1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课后提升作业 十四等比数列的前 n 项和(45 分钟 70 分)一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.在等比数列a n(nN *)中,若 a1=1,a4= ,则该数列的前 10 项和为 ( )A.2- B.2-C.2- D.2-【解析】选 B.设等比数列公比为 q,由题意得: q= ,所以该数列的前 10 项和为 S10= = =2- .2.(2016潍坊高二检测)设等比数列a n的前 n 项和为 Sn,若 a3=3,且 a2016+a2017=0,则 S
2、101等于 ( )A.3 B.303 C.-3 D.-303【解析】选 A.由题意得,因为 a2016+a2017=a2016(1+q)=0,所以 q=-1,又因为 a3=3,所以 a1=3,则 S101= =3.3.已知数列 满足 a1=2,且对任意的正整数 m,n,都有 am+n=aman,若数列a n的前 n 项和为 Sn,则 Sn等于 ( )A.2-2n+1 B.2-2n C.2n-2 D.2n+1-2【解析】选 D.令 m=1,得 an+1=a1an,即 =a1=2,可知数列a n是首项为 a1=2,公比为 q=2 的等比数列,于是 Sn= =2n+1-2.4.(2016大理高二检测
3、)已知数列 满足 3an+1+an=0,a2=- ,则的前 10 项和等于 ( )A.-6 B.C.3 D.3【解析】选 C.由 3an+1+an=0,所以 an+1=- an,所以 是等比数列,公比为- ,所以首项为 a1=4,所以 S10= =3 .5.(2016鹰潭高二检测)设等比数列a n的前 n 项和为 Sn,满足an0,q1,且 a3+a5=20,a2a6=64,则 S6= ( )A.63 B.48 C.42 D.36【解析】选 A.由题意可知,有 化简得 2q2-5q+2=0,解得 或 (舍)因此 a1=1,S6= = =26-1=63.【一题多解】选 A.由 a2a6=a3a5
4、=64,且 a3+a5=20,所以 a3,a5是一元二次方程 x2-20x+64=0 的两根.因为 q1,所以 a5a3,得a3=4,a5=16,q2= =4,q=2,a1= =1.所以 S6= =63.6.已知数列a n是首项为 1 的等比数列,S n是a n的前 n 项和,且 =,则数列 的前 5 项和为 ( )A. 或 B. 或 C. D.【解析】选 A.显然 q1,则 = = = ,解得 q=2,则为等比数列,其公比为 ,则其前 5 项和为 = 或 .7.(2016重庆高一检测)等比数列a n中,已知a1+a2+a3+a4=20,a5+a6+a7+a8=10,则数列a n的前 16 项
5、和 S16为 ( )A.20 B. C. D.-【解析】选 B.由题意得,S 4=20,S8-S4=10,则 = ,根据等比数列的性质可知 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12构成公比为 的等比数列,S4=20,S8-S4=10,S12-S8=5,S16-S12= ,且 S8=30,S12=35,S16= .8.已知a n是首项为 32 的正项等比数列,S n是其前 n 项和,且= ,则数列|log 2an|的前 10 项和为 ( )A.25 B.26 C.27 D.28【解析】选 A.设等比数列a n的公比为 q,则 q0,根据题意得= =q2= ,因为数列为正项数列,所以 q=
6、,从而有an=32 =26-n,所以 log2an=6-n,所以有 = ,所以数列|log 2an|的前 10 项和等于 5+4+3+2+1+0+1+2+3+4=25.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.(2015全国卷)数列 中 a1=2,an+1=2an,Sn为 的前 n 项和,若 Sn=126,则 n=_.【解析】因为 =2,所以数列a n是首项 a1=2,公比 q=2 的等比数列,S n= =126,即 2n+1=128,解得 n=6.答案:610.(2016杭州高二检测)已知数列a n是等比数列,S n是其前 n 项的和,若 a2a7=128,a4=8,则 a1=_,Sn=
7、_.【解析】由 a2a7=128,a4=8,则数列各项均为正.得:即解得: 则 a1=1,Sn= =2n-1.答案:1 2 n-1三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)11.已知数列a n满足 an+1=3an+2(nN *),且 a1=2.(1)求证:数列a n+1是等比数列.(2)求数列a n的前 n 项和 Sn.【解析】(1)因为 = =3,a1+1=3,所以 是首项为 3,公比为 3 的等比数列.(2)由(1)可得 an+1=3n,所以 an=3n-1.Sn= -n= -n.12.(2016全国卷)已知a n是公差为 3 的等差数列,数列b n满足b1=1,b2= ,anbn+1
8、+bn+1=nbn.(1)求a n的通项公式.(2)求b n的前 n 项和.【解析】(1)由已知,a 1b2+b2=b1,b1=1,b2= ,得 a1=2.所以数列a n是首项为 2,公差为 3 的等差数列,通项公式为 an=3n-1.(2)由(1)和 anbn+1+bn+1=nbn得 bn+1= ,因此b n是首项为 1,公比为的等比数列.记b n的前 n 项和为 Sn,则 Sn= = - .【能力挑战题】数列a n中,S n=1+kan(k0,k1).(1)证明:数列a n为等比数列.(2)求通项 an.(3)当 k=-1 时,求和 + + .【解析】(1)因为 Sn=1+kan,Sn-1=1+kan-1,-得 Sn-Sn-1=kan-kan-1(n2).所以(k-1)a n=kan-1, = 为常数,n2.所以a n是公比为 的等比数列.(2)因为 S1=a1=1+ka1,所以 a1= .所以 an= =- .(3)因为a n中 a1= ,q= ,所以 是首项为 ,公比为 的等比数列.当 k=-1 时,等比数列 的首项为 ,公比为 ,所以 + += = .关闭 Word 文档返回原板块
