1、弹性力学 第3章 平面问题的直角坐标解答,（第二讲）半逆解法应用举例半逆解法介绍矩形梁的纯弯曲矩形梁纯弯曲位移分量的求解矩形梁纯弯变形与材料力学解的对比,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,复习：所谓的半逆解法就是利用给定问题的某些已知信息，发现问题可能存在解答范畴或者解答的形式，然后从这些已知信息推算出某个或某类具体的解答函数，再将其代入问题的限制条件，验证它是否满足这些限制条件，或者通过这些限制条件求解其中的未知成分，最终使这些限制条件得到满足，并得到问题的解。,半逆解法的基本特征： 它主动应用到了问题的已知条件； 它仍是一种试凑方法； (c) 通过它不一定能一次就得
2、到问题的解，但相关信息可以为求解问题提供新的线索。,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,针对弹性力学平面问题求解的特征，可以更具体地给出半逆解法的定义：,所谓半逆解法，它是根据所考虑问题的边界受力情况，假设部分或全部应力分量，由此推出应力函数的具体形式，再考察其能否满足相容方程，若满足则自然就是正确解答了；否则，可另作假设或改变其中某个应力分量表达式再重复上述步骤，直到得出其正确解答。,与逆解法的联系和区别？,3.2 半逆解法应用举例,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,半逆解法的具体步骤如下： 根据弹性体受力情况和边界条件，假定应力分量的函数形式；
3、 利用平衡方程的全解关系，推出应力函数 的形式； 将应力函数 代入相容方程，求出 的具体表达式； 将 代回应力的全解关系，求出对应的应力分量； 将应力代入边界条件，考察它们是否满足全部边界条件。如果所有的条件均能满足，上述解答就是正确的解答。否则，就要修改假设，重新进行求解。,【p48习题31】试考察应力函数 = ay3在图38所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。,一个例题的回顾,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,【答】将应力函数 代入相容方程，可见4 = 0是满足的， 有可能成为该问题的解。,将 代入应力函数与应力分量之间的关系式，得到应力分量,第3章
4、平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,由边界形状和应力分量可以反推边界上的面力。,在上边界y = 0上，y = 0，xy = 0； 在下边界y = h上，y = 0，xy = 0； 因此，在这两个边界面上，无任何面力作用，即px = 0，py = 0。,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,在左端边界x = 0上， px = -(x)x =0 = -6ay， py = -(xy)x=0 = 0；,它表明如图所示矩形板左右边界面上受到呈线性分布的拉伸（压缩）力作用。,在右端边界x = 0上， px = (x)x =l = 6ay， py = (xy)x=l = 0
5、。,这里给出的是逆解法的结果,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,不难发现，这时，我们完全可以直接应用上述逆解过程来获得问题的解答。,如下图所示矩形断面长梁或矩形板，受到如图所示外力作用，试给出其应力解答。,如果把上面的问题作转换 ，给出的新问题为,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,显然，我们仍然可以假设左右两个断面上的外力满足上面那个问题的线性分布情况，即利用圣维南原理作静力等效力系。,下图所示矩形断面长梁或矩形板，受到如图所示外力的作用，试求解这个问题。,如果再作进一步的转换，给出的问题为,于是，逆解法的结果依然适用,第3章 平面问题的直角坐标
6、解答 3.2 半逆解法应用举例,【解】设所给问题的应力函数为 = by3 易于验证，它满足相容方程4 = 0 ，因此，可能成为问题的解答。,下面就来求解这个问题。 注意：为了论述简明扼要起见，求解过程并不完全遵循逆解法的步骤；将应力边界条件用于求解应力函数（或应力分量）中，而不是用于与逆解结果作对比。,具体求 解过程,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,将应力函数 代入其与应力分量之间的关系式，可以得到应力分量为,易于验证上述应力分量能满足应力边界条件,(i) 在弹性体的上边界y = 0上，px = (xy) y = 0 = 0，py = (y) y = 0 = 0； (
7、ii) 在弹性体的下边界y = h上，px = (xy) y = h = 0，py = (y) y = h = 0；,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,(iii) 在左、右端边界（次要边界）x = 0和x = l上，应力边界条件py = (xy) x = 0 = 0和py = (xy) y = l = 0均能得到满足，但关于px 的面力边界条件却无法满足，只有应用圣维南原理给出放宽的边界条件，即积分形式的应力（合力）边界条件。,(iv) 在左、右端边界（次要边界）上，关于x 的积分应力边界条件为,可以解出，b = P/(3h2) 。,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.
8、2 半逆解法应用举例,(v) 然而，在左、右端边界（次要边界）x = 0和x = l上， x还必须要满足合力矩边界条件，要求,可以看出采用上述思路进行求解确实有效，但是，并没有找到问题真正的解答。,可以解出，b = aP/(2h3) 。显然，要使上述两个条件所求出的参数b完全一致，必须有a = 2h/3 。,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,【解】如果稍加注意，应该可以发现在所给问题的上下表面上没有外力作用，其中y方向的外力只与y相关，鉴于此，不妨设y方向的应力分量y为0，即y = 0,鉴于上述求解路的有效性，不妨转变一下应力函数的获取方式来求解这个问题。 注意：上述求
9、解方法中直接利用到逆解法提供的信息，即直接假设了一个应力函数；下面我们通过对应力边界条件特征进行分析来寻求应力函数。,具体求 解过程,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,再将这个应力函数代入相容方程4 = 0 ，可得,于是，有,求解这个方程，可以得到,方程左端是一个关于变量x的函数，要使其对于任意x都等于0，必有,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,求解这两个常微分方程，可得,考虑到一次以下的项对应力没有贡献，略去不计，可以给出应力函数,利用应力分量与应力函数之间的关系可以得到各应力分量为,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,考
10、虑到上、下边界条件(xy) y = 0 = 0，(y) y = 0 = 0；(xy) y = h = 0， (y) y = h = 0；可以得到,考虑到左、右端边界条件(xy) x = 0 = 0和(xy) y = l = 0，可以得到,由此可见，应有 A1 = A2 = A3 = 0应用左、右端边界x = 0和x = l上 x还须满足的合力与力矩条件，有,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,可以解出,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,最后，得到应力分量的解答为,上面的求解方法与过程就是所谓的半逆解法。为了熟练掌握这种方法的求解技巧，下面将通过应用
11、举例形式作进一步讲解。,在获得这个解答的过程中，应力函数直接从相容方程推出，其中的待定参数完全从边界条件推出，因此，应力函数同时满足相容方程和应力边界条件。由于它是一个单连通问题，所以上述解答即为问题的正确解答 。,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,应用举例一：矩形梁的纯弯曲,问题的描述：设有一矩形截面长梁（长度l远大于深度h），它的宽度远小于深度和长度（近似的平面应力情况），或者宽度远大于深度和长度（近似的平面应变情况），在两端受相反的力偶而弯曲，体积力可以不计。,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,应力分量的求解,为了方便起见，在求解过程中可以
12、假设梁的宽度为1，即单位宽度。,能够解决梁的纯弯曲问题，而相应的应力分量为,根据多项式解答所学到的知识知道，满足相容方程的应力函数,现在来考察这些应力分量能否满足应力边界条件，如果能满足系数d应该取什么值。,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,首先考察上、下两个主要边界（占边界的绝大部分）的条件。在上边和下边都没有面力，要求,这是能满足的，因为在所有点都有y= 0，xy = 0。,这也是能满足的，因为在所有各点都有xy = 0。,其次，考察左右端次要（占边界很小部分）的条件。在左端和右端没有铅直面力，分别要求,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,此外
13、，由于x = 0，l的两端面是相对较小的边界，可以应用圣维南原理，将关于x的边界条件改为用主矢量和主矩的条件代替。即在左端和右端，边界面上x合成的主矢量应为零，而x合成的主矩应等于面力的力偶矩M，亦即,将x代入上述二式，有,前一式总能得到满足，而后一式要求,于是，应力函数得到确定。,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,将所求解得到的系数代入应力分量的表达式，得到应力分布关系为,注意到梁截面的惯性矩是I = 1h3/12，因此，上式又可以被改写为,应当指出，组成梁端力偶的面力必须服从图示的直线分布，上面的解答才是完全精确的。如果两端面的面力按其它方式分布，则上面的解答是有误
14、差的。但是，按照圣维南原理，它只在梁的两端附近有显著的误差，在离开端面较远处，其误差是可以不计的。,这就是矩形梁受纯弯时的应力分量。它与材料力学中所得到的解完全相同。,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,位移分量的求解,上面所得到的应力解既适合于平面应力情况也适合于平面应变情况。不过，在这里我们仅针对平面应力情况提出分析。将应力分量代入物理方程，可以得到形变分量,再将形变分量代入几何方程，得,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,前二式的积分给出,其中，f1和f2分别是y和x的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出。将上面的位移分量代入几何方程的第三式
15、，得,移项后，得,等式左边只是x的函数，而等式右边只是y的函数。因此，只可能两边同时等于一个常数。于是，有,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,积分后，得,其中，表示刚体位移量的常数、u0和v0需由约束条件求得。从位移分量的第一式可以看出，不论约束情况如何（也就是不论、u0和v0取任何值），铅直线段的转角都是,于是，可以得到位移分量,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,在同一截面上，x是常数，因而 也是常量。可见，同一截面上各铅直线段的转角相同，说明横截面保持为平面。又由位移分量的第二式可见，无论约束情况如何，梁的各纵向纤维的曲率是,下面分两种情况来
16、讨论待定常数、u0和v0的求取，以及梁轴线的变形（梁的挠曲线方程）。,这是材料力学里求梁的挠度时所用的基本公式。,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,如图所示，悬臂梁的左端自由而右端完全固定，则在梁的右端（x = l），对于y的任何值（-h/2 y h/2），都要求u = 0，v = 0。在多项式解答中，这个条件是无法满足的。在工程实际中，这种完全固定的约束条件也是不大可能实现的。,（1）悬臂梁,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,与材料力学中的处理方式一致，这里假定右端截面的中点不移动，该点的水平线段不转动。这样，约束条件是,由位移分量的表达式，可
17、以得到确定待定常数、u0和v0的关系式,求解以后，得,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,于是，可以得到悬臂梁的位移分量为,因此，梁轴线的挠度方程是,它和材料力学的解答完全相同。,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,如果是简支梁，如图所示。,（2）简支梁,它在铰支座O处，没有水平位移和铅直位移，在连杆支座A，没有铅直位移。因此，约束条件是,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,将它们代入位移分量关系式，得到简支梁的位移分量为,代入位移分量表达式，可以得到待定常数、u0和v0满足关系,求解以后，得,第3章 平面问题的直角坐标解答 3
18、.2 半逆解法应用举例,对于平面应变问题，只需作代换,因此，梁轴线的挠度方程是,它和材料力学的解答完全相同。,即可得到问题的解。例如，梁的纵向纤维的曲率公式应该变换为,试考察如图所示的矩形悬臂梁，在自由端中点受到集中力P的作用，应用应力函数法求解其应力分量和位移分量（体力不计）。,例,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,求解方法1：可以把这个问题与一个矩形板左右两边受到压力的问题作类比，此时，需要应用圣维南原理将右端面上的集中力等效为分布力，而认为左端面上所受到的就是分布力。这样一来，可以应用逆解方法所获得的结果求解这个问题。具体求解方法如下。,第3章 平面问题的直角坐标
19、解答 3.2 半逆解法应用举例,【解】根据梁的受力特征，可以直接将应力函数 设为,代入相容方程，可见4 = 0是满足的， 有可能成为该问题的解。,与这个应力函数对应的应力分量为,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,在上下边界上没有面力作用，有应力边界条件,在右端面上，有应力边界条件,它们均能得到满足。在右端面上，应用圣维南原理可以给出积分形式的应力边界条件,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,将应力分量x代入发现，后一式能自动满足，而前一式则要求,于是，待定参数a得到了确定，将其代入应力分量的表达式，得到应力分量的解答为,这是一个非常显然的结果。该问
20、题可以等价为一个矩形断面柱体的压缩情况，如果注意到梁具有单位宽度，容易获得上述解答结果完全一致的答案。,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,将上面所得到的应力解答代入物理方程，可以得到形变分量,再将形变分量代入几何方程，得,前二式的积分给出,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,这里，f1和f2分别是y和x的待定函数。将这两个位移分量代入几何方程的第三式，得,因此，应有,这里，C为一常数。由此可以得到,将它们代入上面得到的位移分量表达式，可得,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,考虑到悬臂梁固定端的位移约束条件,于是，问题的位移分
21、量解答为,可以得到,求解方法2：由于梁的上下表面均为自由表面，即不存在面力，由此可以假定梁的纵向纤维之间不存在挤压应力，也就是说，可以假设梁在y方向上的应力分量值为0，从而应用半逆解方法求解这个问题。具体求解方法如下。,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,【解】根据梁的受力特征，可以设梁在纵向纤维方向上没有挤压应力，即y = 0，于是，有,求解这个方程，得,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,再将这个应力函数代入相容方程4 = 0 ，可得,方程左端是一个关于变量x的函数，要使其对于任意x都等于0，必有,下面的推导 过程与前面 已作的讲解 完全一致,第
22、3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,求解这两个常微分方程，可得,考虑到一次以下的项对应力没有贡献，略去不计，可以给出应力函数,利用应力分量与应力函数之间的关系可以得到各应力分量为,于是，应力分量的描述关系可以简化为,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,推知，应有,首先，利用右端面的应力边界条件,它要求,显然，它们能够满足上下表面没有面力的应力边界条件,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,将应力分量x代入后，可得,由此解出,这个结果与前面的解答结果完全一致。,考虑到右端面上的积分应力边界条件,因此，应力分量的解答为,求解方法3：由于
23、梁的上下表面均为自由表面，即不存在面力，而在x方向上的外力与梁轴对称，由此可以假定梁内的剪切应力分量值为0，从而应用半逆解方法求解这个问题。具体求解方法如下。,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,【解】根据梁的受力特征，可以设梁内的剪切应力为 0，于是，有,求解这个方程，得,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,再将这个应力函数代入相容方程4 = 0 ，可得,它可以进一步改写为,推导过程与 前面所述方 法基本类似,方程左右两端分别是关于变量y和x的函数，因此，它们应同时等于一个常数C，即,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,求解这
24、两个常微分方程，可得,代入应力函数表达式，略去一次以下的项，有,它所对应的应力分量为,于是，应力分量的描述关系可以简化为,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,能够满足，而上下表面的应力边界条件,显然，右端面的应力边界条件,的后一式也能满足，但前一式要求,由此得到,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,将应力分量x代入后，可得,由此解出,这个结果与前面的解答结果也是完全一致的。,考虑到右端面上的积分应力边界条件,因此，应力分量的解答为,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,思考题：,在单连体中，应力函数必须满足哪些条件？半逆解法是如何满足这些条件的？,纯弯曲梁的弹性力学与材料力学解答在应力和形变方面完全一致，是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平面截面假设成立？,如何理解圣维南原理在求解弹性力学问题中的作用？,第3章 平面问题的直角坐标解答 3.2 半逆解法应用举例,习题：（课本第49页)习题36、37,
