1、 专题 3 函数的奇偶性函数的奇偶性1函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f( x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f( x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x T) f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最
2、小正数就叫做 f(x)的最小正周期1函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数 f(x)在 x0 处有定义，则 f(0)0.(2)若 f(x)为偶函数，则 f(|x|) f(x)(3)设 f(x)， g(x)的定义域分别是 D1， D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇2利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性3在解决具体问题时，要注意结论“若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期”的应用判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) x32 x；(2)f(x)( x1)
3、 ；1 x1 x(3)f(x)Error!解 (1)定义域为 R，关于原点对称，又 f( x)( x)32( x) x32 x( x32 x) f(x)该函数为奇函数.4 分(1)(2014全国卷)设函数 f(x)， g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A f(x)g(x)是偶函数B| f(x)|g(x)是奇函数C f(x)|g(x)|是奇函数D | f(x)g(x)|是奇函数【解析】C A：令 h(x) f(x)g(x)，则 h( x) f( x)g( x) f(x)g(x) h(x)， h(x)是奇函数，A 错B：令 h(x)| f
4、(x) |g(x)，则 h( x)| f( x)|g( x)| f(x)|g(x)| f(x)|g(x) h(x)， h(x)是偶函数，B 错C：令 h(x) f(x)|g(x)|，则 h( x) f( x)|g( x)| f(x)|g(x)| h(x)， h(x)是奇函数，C 正确D：令 h(x)| f(x)g(x)|，则 h( x)| f( x)g( x)| f(x)g(x)| f(x)g(x)| h(x)， h(x)是偶函数，D 错(2)判断函数 f(x) 的奇偶性3 x2 x2 33.(1)(2015全国卷)若函数 f(x) xln(x )为偶函数，则 a_.a x2(2)已知 f(x
5、)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x) x24 x，则 f(x)_.【解析】(1)1 (2)Error! (1) f(x)为偶函数， f( x) f(x)0 恒成立， xln( x ) xln(x )0 恒成立， xln a0 恒成立，ln a0，即 a1.a x2 a x2(2) f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(0)0.又当 x0 时， x0， f( x) x24 x.又 f(x)为奇函数， f( x) f(x)，即 f(x) x24 x(x0)， f(x)Error!1(2016广东肇庆三模)在函数 y xcos x， ye x x2， ylg ， y xsin x
6、中，偶函数的个数是( )x2 2A3 B2 C1 D0【解析】B y xcos x 是奇函数， ylg 和 y xsin x 是偶函数， ye x x2是非奇非偶函数，故x2 2选 B.2函数 ylog 2 的图象( ) 1 x1 xA关于原点对称 B关于直线 y x 对称C关于 y 轴对称 D关于直线 y x 对称【解析】A 由 0 得1 x1，1 x1 x即函数定义域为(1,1)，又 f( x)log 2 log 2 f(x)，1 x1 x 1 x1 x函数 ylog 2 为奇函数，故选 A.1 x1 x3(2016山东高考)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x 时， f f ，则 f
7、(6)( )12 (x 12) (x 12)A2 B1C0 D24已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x4) f(x)，当 x(0,2)时， f(x)2 x2，则 f(2 019)( )A2 B2C98 D98【解析】A f(x4) f(x)， f(x)是以 4 为周期的周期函数， f(2 019) f(50443) f(3) f(1)又 f(x)为奇函数， f(1) f(1)21 22，即 f(2 019)2.5对于函数 f(x)，若存在常数 a0，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f(x) f(2a x)，则称 f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是( )A f(x) B
8、 f(x) x2xC f(x)tan x D f(x)cos( x1)【解析】D 由 f(x)为准偶函数的定义可知，若 f(x)的图象关于 x a(a0)对称，则 f(x)为准偶函数，A，C 中两函数的图象无对称轴，B 中函数图象的对称轴只有 x0，而 D 中 f(x)cos( x1)的图象关于x k1( kZ)对称6函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x0 时， f(x) 1，则当 x0 时， f(x)_.x7(2017安徽蚌埠二模)函数 f(x) 是奇函数，则实数 a_. x 2 x ax【解析】2 由题意知， g(x)( x2)( x a)为偶函数， a2.8(2017郑州模拟)已知函数 f(x)是(，)上的奇函数，当 x0,2)时， f(x) x2，若对于任意xR，都有 f(x4) f(x)，则 f(2) f(3)的值为_【解析】1 由题意得 f(2) f(24) f(2) f(2)， f(2)0. f(3) f(14) f(1) f(1)1， f(2) f(3)1._
