数列 a=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通项公式由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n） ，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。兔子繁殖问题斐波那契数列又因数学家 列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“ 兔子数列”。一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖
20、能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对两个月后，生下一对小兔对数共有两对三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对依次类推可以列出下表：经过月数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12幼仔对数 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89成兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144总体对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233幼仔对数=前月成
21、兔对数成兔对数=前月成兔对数+ 前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+ 本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在中提出的，这个级数的通项公式，除了具有 a(n+2)=an+a(n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：an=(1/5)*(1+5)/2n-(1-5)/2n（ n=1,2,3.）数列与矩阵对于斐波那契数列 1、1 、2、3、 5、8、13、。有如下定义F(n)=F(n-1)+F(n-2) F(1)=1 F(2)=1对于以下矩阵乘法 F(n+1) = 11 F
22、(n) F(n) 10 F(n-1)它的运算就是右边的矩阵 11 乘以矩阵 F(n) 得到：10 F(n-1) F(n+1)=F(n)+F(n-1) F(n)=F(n)可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义设矩阵 A=1 1 迭代 n 次可以得到： F(n+1) =A(n) * F(1)= A(n)*1 1 0 F(n) F(0) 0这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义。另矩阵乘法的一个运算法则 An(n 为偶数) = A(n/2)* A(n/2)，这样我们通过二分的思想，可以实现对数复杂度的矩阵相乘。 因此可以用递归的方法求得答案。数列值的另一种求法： F(n) = ( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) n 其中 x 表示取距离 x 最近的整数。斐波那契弧线斐波那契弧线，也称为斐波那契扇形线。第一，此趋势线以二个端点为准而画出，例如，最低
