1、一、曲面方程的概念,二、柱面、锥面,三、旋转曲面,3 几种常见的二次曲面,四、研究二次曲面的特征,一、曲面方程的概念,在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹.,那么, 方程F(x, y, z)0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)0的图形.,(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)0; (2)满足方程F(x, y, z)0的点必定在曲面S上,曲面方程的定义,如果曲面S与三元方程F(x, y, z)0 有下述关系:,故所求方程为,例1. 求动点到定点,方程. (P42-1),特别,当M0在原点时,球面方程为,解: 设轨迹上动点为,即,依题意,距
2、离为 R 的轨迹,表示上(下)半球面 .,上半球面图形 P38-2 .,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面的方程; (2)已知坐标x、y和z间的一个方程时, 研究这方程所表示的曲面的形状.,研究曲面的两个基本问题,通过配方, 原方程可以改写成(x1)2(y2)2z25.,一般地, 三元二次方程Ax2Ay2Az2DxEyFzG0 的图形就是一个球面.,例2 方程x2y2z22x4y0表示怎样的曲面？,解,二、柱面,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,故在空间,过此点作,称为圆柱面.,
3、对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,定义,平行定直线并沿定曲线 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,叫做准线, l 叫做母线.,(不含z),N,(x, y, 0),S,曲面S上每一点都满足方程；,曲面S外的每一点都不满足方程,F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面,点N满足方程，故点M满足方程,一般柱面 F(x,y)=0,(不含x),F(y,z)=0表示母线平行于x轴的
4、柱面,一般柱面 F(y, z)=0,回忆定义,平行定直线并沿定曲线 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,则由直线的的参数方程可知存在t,叫做准线, l 叫做母线.,例3,求以空间曲线 为准线, 母线方向为 (1,1,1)的柱面方程.（P43-B 1）,解 在准线上任意取点,过此点的母线的参数方程为,解出 代入准线方程得,定义,沿定曲线 移动且过固定点的动直线 l 的运动,轨迹叫做锥面.,叫做准线, l 叫做母线.,二、锥面,则由直线的的参数方程可知存在t,例4,求以空间曲线 为准线, 以(1,1,1)为 顶点的锥面方程. (P42-5),解 在准线上任意取点,过此点的母线的参数方程为,解出
5、 代入准线方程得,定义 一条平面曲线,三、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,曲线 称为该旋转,曲面的母线，该定直线称为旋转轴 .,例如 :,建立yoz面上曲线 绕 z 轴旋转所成曲面S的方程:,给定 yoz 面上曲线 :,绕 z轴,曲线,旋转一周得旋转曲面 S,S,M,N,z,P,y,z,o,绕 z轴,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),., S,曲线,旋转一周得旋转曲面 S,S,M,N,z,P,.,绕 z轴,.,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),f (y1, z1)=0,f (y1, z1)=0,., S,思考：当曲线 绕 y 轴
6、旋转时，方程如何？,例5. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程. (P31-例3.4),解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例6. 求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,四、由方程研究二次曲面的特征,三元二次方程,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本类型有:,二次柱面、球面、椭球面、二次锥面、双曲面、抛物面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),截痕法,用z =
7、 h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,a,b,c,1. 椭球面,1. 椭球面,(1)对称性及范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,与,的交线为椭圆：,(4) 当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3) 截痕:,为正数),截痕法,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,(1). 椭圆抛物面,2. 抛物面,截痕法,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,(1). 椭圆抛物面,.,2. 抛物面,用z = h截曲面,用y = 0截曲面,用x = n截曲面,截痕法,（马鞍面）,(2). 双曲抛物面,截痕法,.
8、,(2). 双曲抛物面,（马鞍面）,用z = h截曲面,用y = 0截曲面,用x = n截曲面,截痕法,.,(2). 双曲抛物面,（马鞍面）,用z = h截曲面,用y = 0截曲面,用x = n截曲面,3. 双曲面,(1) 单叶双曲面,椭圆.,时, 截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,虚轴平行于x 轴）,时, 截痕为,时, 截痕为,(实轴平行于z 轴;,相交直线:,双曲线:,(2) 双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,4. 椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .
9、,作业：p-42习题7-34, 6, 8,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:,称它为空间曲线的参数方程.,例如, 空间曲线,的参数方程为,例1. 将下列曲线化为参数方程表示:,解: (1),根据第一方程引入参数，,(2) 将第二方程变形为,故所求为,得所求为,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,例如,P43-15,在xoy 面上的投影曲线方程为,考虑在xoz, yoz面上的投影柱面方程及投影曲线方程?,练习：,答案,(2),(1),练习:,画出下列曲线在第一卦限的图形,(3),练习,画出下列各曲面所围图形:,(1),解答:,(2),(3),练习,画出下列各曲面所围图形:,练习. 直线,绕 z 轴旋转一周, 求此旋转,转曲面的方程.,提示:,在 L 上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,练习.,作业: P43-12， 14， 16,
