1、第2课时分段函数及映射,主题1分段函数某市空调公共汽车的票价按下列规则制定:(1)5千米以内(含5千米),票价2元.(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米的按5千米计算).,已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米,沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站.请根据以上内容,回答下面的问题:,1.从起点站出发,公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)间的函数关系是什么?提示:当0x5时,y=2;当51时,f(a)=a2-a-3.,2.本例若增加条件f(a)+f(-1)=3,求a的值.【解析】因为-11时,f(a)+f(-1)=a2-a-3=3,即a2-a-6=0,所以a=3或a=-2
2、(舍).所以a=3.,【方法总结】1.求分段函数值的方法先确定要求值的自变量属于哪一段,然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.特别地,当出现f(f(x0)的形式时,应从内到外依次求值.,2.已知函数值求字母的值的四个步骤(1)讨论:对字母的取值范围分类讨论.(2)代入:由不同取值范围,代入对应的解析式中.(3)求解:通过解方程求出字母的值.(4)检验:检验所求的值是否在所讨论的区间内.,【补偿训练】1.已知函数f(x)= 若f(x)=3,则x=()A. B.9 C.-1或1 D.,【解析】选A.当x0时,由x+2=3,得x=1,不符合题意;当0x3时,由x2=3,得x= 或x=- (舍去)
3、,故x= .,2.已知函数f(x)= 则f(1)-f(3)=()A.-2B.7C.27D.-7【解析】选B.f(1)=f(1+3)=f(4)=42+1=17,f(3)=32+1=10,所以f(1)-f(3)=7.,类型二分段函数的图象及应用【典例2】已知函数f(x)=1+ (-2x2).(1)用分段函数的形式表示函数f(x).(2)画出函数f(x)的图象.(3)写出函数f(x)的值域.,【解题指南】先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,再用描点法作出函数图象,由图求值域.,【解析】(1)当0x2时,f(x)=1+ =1,当-2x0时,f(x)=1+ =1-x,所以f(x)=,
4、(2)函数f(x)的图象如图所示:,(3)由(2)知,f(x)在(-2,2上的值域为1,3).,【方法总结】作分段函数图象的方法作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不考虑范围的限制,作出其图象,再保留对应范围内的一段图象即可,作图时要特别注意衔接点处点的虚实,保证不重不漏.,【巩固训练】1.(2017周口高一检测)下列图象是函数y= 的图象的是(),【解析】选C.当x0时,y=x2,为抛物线y=x2在y轴左侧的部分,当x0时,y=x-1,为射线且与y轴交于(0,-1).,2.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米
5、/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20x200时,车流速度v是车流,密度x的一次函数.当0x200时,求函数v(x)的表达式.,【解析】由题意,当0x20时,v(x)=60;当20x200时,设v(x)=ax+b. 故函数v(x)的表达式为,【补偿训练】1.已知函数f(x)= 则函数f(x)的图象是(),【解析】选A.当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,图象过(1,
6、2),B错.,2.已知函数f(x)= 若f(a)-3,则a的取值范围是_.,【解析】当a-2时,f(a)=a-3,解集为(-,-3);当-2a4时,f(a)=a+1-3,此时无解;当a4时,f(a)=3a-3,此时无解.所以a的取值范围是(-,-3).答案:(-,-3),类型三映射的概念及应用【典例3】(1)(2017重庆高一检测)设集合A=x|1x2,B=y|1y4,则下述对应关系f中,不能构成A到B的映射的是()A.f:xy=x2 B.f:xy=3x-2C.f:xy=-x+4D.f:xy=4-x2,(2)(2017吉安高一检测)已知集合A=B=R,xA, yB,f:xy=ax+b,若6和9
7、在f作用下分别与4和10对应,则19在f作用下与_对应.,【解题指南】(1)根据映射的定义,判断A中的每一个元素在对应关系f的作用下,在集合B中是否都有唯一的元素与之对应.(2)根据6和9在f作用下与4和10对应,建立关于a,b的方程组,求出y=ax+b的解析式,再将x=19代入可解y的值.,【解析】(1)选D.f:xy=x21,4;f:xy=3x-21,4;f:xy=-x+42,3 1,4;f:xy=4-x20,3.(2)由题意可得 解得 所以y=2x-8,当x=19时,y=30.答案:30,【方法总结】判断一个对应是不是映射的方法判断一个对应是不是映射,看两点:(1)任意性:集合A中任一元
8、素在B中都有元素与之对应.(2)唯一性:对应应是多对一或一对一.,【巩固训练】1.下列各个对应中,构成映射的是(),【解析】选B.对于A,M中元素2在N中无元素与之对应;对于C,D,M中有一个元素与N中两个元素对应,不符合映射的概念,故选B.,2.下列对应是不是从A到B的映射?(1)A=R,B=1,f:xy=1.(2)A=-1,1,B=-1,1,f:xx2+y2=1.,【解析】(1)集合A中的每一个数都与B中的数1对应,因此是A到B的映射.(2)取x=0A,则由x2+y2=1,得y=1,即A中的元素0与B中的两个元素1对应,因此该对应不是从A到B的映射.,【补偿训练】1.(2017惠阳高一检测
9、)下列分别为集合A到集合B的对应.其中,是从A到B的映射的是(),A.(1)(2)B.(1)(2)(3) C.(1)(2)(4)D.(1)(2)(3)(4),【解析】选A.映射关系中可以是一对一的关系,可以是多对一的关系,不能是一对多的关系,因此(1)(2)构成映射关系.,2.a,b为实数,集合A= ,B=a,0,f:x2x表示把集合A中的元素x映射到集合B中为2x,求a+b的值.,【解析】由题意,A中的元素1只能对应集合B中的a,故a=2,所以B=2,0,而A中的 可能对应B中的2或0.当 对应2时, =1,此时A中有两个相同元素,不合题意.当 对应0时,应有 =0,则b=0,此时A=0,1,符合题意.综上,a=2,b=0,a+b=2.,【课堂小结】1.知识总结,2.方法总结映射的判断方法(1)在A中取元素的任意性.(2)在B中对应元素的唯一性.,注意事项(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.(2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.,