1、模块五综合测度时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中，一定正确的是( )A若 ab 且 ，则 a0，bb，b0，则 1abC若 ab 且 acbd，则 cdD若 ab，且 acbd，则 cd解析：A 正确，若 ab0，则 ab 与 不能同时成立；B 错，如取 a1，b1；C 错，1a 1b如 a5，b1 ，c 1，d2 时有 acbd；D 错，取 a1，b2，则 ab，令c3，d 1，有 acbd， c0 的解集为x|x4，那么对于函数 f(x)ax 2bxc 应有( )
2、Af(5)0 的解集为x|x4，a0 且 x12，x 24 为ax2bxc0 的根Error!Error!f(x) ax22ax8aa(x 22x8)，图象对称轴为直线 x1.由二次函数的图象(下图)与性质知 f(1)f(3)故选 D.答案：D3如图，一轮船从 A 点沿北偏东 70的方向行驶 10 海里至海岛 B，又从 B 沿北偏东10的方向行驶 10 海里至海岛 C，若此轮船从 A 点直接沿直线行驶至海岛 C，则此船沿( )方向行驶( ) 海里至海岛 C( )A北偏东 60；10 2B北偏东 40；10 3C北偏东 30；10 3D北偏东 20；10 2解析：由已知得在ABC 中，ABC18
3、07010 120，ABBC 10，故BAC30，所以从 A 到 C 的航向为北偏东 7030 40，由余弦定理得AC2AB 2BC 22ABBCcos ABC10 210 2210 10 300，( 12)所以 AC10 .3答案：B4在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知 a，b，c 成等比数列，且a2c 2acbc ，则 的值为( )cbsinBA. B.12 32C. D.233 3解析：a，b，c 成等比数列，b 2ac.又c 2a 2bc ac，b 2c 2a 2bc.在ABC 中，由余弦定理得 cosA ，A60.b2 c2 a22bc bc2bc 12由正
4、弦定理得 ，sin B .asinA bsinB 3b2a .cbsinB 2ac3b2 233答案：C5在ABC 中，若 sinAsinBsin C324，则 cosC 的值为( )A B.14 14C D.23 23解析：由正弦定理，知 abcsin Asin Bsin C324，设a3k，b2k， c4k，k0 ，由余弦定理得 cosC .a2 b2 c22ab 9k2 4k2 16k223k2k 14答案：A6已知a n为等比数列， a4a 72，a 5a68，则 a1a 10( )A7 B5C5 D7解析：解法一：利用等比数列的通项公式求解由题意得Error!Error!或Error
5、!a 1a 10a 1(1q 9)7.解法二：利用等比数列的性质求解由Error!解得Error!或Error!Error!或Error!a 1a 10a 1(1q 9)7.答案：D7已知 a，b，c 为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 m( ，1)，3n(cosA ，sinA)若 mn，且 acosBbcos Ac sinC，则角 A，B 的大小分别为( )A. ， B. ，6 3 23 6C. ， D. ，3 6 3 3解析： cosAsinA0， A ，33sinAcosB sinBcos Asin 2C，即 sinAcosBsinBcos Asin(AB )sinCsin
6、2C，C ，B .2 6答案：C8当实数 x，y 满足Error!时，1ax y4 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )A. B.(1，32 1，32)C. D.(1，32) 1，32解析：先画出可行域，然后利用数形结合确定出最值，进一步求出 a 的值画可行域如下图所示，设目标函数 zaxy，即 yax z，要使 1z4 恒成立，则a0，数形结合知，满足Error!即可，解得 1a .所以 a 的取值范围是 1a .32 32答案：D9已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 55，S 515，则数列 的前 100 项和1anan 1为( )A. B.100101 99101C. D.9
7、9100 101100解析：由 a55，S 515 可得Error!Error!a nn， ，1anan 1 1nn 1 1n 1n 1S100 (1 12) (12 13) ( 1100 1101)1 .1101 100101答案：A10ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2，B ，C ，则6 4ABC 的面积为( )A2 2 B. 13 3C2 2 D. 13 3解析：先由正弦定理解出 c 的值，再运用面积公式求解B ，C ，6 4ABC .6 4 712由正弦定理 ，得 ，bsinB csinC 2sin6 csin4即 ，c 2 .212222 2S ABC
8、 bcsinA 22 sin 1.故选 B.12 12 2 712 3答案：B11设数列x n满足 logaxn1 1log axn(a0 且 a1，nN *)，且x1x 2x 100100，则 x101x 102x 200 的值为( )A100a B101a 2C101a 100 D100a 100解析：log axn1 1log axn，log axn1 log a(axn)， a，xn 1xn数列x n是公比为 a 的等比数列设 b1x 1x 2x 100，b 1 x101x 102x 200，则 b2 b1a100100a 100答案：D12正项等比数列a n满足：a 3a 22a 1
9、，若存在 am，a n，使得 aman16a ，则 的211m 9n最小值为( )A2 B16C. D.83 32解析：由 a3a 22a 1 可得公比 q2 或 q1(舍) ，所以由 aman16a 可得21a12m1 a12n1 16a ，化简可得：m n6，所以 (mn) 211m 9n 16(1m 9n) 16(1 nm 9mn 9) ，当且仅当 n3m 时等号成立，故选择 C.16(10 2nm9mn) 83答案：C二、填空题(本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)13已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f(x)x 24x ，那么，不等式 f(x2)0.
10、当 x0 时，f( x)x 24x ，f(x )(x) 24(x) f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x )f(x) ，f(x)x 24x(x 0)的上确界为_4x解析：x0，3x 2 4 Error!，4x 3x4x 3y23x 2 24 ，当且仅当 x 时取等号故 y 的上确界为 244x (3x 4x) 3 233.3答案：24 316已知数列a n满足：a 11，a n1 (nN *)，若 bn1 ( n) (nN *)，anan 2 (1an 1)b1，且数列 bn是单调递增数列，则实数 的取值范围为_解析： 1 ，1an 1 an 2an 2an 2 .(1an 1 1) (1
11、an 1)又 12， 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列1a1 1an 1 12 n，b n1 (n)2 n.1an又b 1， b n(n1)2 n1 .又数列b n为单调递增数列，b n1 bn，(n )2n(n 1 )2n1 .0 得，00)，则 u22 u300，ab 20u3 ，0 3 ，ab18，y .2 ab 2118当且仅当Error!即Error!时，等号成立19(本小题满分 12 分)设 Sn为数列a n的前 n 项和，已知 a10,2a na 1S 1Sn，nN *.(1)求 a1，a 2，并求数列a n的通项公式；(2)求数列na n的前 n 项和解析：(1)令 n1
12、，得 2a1a 1a ，即 a1a .21 21因为 a10，所以 a11.令 n2，得 2a21S 21a 2，解得 a22.当 n2 时，由 2an1S n,2an1 1S n1 两式相减，得 2an2a n1 a n，即 an2a n1 .于是数列a n是首项为 1，公比为 2 的等比数列因此，a n2 n1 .所以数列a n的通项公式为 an2 n1 .(2)由(1)知，na nn2 n1 .记数列n2 n1 的前 n 项和为 Bn，于是 Bn12232 2n2 n1 ， 2Bn1222 232 3n2 n. ，得B n122 22 n1 n2 n2 n1n2 n.从而 Bn1(n1)
13、2 n.20(本小题满分 12 分)设ABC 的内角 A，B ，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b3，c1，A2B.(1)求 a 的值；(2)求 sin 的值(A 4)解析：(1)因为 A2B，所以 sinAsin2B2sinBcosB.由正、余弦定理得 a2b .a2 c2 b22ac因为 b3，c1，所以 a212，a2 .3(2)由余弦定理得 cosA .b2 c2 a22bc 9 1 126 13由于 0A，所以 sinA .1 cos2A1 19 223故 sin sinAcos cos Asin .(A 4) 4 4 223 22 ( 13) 22 4 2621(本小题满分
14、12 分)在数列a n中，a 11，a n1 8.an(1)求 a2，a 3；(2)设 bnlog 2an，求证： bn2 为等比数列；(3)求a n的前 n 项积 Tn.解析：(1)a 2 8，a 11，a 28.a1a3 8，a 28，a 32 .a2 2(2)方法一： ，bn 1 2bn 2 log2an 1 2log2an 2 log28an 2log2an 2 log28 12log2an 2log2an 2 12 2 log2anlog2an 2 12b n2为等比数列，公比为 .12方法二：a n1 8，log 2(an1 )log 28，即 log2an1 log2an3.an
15、 an12又b nlog 2an，b n1 bn3，12b n1 2 (bn2)， ，12 bn 1 2bn 2 12b n2为等比数列，公比为 .12(3)设数列b n 2的前 n 项和为 Sn.Sn b 1b 2b 3b n2nlog 2a1log 2a2log 2an2nlog 2Tn 21 ( 12)n1 122n，log 2Tn 2n，43( 12)n 1T n2 .-+22(本小题满分 12 分)已知数列b n的前 n 项和 Sn n2 n，数列a n满足 a 4 (nN *)，数列c n32 12 3n (2)nb 满足 cna nbn.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；
16、(2)求数列c n的前 n 项和 Tn；(3)若 cn m2m1 对于一切正整数 n 恒成立，求实数 m 的取值范围14解析：(1)由已知得，当 n2 时，bnS nS n1 3n2，(32n2 12n) 32n 12 12n 1又 b11312，符合上式，故数列b n的通项公式为 bn3n2.又a 4(b n2)，3na n4 4 n，2_2_3(14)故数列a n的通项公式为 an n.(14)(2)cna nbn(3n2) n，(14)Tn1 4 27 3(3n2) n，14 (14) (14) (14)Tn1 24 37 4(3n5) n(3n2) n1 ，14 (14) (14) (
17、14) (14) (14)上面两式相减得Tn 3Error!34 14Error!(3n2) n1 3 (3n2) n1 (3n2)(14) 14(14)21 (14)n 11 14 (14) 12 n1 ，(14)T n n.23 3n 23 (14)(3)c n(3n2) n，(14)c n1 c n(3n1) n1 (3n2) n n 9 n1 (n1) (14) (14) (14) 3n 14 3n 2 (14)当 n1 时，c n1 c n；当 n2 时，c n1 cn，(c n)maxc 1c 2 .14若 cn m2m 1 对一切正整数 n 恒成立，14则 m2m1 即可，14 14m 24m50，即 m5 或 m1.故实数 m 的取值范围为m|m 5 或 m1
