1、 假定某消费者关于某种商品的消费数量 Q 与收入 M 之间的函数关系为 M=100Q2。求：当收入 M=6400 时的需求的收入点弹性。解：由以知条件 M=100 Q2 可得 Q= 10于是,有: dM进一步,可得: E m=210/)(10212 MQQM观察并分析以上计算过程即其结果,可以发现,当收入函数 M=aQ2 (其中 a0 为常数)时,则无论收入 M 为多少,相应的需求的点弹性恒等于 1/2.假定需求函数为 Q=MP-N，其中 M 表示收入，P 表示商品价格，N（N0）为常数。求：需求的价格点弹性和需求的收入点弹性。解 由以知条件 Q=MP-N 可得:NMPQQdEPa -N1-N
2、)P(Em= N-MQ由此可见,一般地,对于幂指数需求函数 Q(P)= MP-N而言 ,其需求的价格价格点弹性总等于幂指数的绝对值N.而对于线性需求函数 Q(P)= MP-N而言,其需求的收入点弹性总是等于 1.假定某商品市场上有 100 个消费者，其中，60 个消费者购买该市场 1/3 的商品，且每个消费者的需求的价格弹性均为 3：另外 40 个消费者购买该市场 2/3 的商品，且每个消费者的需求的价格弹性均为 6。求：按 100 个消费者合计的需求的价格弹性系数是多少？解: 另在该市场上被 100 个消费者购得的该商品总量为 Q，相应的市场价格为 P。根据题意,该市场的 1/3的商品被 6
3、0 个消费者购买,且每个消费者的需求的价格弹性都是 3,于是,单个消费者 i 的需求的价格弹性可以写为;3iPQdiE即 ） （1）60.2,1(Pi且 （2）3601Qii相类似的,再根据题意,该市场 1/3 的商品被另外 40 个消费者购买,且每个消费者的需求的价格弹性都是 6,于是,单个消费者 j 的需求的价格弹性可以写为: 6QPdEj即 （3）)40.,21(6PQdjj且 （4）3401jj此外,该市场上 100 个消费者合计的需求的价格弹性可以写为:QPdQPdEijji60101ijji601401将（1）式、 （3）式代入上式，得： QPPEjjiid 4016016ijji
4、 6014013再将（2）式、 （4）式代入上式，得：QPPEd 326541Q所以，按 100 个消费者合计的需求的价格弹性系数是 5。假定某消费者的需求的价格弹性 Ed=1.3,需求的收入弹性 Em=2.2 。求：（1）在其他条件不变的情况下，商品价格下降 2%对需求数量的影响。（2）在其他条件不变的情况下，消费者收入提高 5%对需求数量的影响。解 (1) 由于题知 Ed= ,于是有:PQ%6.23.1所以当价格下降 2%时,商需求量会上升 2.6%.（2）由于 E m= ,于是有:MQ%152.即消费者收入提高 5%时，消费者对该商品的需求数量会上升 11%。假定某市场上 A、B 两厂商
5、是生产同种有差异的产品的竞争者；该市场对 A 厂商的需求曲线为 PA=200-QA，对 B 厂商的需求曲线为 PB=300-0.5QB ；两厂商目前的销售情况分别为 QA=50，Q B=100。求：（1）A、B 两厂商的需求的价格弹性分别为多少？如果 B 厂商降价后，使得 B 厂商的需求量增加为 QB=160，同时使竞争对手 A 厂商的需求量减少为 QA=40。那么，A 厂商的需求的交叉价格弹性 EAB是多少？如果 B 厂商追求销售收入最大化，那么，你认为 B 厂商的降价是一个正确的选择吗？解（1）关于 A 厂商:由于 PA=200-50=150 且 A 厂商的需求函数可以写为; Q A=20
6、0-PA 于是 3501)(PQdE关于 B 厂商:由于 PB=300-0.5100=250 且 B 厂商的需求函数可以写成: Q B=600-PB 于是,B 厂商的需求的价格弹性为:5102)(BPdBE（2） 当 QA1=40 时，P A1=200-40=160 且 A当 PB1=300-0.5160=220 且时 ，160B 31BP所以502311ABABQE由(1)可知,B 厂商在 PB=250 时的需求价格弹性为 ,也就是说,对于厂商的需求是富有弹性的.我dBE们知道,对于富有弹性的商品而言,厂商的价格和销售收入成反方向的变化,所以,B 厂商将商品价格由 PB=250 下降为 PB
7、1=220,将会增加其销售收入.具体地有:降价前,当 PB=250 且 QB=100 时,B 厂商的销售收入为: TR B=PBQB=250100=25000降价后,当 PB1=220 且 QB1=160 时,B 厂商的销售收入为: TR B1=PB1QB1=220160=35200显然, TRB P1/P2时，即 a P1/P2时，如图，效用最大的均衡点 E 的位置发生在横轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即 X1=M/P1，X 2=0。也就是说，消费者将全部的收入都购买商品 1，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上其他
8、任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。第二种情况：当 MRS12P1/P2时，a P1/P2时，如图，效用最大的均衡点 E 的位置发生在纵轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即 X 2=M/P2，X 1=0。也就是说，消费者将全部的收入都购买商品 2，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。第三种情况：当 MRS12=P1/P2时，a= P1/P2时，如图，无差异曲线与预算线重叠，效用最大化达到均衡点可以是预
9、算线上的任何一点的商品组合，即最优解为X10，X20，且满足 P1X1+P2X2=M。此时所达到的最大效用水平在图中以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上其他任何一条无差异曲线所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。8、假定某消费者的效用函数为 ，其中，MqU35.0q 为某商品的消费量，M 为收入。求：（1）该消费者的需求函数；（2）该消费者的反需求函数；（3）当 ，q=4 时的消费者剩余。p解：（1）由题意可得，商品的边际效用为： 3:215.0MUqQ货 币 的 边 际 效 用 为于是，根据消费者均衡条件 MU/P = ，有：pq3215.
10、0整理得需求函数为 q=1/36p 2（2）由需求函数 q=1/36p ，可得反需求函数为：5.061qp（3）由反需求函数 ，可得消费者剩余为：5.061qp31412405.04 qdCS以 p=1/12,q=4 代入上式，则有消费者剩余：Cs=1/39 设某消费者的效用函数为柯布-道格拉斯类型的，即 ，商品 x 和商品 y 的价格格分别为 pyU和 ，消费者的收入为 M，xyp 1,且为 常 数和（1）求该消费者关于商品 x 和品 y 的需求函数。（2）证明当商品 x 和 y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两种商品的需求关系维持不变。（3）证明消费者效用函数中的参数
11、分别为商品 x 和商品 y 的消费支出占消费者收入的份额。和解答：（1）由消费者的效用函数 ，算得：yxU1yxMUQyx消费者的预算约束方程为 （1）Mpyx根据消费者效用最大化的均衡条件（2）ypxMUxYX得 （3）Mypxx1解方程组（3） ，可得（4）x/（5）yp式（4）即为消费者关于商品 x 和商品 y 的需求函数。上述休需求函数的图形如图（2）商品 x 和商品 y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为（6）Mp其中 为一个非零常数。此时消费者效用最大化的均衡条件变为（7）ypxx1由于 ，故方程组（7）化为0（8）Mypxx1显然，方程组（8）就是方程组（3） ，故其解就是式（4）和式（5） 。这表明，消费者在这种情况下对两商品的需求关系维持不变。（3）由消费者的需求函数（4）和（5） ，可得（9）xp/（10）My关系（9）的右边正是商品 x 的消费支出占消费者收入的份额。关系（10）的右边正是商品 y 的消费支出占消费者收入的份额。故结论被证实。
