1、第15章 逻辑代数及逻辑门电路,15.1 逻辑代数的基本概念 15.2 逻辑函数的化简 15.3 无关项逻辑函数及化简法 习题15,15.1 逻辑代数的基本概念,15.1.1 基本逻辑关系1. 与逻辑 与逻辑的演示电路如图15.1所示，只有当开关A、B都闭合时，灯Y才亮，否则灯不亮。则可列出A、B和Y之间的与逻辑关系表15.1。这种表称为逻辑真值表或简称为真值表。与逻辑关系的表达式为Y=AB,图15.1 与逻辑演示电路,表15.1 与逻辑真值表,2. 或逻辑 或逻辑的演示电路如图15.2所示,开关A、B中只要有一个闭合, 灯Y就会亮。,图15.2 或逻辑演示电路,表15.2 或逻辑真值表,或逻
2、辑关系的表达式为Y=A+B3. 非逻辑 非逻辑的演示电路如图15.3所示, 开关A闭合, 灯Y就不亮；开关A断开, 灯Y就亮。从此例中可抽象出这样的逻辑关系: 只要某个条件具备, 结果便不会发生;而条件不具备时, 结果却一定发生。这种因果关系称为非逻辑，或称为逻辑求反。非逻辑的真值表如表15.3所示。,图15.3 非逻辑演示电路,表15.3 非逻辑真值表,非逻辑关系的表达式为其中逻辑关系A上方加符号“”表示非的关系。15.1.2 复合逻辑最常见的复合逻辑如下：(1) 与非逻辑：逻辑表达式为Y=AB, 逻辑符号如图15.4(a)所示。(2)或非逻辑：逻辑表达式为Y=A+B,逻辑符号如图15.4(
3、b)所示。,(3) 异或逻辑：逻辑表达式为Y=AB,逻辑符号如图15.4(c)所示。(4) 同或逻辑：逻辑表达式为Y=AB，逻辑符号如图15.4(d)所示。(5) 与或非逻辑：逻辑表达式为Y=AB+CD，逻辑符号如图15.4(e)所示。,图15.4 常见复合逻辑的逻辑符号,15.1.3逻辑代数的基本公式和常用公式1. 常量之间的关系 00=0 0+0=0 ;01=0 0+1=1 ;11=1 1+1=1 ;0=1 1=0 ;2. 变量和常量的关系A1=A A+1=1 ;A0=0 A+0=A ;,3. 各种定律（1） 交换律: A+B=B+A,AB=BA; （2） 结合律: A+(B+C)=(A+
4、B)+C, A(BC)=(AB)C;（3）分配律:A+BC=(A+B)(A+C),A（B+C）=AB+AC;（4） 互非定律: （5） 重叠定律(同一定律): AA=A, A+A=A；（6） 反演定律(摩根定律): （7） 还原定律: 。,4. 常用导出公式 （1） A+AB=A。证 A+AB=A(1+B)=A1=A（2） A+ B=A+B。证 A+ B=(A+ )(A+B)=A+B （用分配律）（3） AB+A =A。证 AB+A =A(B+ )=A1=A（4）A(A+B)=A。证 A(A+B)=AA+AB=A+AB=A(1+B)=A1=A,（5）AB+ C+BC=AB+ C。证 AB+ C
5、+BC=AB+ C+BC(A+ ) =AB+ C+ABC+ BC ;=AB(1+C)+ C(B+1) ;=AB+ C ;推理 证右=AB+ +BC=AB+ +BC(D+1)=AB+ +BCD+BC ;=AB+ +BCD=左,在进行逻辑代数的分析和运算时要注意：逻辑代数的运算顺序和普通代数一样，先括号，然后乘，最后加；逻辑乘号可以省略不写；先或后与的运算式，或运算时要加括号，如(A+B)(C+D)A+BC+D ;15.1.4 逻辑代数的基本运算规则1. 代入规则;在任何一个逻辑等式中，若将等式两边出现的同一变量代之以另一函数, 则等式仍成立。,例15.1证明: 。解 根据摩根定律 或 用B=BC
6、代入原式两边的B中，则有 成立。2. 反演规则 对于任意的Y逻辑式，若将其中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是 。,例15.2 已知Y=A(B+C)+CD，求 。解 根据反演规则写出例15.3 若 , 求 。 解 根据反演规则写出,反演规则为求取已知逻辑式的反逻辑式提供了方便。使用反演规则时要注意以下两点：(1) 仍需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算规则。 (2) 不属于单个变量上的反号应保留不变。 3. 对偶规则(1) 对偶式的概念：对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“”换成“+”，将“+”换成“”，将0换成1，将
7、1换成0，可得到一个新的逻辑式Y，这个Y 就称为Y的对偶式，或者说Y和Y互为对偶式。,例15.4 若Y=A(B+C)，则Y=A+BC; 若 (2) 对偶规则：若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,15.2 逻辑函数的化简,15.2.1 逻辑函数及表示方法表示逻辑函数的方法一般有：(1)真值表： (2) 函数式：(3) 逻辑图： (4) 卡诺图： (5) 波形图：,15.2.2逻辑函数的最小项标准形式在讲述逻辑函数的标准形式之前，先介绍最小项的概念，而后介绍逻辑函数的最小项之和的表达形式。最小项的性质如下：在n变量函数中，若m为包含n个因子的乘积项，且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中
8、出现一次，则称m为该组变量的最小项。,例如：A、B、C三个变量，其最小项有23=8个，即三变量的最小项取值如表15.4所示。为了表达方便，用m0、m1、m2、mn表示最小项的编号。,表15.4 三变量最小项取值表,最小项具有下列性质：（1） 在输入变量的任何取值下，必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1; （2） 全体最小项之和为1; （3） 任意两个最小项的乘积为0; （4） 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项，并可消除一对因子。相邻性是指两个最小项只有一个因子不相同。例如 和 , 它们只有因子 和A不相同，故它们具有相邻性。这两个最小项相加时，能够合并成一项并可消除一对因子：,例
9、15.5将逻辑函数 展开为最小项之和的形式。又如：逻辑函数Y=A+ +AB，可化简为 Y=A+C这样一来，化简后使用较少的电子器件就可以完成同样的逻辑功能。,上面化简的形式一般称为与或逻辑式，最简与或逻辑式的标准如下：（1） 逻辑函数式中乘积项（与项）的个数最少；（2） 每个乘积项中的变量数最少。下面主要介绍与或逻辑式的化简方法。2. 公式化简法 公式化简的原理就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式，削去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式的最简形式。,例15.6 写出三变量函数 的最小项之和表达式。解,例15.7已知三变量的真值表15.5，求最小项之和的表达式。解 根据真值表写出
10、逻辑函数的表达式:,表15.5 例15.7真值表,15.2.3 逻辑函数的公式化简法1. 逻辑函数的最简形式 同一逻辑函数可以写成不同的逻辑式，而这些逻辑式的繁简程度又相差甚远。逻辑形式越简单，它所表示的逻辑关系就越明显，同时也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑关系。因此，经常需要通过化简的手段找出逻辑函数的最简形式。,例如：有两个逻辑函数Y=ABC+ +ACD和Y=AC+ , 因为Y=ABC+ +ACD=(ABC+ )+ACD=AC+ +ACD=AC+ 所以两式表示的是同一逻辑函数。又如：逻辑函数Y=A+ C+AB，可化简为 Y=A+C这样一来，化简后使用较少的电子器件就可以完成同样的逻辑功
11、能。,1） 并项法利用公式AB+A =A, 将两项合并为一项，削去一个变量，其中A，B可以是复杂的逻辑函数式。例15.8化简逻辑函数Y=ABC+AB +A 。解 Y=ABC+AB +A =AB(C+ )+A=AB+A =A,例15.9 试用并项法化简下列逻辑函数:解 (利用 ),2） 吸收法 ;利用公式A+AB=A可将AB项削去。,例15.10 试用吸收法化简下列逻辑函数:解,3） 消项法 ;利用公式AB+ +BC=AB+ 将多余项BC消除, 其中A、B、C可以是复杂的逻辑表达式。例15.11 用消项法化简下列逻辑函数:解,4） 消因子法 ;利用公式A+ =A+B将 中的 因子削去，其中A、B
12、均可是任何复杂的逻辑式。例15.12 利用削因子法化简下列逻辑函数:,解5） 配项法 ;利用公式A+A=A可以在逻辑函数中重复写入某项，有时可能获得更加简单的化简结果。,例 15.13化简逻辑函数 。解 例 15.14化简逻辑函数 。,解,15.2.4 逻辑函数的卡诺图化简法1. 最小项的卡诺图将n变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图（该图是美国工程师卡诺首先提出的）。最小项逻辑变量卡诺图的画法：n个逻辑变量，就有2n个最小项，需要2n个小方块。图15.5所示为两变量、三变量、四变量的卡诺图。,图 15
13、.5 卡诺图 (a) 两变量；(b) 三变量；(c) 四变量,卡诺图将逻辑相邻性通过几何相邻实现，给逻辑函数化简带来简便直观的方法，逻辑变量最小项用卡诺图表示的方法如下： (1) 根据逻辑函数所包含的逻辑变量数目，画出相应的最小项卡诺图（2n个方块）;(2) 将逻辑函数中包含的最小项，在最小项卡诺图上找到对应的方块，并填上1，函数中不包含的最小项处填0（什么都不填，空着也行）。,例15.15 用卡诺图表示逻辑函数解 卡诺图如图15.6所示。,图15.6 例15.15卡诺图,例15.16 逻辑函数的卡诺图如图15.7所示，试写出该逻辑函数的逻辑式。解,图 15.7 例15.16卡诺图,例15.1
14、7 已知逻辑函数的真值表15.6，试画出对应的最小项卡诺图。解卡诺图如图15.8所示。,表15.6 例15.17真值表,图15.8 例15.17卡诺图,2. 用卡诺图化简逻辑函数 利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为卡诺图化简法，或称为图形化简法。化简时依据的基本原理是具有相邻性的最小项可以合并，以消除不同的因子。合并最小项的规律如下：(1) 若两个最小项相邻，则可合并为一项并削去一对因子，合并后的结果中只剩下公共因子；(2) 若四个最小项相邻，则可合并为一项并削去两对因子，合并后的结果中只包含公共因子；(3) 若八个最小项相邻，则可合并为一项并削去三对因子，合并后的结果中只包含公共因子。,由此类
15、推，可以归纳出合并最小项的一般规则：如果有2n个最小项相邻(n=1, 2, 3，) ，则它们可合并为一项，并削去n对因子, 合并后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。在合并时有两点需要注意:(1) 能够合并的最小项数必须是2的整数次幂；(2) 要合并的方格必须排列成矩形成正方向。 图15.9所示分别为两个最小项、四个最小项、八个最小项合并成一项时的一些情况。,图 15.9 卡诺图化简举例,利用卡诺图化简的步骤归纳如下:(1) 将函数化为最小项之和的形式；(2) 画出表示该逻辑函数的卡诺图；(3) 按照合并最小项的规则，将能合并的最小项圈起来，没有相邻最小项的单独圈起来；(4) 每个包围作为一个
16、乘积项，将乘积项相加即是化简后的与或表达式。,例15.18用卡诺图化简下列逻辑表达式：（1） Y1(A,B,C,D)=m(1,3,5,7,8,9,10,12,14)（2） Y2(A,B,C,D) =m(0,1,4,5,9,10,11,13,15)（3） Y3(A,B,C,D)=m(0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)解 （1）根据函数的表达式画出相对应的最小项变量卡诺图, 如图15.10所示。,图 15.10 例15.18(1)卡诺图,(2）根据函数的表达式画出相对应的卡诺图，如图15.11所示。,图15.11 例15.18(2)卡诺图,（3） 根据函数的表达式画出相对应的卡诺
17、图，如图15.12所示。,图15.12 例15.18(3)卡诺图,用卡诺图合并最小项时应注意:（1） 合并相邻项的圈尽可能大一些，以减少化简后相乘的因子数目；（2） 每个圈中至少应有一个最小项被圈过一次，以避免出现多余项；（3） 所有函数值为1的最小项都要圈起来，圈的个数应尽可能少，使简化后的乘积项数目最少；（4） 有些情况下，最小项的圈法不同，得到的最简与或表达式也不尽相同，常常要经过比较、检查才能确定哪一个是最简式。,15.3 无关项逻辑函数及化简法,15.3.1 约束项、任意项和逻辑函数中的无关项由于每组输入变量的取值都只能是一个，仅有一个最小项的值为1，因此当限制某些输入变量的取值不能
18、出现时，可以用它们所对应的最小项恒等于0来表示。上例中的约束条件可以表示为,或写成这些恒等于0的最小项就称为约束项。15.3.2 无关项在化简逻辑函数中的应用例15.19 某逻辑电路的输入信号A 、B 、C、D为8421BCD码，又知当码值为1、3、5、7、9时，输出函数Y为1。求该电路输出函数的最简与或表达式。,图15.13 例15.19卡诺图,解 因为8421BCD码有六个输入组合1010、1011、1100、1101、1110、1111是不能出现的，故约束项为 ，相应的表达式为卡诺图如图15.13所示。如果不利用约束项，则输出函数式为可见，有约束项参加化简，能使化简结果更加简单。,例15
19、.20 化简下列函数：解 画出Y1相应的卡诺图(带约束项)，如图15.14所示。,画出Y2相应的卡诺图(带约束项)，如图15.15所示。,图 15.14 例15.20 Y 1卡诺图,图15.15 例15.20 Y 2卡诺图,例15.21 化简函数式解,习题15,1. 用代数法化简下列逻辑函数:(1)Y=AB+ C+BC;(2)Y=ABC+A+BC+ C;(3)Y=(AB+C)+(AB+C)(A+CD);(4)Y=AB+ C+ C+A C。,2. 用代数法将下列函数化简成最简与或式：3. 一个电路有三个输入端A、B、C，当其中两个输入端有1信号时，输出D有信号，试列出真值表，并写出D的逻辑表达式。,4. 当变量A、B、C为0、1、0，1、1、0和1、0、1时，求下列函数值：5. 将下列函数展开为最小项表达式：,6. 用卡诺图化简下列各式：7. 利用与非门实现下列函数：,8. 写出题图15.1所示逻辑电路的逻辑函数表达式。题图 15.1,9. 已知某逻辑函数 。试用真值表、卡诺图和逻辑图表示。10. 写出题图15.2所示各逻辑电路的逻辑函数表达式，并化简与或式。,题图 15.2,
