1、3无限世界的美妙,数学是研究无限的科学， 数学提供了研究无限的基本思想方法,对无限的最早感受是正整数,区分有限与无限的方法:数数,把握无限的方法:反证法,正整数的属性,3: 是什么? 代表什么? 实际上3就是一个符号, 与a, f(x) 是一样的!其含义就是表示若干不同表现形式的共性:相同的数量或不同的专一属性-编码.,如:3个苹果,3支钢笔,3个人,3分钱 实际上, 脱离实际情况,3本身是没有实际意义的.但作为媒介，3包含了上述情况的共性 在数量上一样多。虽然世界各地的读音不同。,多少的比较,方法之一：数数,6,6,多少的比较,方法之二：比较,少 多,映射,自然数的比较,1,2,2,4,3,
2、6,n,2n,自然数与偶数一样多！,1,f(1),2,f(2),3,f(3),n,f(n),推广,推广,这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点,这个运动表明： 当x沿直线趋于负无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点,演示表明：在直线上无论x是趋于 ，还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点顶点！,圆周比直线多一点！,新概念,集合A与B称为基数相等，如果A，B之间存在1-1对应关系（1-1映射）。记为 显然基数概念推广了个数概念。,几个有趣的结论,1、有理数与自然数一样多,这个集合的基数不超过自然数的基数，而自然数是其子集，所以这两个集合的基数相等。同样的理由知道有理数与自然数一样多。,几个有趣的结论,2、（0，1）与（0，+）的点一样多,几个有趣的结论,3、（0，1）的点比自然数多,5、自然数是基数最小的无穷集合。,4、自然数的所有子集所成的集合与（0，1）的基数一样。,几个有趣的结论,6、一个集合的基数（）小于其子集所成的集合的基数（2 ） 2 ,由此人们给出了处理无穷多（自然数）的一个方法数学归纳法： 如果与自然数k有关的命题P(k)满足条件 （1） P(1)成立； （2）若P(n)成立，则P(n+1)也成立, 则P(k)对所有的自然数成立。,
