1、管理运筹学 运输问题 华东交大经济 管理学院 SHUFE 2 第五章 运输问题 运输问题是线性规划问题的特例。 产地 ：货物发出的地点。 销地 ：货物接收的地点。 产量 ：各产地的可供货量。 销量 ：各销地的需求数量。 运输问题就是研究如何组织调运，既满足各销地的需求，又使总运费最小。 华东交大经济 管理学院 SHUFE 3 第一节 运输模型 某饮料在国内有三个生产厂 ， 分布在城市 A1、 A2、 A3,其一级承销商有 4个 ， 分布在城市 B1、 B2、 B3、 B4， 已知各厂的产量 、 各承销商的销售量及从 Ai到 Bj的每吨饮料运费为 Cij， 为发挥集团优势 ， 公司要统一筹划运销
2、问题 ， 求运费最小的调运方案 。 一、运输问题举例 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 6 3 2 5 5 A2 7 5 8 4 2 A3 3 2 9 7 3 销量 2 3 1 4 华东交大经济 管理学院 SHUFE 4 第一节 运输模型 (1)决策变量 。 设从 Ai到 Bj的运输量为 xij， (2)目标函数 minZ=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22+8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34 (3)约束条件 。产量之和等于销量之和 ,故要满足： 供应平衡条件 x11+x12+x13+x14=5 x21+x22+x23+x24=2
3、x31+x32+x33+x34 =3 销售平衡条件 x11+x21+x31=2 x12+x22+x32=3 x13+x23+x33=1 x14+x24+x34=1 非负性约束 xij0 (i=1,2,3； j=1,2,3,4) 运输问题的 LP模型 华东交大经济 管理学院 SHUFE 5 第一节 运输模型 销地 产地 二、表式运输模型 A1 A2 Am 产量 a1 a2 am B1 B2 Bn 销地 b1 b2 bn c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn 华东交大经济 管理学院 SHUFE
4、 6 第一节 运输模型 产销平衡 三、运输问题的三种类型 minjji ba1 10,.,2,1,.,2,1,min111 1 ijmijijnjiijminjijijxnjbxmiaxxcZ华东交大经济 管理学院 SHUFE 7 第一节 运输模型 产大于销 minjji ba1 10,.,2,1,.,2,1,min111 1 ijmijijnjiijminjijijxnjbxmiaxxcZ华东交大经济 管理学院 SHUFE 8 第一节 运输模型 产小于销 minjji ba1 10,.,2,1,.,2,1,min111 1 ijmijijnjiijminjijijxnjbxmiaxxcZ华东
5、交大经济 管理学院 SHUFE 9 第一节 运输模型 系数矩阵的结构如下： （决策变量 mn， 约束方程 m+n个） 四、运输模型的特点 111111111111111111Ax11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn m 行 n 列 华东交大经济 管理学院 SHUFE 10 五、运输问题的应用 产销不平衡的运输问题 增加一个销地 产大于销 销地 产地 B1 B2 B3 产量 A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 18 A3 6 2 8 17 销量 18 12 16 销地 产地 B1 B2 B3 产量 A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 18 A3 6 2
6、 8 17 销量 18 12 16 50-46 B4 0 0 0 4 50 46 50 50 华东交大经济 管理学院 SHUFE 11 增加一个产地 产小于销 销地 产地 B1 B2 B3 产量 A1 4 1 2 10 A2 3 4 3 12 销量 8 10 5 销地 产地 B1 B2 B3 产量 A1 4 1 2 10 A2 3 4 3 12 A3 销量 8 10 5 23-22 0 0 0 1 22 23 23 23 华东交大经济 管理学院 SHUFE 12 一区 二区 三区孟县 1.65 1.7 1.75 4000临城 1.6 1.65 1.7 1500需求量 3000 1000 200
7、055006000销地产地北方研究院 供应量P129页 :例 4 特别的 :由于供不应求 ,决定一区供应量可以减少 0至200吨 ,二区需求全部满足 ,三区供应量不少于 1700吨 一区 一区 2 二区 三区 三区 2孟县 1.65 1.65 1.7 1.75 1.75 4000临城 1.6 1.6 1.65 1.7 1.7 1500假想产地 M 0 M M 0 500需求量 2800 200 1000 1700 30060006000北方研究院 供应量销地产地华东交大经济 管理学院 SHUFE 13 转运问题 :P136页 :例 8 产地 中转地 销售地 1 3 5 6 7 8 4 2 对于
8、发点 : 产量 =流出量 对于中转点 : 流入量 =流出量 对于销售点 : 流入量 =需求量 令 xij表示两点间 的运量 ,则有 600 400 200 150 350 300 华东交大经济 管理学院 SHUFE 14 第二节 表上作业法 表上作业法适合于产销平衡的运输问题 求解步骤： 找出初始方案（初始基可行解）：在 mn维产销平衡表上给出 m+n-1个数字。 最优性检验：计算各非基变量的检验数，当ij0最优。 方案调整与改进：确定进基变量和离基变量，找出新的基可行解。 华东交大经济 管理学院 SHUFE 15 第二节 表上作业法 最小元素法 “就近运给”， 从单位运价表中最小运价开始确定
9、供销关系， 逐次挑选最小元素，安排运量 minai , bj。 最大差额法 不能按最小运费就近供应，就考虑次小运费。 各行 (各列 )的最小运费与次小运费之差称为行差 (列查 )。 差额越大，说明不能按最小运费调运时，运费增加最多。 对最大差额处就采用最小运费调运。 一、确定初始方案 华东交大经济 管理学院 SHUFE 16 第二节 表上作业法 从单位运价表中逐次挑选最小元素，安排运量 minai,bj。 然后，划去该元素所在行或列： 当产大于销，划去该元素所在列； 当产小于销，划去该元素所在行。 最小元素法 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 6 3 2 5 5 A2 7 5 8
10、 4 2 A3 3 2 9 7 3 销量 2 3 1 4 1 3 0 2 2 2 初始基可行解： x11=2,x13=1,x14=2,x24=2,x31=0,x32=3， Z=38 华东交大经济 管理学院 SHUFE 17 第二节 表上作业法 判别方法是计算非基变量的检验数 ： ij= cij CBPij= cij CBB-1Pij 运输问题的目标函数要求为最小，即当 ij0视为最优。 位势法 计算检验数 (原理不做要求 ) ij= cij CBPij= cij CBB-1Pij ij = cij (ui+vj ) ui代表产地 Ai的位势量， vj代表销地 Bj的位势量。 基变量的检验数为
11、0，即 ij= cij ui vj =0， 并令 u1 =0，计算各行各列的 位势量。 二、最优性检验 华东交大经济 管理学院 SHUFE 18 第二节 表上作业法 基变量的检验数 ij= cij ui vj =0， 即 cij =ui +vj ， 且令 u1 =0，计算位势量 ui和 vj 位势法 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 6 2 3 2 1 5 2 5 A2 7 5 8 4 2 2 A3 3 0 2 3 9 7 3 销量 2 3 1 4 ui vj 0 6 2 5 -1 -3 5 华东交大经济 管理学院 SHUFE 19 第二节 表上作业法 计算非基变量的检验数 ij
12、= cij ui vj 位势法（续 ） 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量 ui A1 6 2 3 2 1 5 2 5 0 A2 7 5 8 4 2 2 -1 A3 3 0 2 3 9 7 3 -3 销量 2 3 1 4 vj 6 5 2 5 -2 2 1 7 10 5 非基变量 x12的检验数 12= c12 u1 v2 =-2， 即让非基变量 x12从 0增到1，可使总运费减少 2个单位。 华东交大经济 管理学院 SHUFE 20 第二节 表上作业法 确定进基变量 检查非基变量 xij的检验数 ij ，按 minij| ij 0= lk 确定 xlk进基。 确定离基变量 非基变量 x
13、lk进基之后，能让它的运量增加多少呢？ 就要求它所在行和列的运量保持 产销平衡 。 保持产销平衡的方法是 闭回路法 。 闭回路法： 以进基变量 xlk所在格为始点和终点，其余顶点均为基变量的封闭回路。 闭回路的画法 ：从进基变量 xlk所在格开始，用水平或垂直线向前划，每碰到一个基变量格转 90，继续前进，直到返回始点。 奇偶点： 始点是偶点，依次奇偶相间标注；偶点标“ +” ，表示运量增加量；奇点标“ -” ，表示运量减少量。 调整量： 最小可减少的运量，即奇点运量的最小值。 奇点运量的最小值所在格的基变量离基。 三、改进的方法（闭回路调整法） 华东交大经济 管理学院 SHUFE 21 第二
14、节 表上作业法 x12 进基 最小调整量为 2， x11 离基 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 6 2 3 x12 2 1 5 2 5 A2 7 5 8 4 2 2 A3 3 0 2 3 9 7 3 销量 2 3 1 4 + - + - 华东交大经济 管理学院 SHUFE 22 第二节 表上作业法 非最优方案的调整 所有偶点的值都加上调整量； 所有奇点的值都减去调整量； 获得一个新的运输方案。 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 6 3 2 1 5 2 5 A2 7 5 8 4 2 2 A3 3 2 9 7 3 销量 2 3 1 4 基可行解： x12=2,x13=
15、1,x14=2,x24=2,x31=2,x32=1， Z=34 2 0 3 2 2 1华东交大经济 管理学院 SHUFE 23 第二节 表上作业法 基变量的检验数 ij= cij ui vj =0，且令 u1 =0，计算位势量 ui和 vj 四、最优性检验 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 6 3 2 2 1 5 2 5 A2 7 5 8 4 2 2 A3 3 2 2 1 9 7 3 销量 2 3 1 4 ui vj 0 4 -1 -1 3 2 5 所有非基变量 xij的检验数 ij= cij ui vj0， 即得最优解。 华东交大经济 管理学院 SHUFE 24 第三节 产销不
16、平衡问题 产销平衡的运输问题采取表上作业法求解。 产销不平衡的运输问题需划成产销平衡问题再求解。 产大于销： 虚设一个销地 Bk (多于物资在产地存储 )，其运价为 0， 销量 (存储量 )为产销量之差 bk =ai- bj。 产小于销： 虚设一个产地 Al (不足物资的脱销量 )，其运价为 0，产量(脱销量 )为销产量之差 ak = bj - ai 。 华东交大经济 管理学院 SHUFE 25 第三节 产销不平衡问题 增加一个销地 一、产大于销 销地 产地 B1 B2 B3 产量 A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 18 A3 6 2 8 17 销量 18 12 16 销地 产地 B1
17、 B2 B3 产量 A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 18 A3 6 2 8 17 销量 18 12 16 50-46 B4 0 0 0 4 50 46 50 50 华东交大经济 管理学院 SHUFE 26 第三节 产销不平衡问题 初始基可行解 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 5 9 2 0 15 A2 3 1 7 0 18 A3 6 2 8 0 17 销量 18 12 16 4 12 15 6 12 1 4 初始基可行解： x13=15,x21=6,x22=12,x31=12,x33=1,x34=4， Z=140 华东交大经济 管理学院 SHUFE 27 第三节 产销
18、不平衡问题 最优性检验 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量 ui A1 5 9 2 15 0 15 A2 3 6 1 12 7 0 18 A3 6 12 2 8 1 0 4 17 销量 18 12 16 4 vj 0 2 6 0 -6 3 -2 5 11 6 2 3 -2 非基变量 x32的检验数 32= -2，即让非基变量 x32进基。 华东交大经济 管理学院 SHUFE 28 第三节 产销不平衡问题 闭回路调整 x32 进基 最小调整量为 12， x31 离基 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 5 9 2 15 0 15 A2 3 6 1 12 7 0 18 A3 6
19、12 2 x32 8 1 0 4 17 销量 18 12 16 4 - + - + 华东交大经济 管理学院 SHUFE 29 第三节 产销不平衡问题 非最优方案的调整 所有偶点的值都加上调整量；所有奇点的值都减去调整量。 基可行解： x13=15,x21=18,x31=0,x32=12,x31=1,x34=4， Z=34 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 5 9 2 15 0 15 A2 3 1 7 0 18 A3 6 2 8 1 0 4 17 销量 18 12 16 4 6 12 12 18 012 华东交大经济 管理学院 SHUFE 30 第三节 产销不平衡问题 基变量的检验数 ij= cij ui vj =0，且令 u1 =0，计算位势量 ui和 vj 最优性检验 所有非基变量 xij的检验数 ij= cij ui vj0，即得最优解。 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量 ui A1 5 9 2 15 0 15 A2 3 18 1 7 0 18 A3 6 0 2 12 8 1 0 4 17 销量 18 12 16 4 vj 0 2 6 0 -4 -6 3 5 13 6 2 3 2
