1、课时作业(八) 等差数列的性质A 组 基础巩固1若等差数列a n中，a 3a 7a 108，a 11a 44，则 a6a 7a 8 等于( )A34 B35C36 D37解析：由题意得：(a3a 7a 10)( a11a 4)12，(a 3a 11)a 7( a10a 4)12.a 3a 11a 10a 4，a 712，a 6a 7a 83a 736.答案：C2a ， b ，则 a、b 的等差中项为( )13 2 13 2A. B.3 2C. D.33 22解析： a b2 13 2 13 22 . 3 2 3 22 3答案：A3数列a n满足 3a na n1 (nN *)且 a2a 4a
2、69，则 log6(a5a 7a 9)的值是( )A2 B12C2 D.12解析：由已知可得a n是等差数列，公差 d3，a 5a 7a 9a 2a 4a 69d36，log 6(a5a 7a 9)2.答案：C4在等差数列a n中，若 a4a 6a 8a 10a 12240，则 a9 a11 的值为( )13A30 B31C32 D33解析：由等差数列的性质可得 a4a 6a 8a 10a 12240，解得 a848，设等差数列a n的公差为 d，a 9 a11a 8d (a83d) a832，故选 C.13 13 23答案：C5设 xy，且两数列 x，a 1， a2，a 3，y 和 b1，x
3、，b 2，b 3，y，b 4 均为等差数列，则( )b4 b3a2 a1A. B.43 34C. D.83 38解析：由 d 知 ，an amn m a2 a13 2 y x5 1a 2a 1 . y x4又 ，b 4b 3 (yx) b4 b36 4 y x5 2 23由得 .b4 b3a2 a1 83答案：C6在等差数列a n中，a 2 000log 27，a 2 022log 2 ，则 a2 011( )17A0 B7C1 D49解析：数列a n是等差数列，a 2 011 是 a2 000 与 a2 022 的等差中项，即 2a2 011a 2 000a 2 022log 27log 2
4、 log 210，故 a2 0110.17答案：A7已知数列1，x 1，x 2,9 和1，y 1，y 2，y 3,9 都是等差数列，则 _.y3 y1x2 x1解析：设两个等差数列的公差分别为 d1 和 d2，则 3d19(1)10，d 1 ，4d 29(1) 10，d 2 ，103 52于是 .y3 y1x2 x1 2d2d1 5103 32答案：328 九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面 4 节的容积共 3 升，最下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为_升解析：解法一：设自上第一节竹子容积为 a1，则第 9 节容积为 a9，且
5、数列a n为等差数列由 a1a 2a 3a 43，a 7a 8a 94，即Error!解得 a5 .6766解法二：设自上第一节竹子容积为 a1，依次类推，数列a n为等差数列又a1a 2a 3a 44a 16d3，a 7a 8a 93a 121d4，解得a1 ，d ，a 5a 14d 4 .1322 766 1322 766 6766答案：67669已知函数 f(x) ，在数列x n中，x nf(x n1 )(n2，nN *)3xx 3(1)求证： 是等差数列；1xn(2)求当 x1 时，x 2 015 的值12解析：(1)证明：f (x) ，x nf (xn1 )，3xx 3x n . .
6、3xn 1xn 1 3 1xn xn 1 33xn 1 13 1xn 1即 (n2，nN *)1xn 1xn 1 13 是等差数列1xn(2)由(1)可知 是等差数列，且 2，公差 d ， ( n1)d2 (n1) 1xn 1x1 13 1xn 1x1 13 2 (2 0151) .1x2 015 13 2 0203x 2 015 .32 02010已知a n是等差数列，且 a1a 2a 312，a 816.(1)求数列a n的通项公式；(2)若从数列a n中，依次取出第 2 项，第 4 项，第 6 项，第 2n 项，按原来顺序组成一个新数列b n，试求出b n的通项公式解：(1)a 1a 2
7、a 312，a 24，a 8a 2(82)d，1646d，d2，a na 2(n2)d4( n2) 22n.(2)a24，a 48，a 816，a 2n22n4n.当 n1 时，a 2na 2(n1) 4n4(n1) 4.b n是以 4 为首项，4 为公差的等差数列b nb 1(n1)d44( n1) 4n.B 组 能力提升11在ABC 中，a，b，c 分别为 A，B，C 的对边，如果 a，b，c 成等差数列，B30，ABC 的面积为 1.5，那么 b 等于( )A. B 11 32 3C. D 22 32 3解析：灵活选择三角形面积公式，再结合余弦定理可解出 b 的值由 a，b，c 成等差数
8、列可得 2bac.又S ABC 1.5，即 acsin30 ac ，12 14 32ac6.由余弦定理，得b2a 2c 22accos30(ac) 22ac6 34b 2126 ，3b 242 .3又b 是ABC 的一条边，b0 ，b 1.故选 B.3答案：B12若a n为等差数列，且 a1a 5a 9，则 cos(a2a 8)的值为_解析：a n为等差数列，a 1a 92a 5a 2a 8.代入 a1a 5a 9 ，得 (a2a 8)，32a 2a 8 ，从而 cos(a2a 8) .23 12答案：1213已知等差数列a n中，a 1a，公差 d1，若 bna a (nN *)，试判断数列
9、 bn是2n 2n 1否为等差数列，并证明你的结论解：数列b n是等差数列证明如下：等差数列a n中，a 1a，d1，a na(n1)1n1a.b na a (n1a) 2(n11a) 22n 2n 112n2a，b n1 12(n1)2a.b n1 b n12(n1) 2a (12n2a)2.又b 1a a 2a1，21 2数列b n是以2a1 为首项，2 为公差的等差数列14已知各项均为正数的两个数列a n和b n满足：a n1 ，nN *.设 bn1 1an bna2n b2n，nN *，求证：数列 是等差数列bnan (bnan)2证明：由题设知 an1 ，所以 ，an bna2n b2n1 bnan1 (bnan)2bn 11 (bnan)2 bn 1an 1 1 (bnan)2从而 2 21(nN *)，(bn 1an 1) (bnan)所以数列 是以 1 为公差的等差数列(bnan)2
