1、重点列表：重点 名称 重要指数重点 1 不等式的性质 重点 2 不等式的解法 重点 3 线性规划问题 重点 4 不等式的证明 重点 5 基本不等式的应用 重点 5 不等式的恒成立问题 重点详解：重点 1：不等式的性质 【要点解读】1.比较准则： a b0 a b；a b=0 a=b； a b0 a b.2.基本性质：（1）ab ba.（2）ab，bc ac.（3）ab a+cb+c；ab，cd a+cb+d.（4）ab，c0 acbc；ab，c0 acbc；ab0，cd0 acbd.（5）ab0 n （nN，n1） ；ab0 anb n（nN，n1）.3.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要
2、结论： a b， ab0 a1 b，不能弱化条件得 a b1b1，也不能强化条件得 a b0 1 b.4.要正确处理带等号的情况.如由 a b， b c或 a b， b c均可得出 a c；而由 a b， b c可能有a c，也可能有 a=c，当且仅当 a=b且 b=c时，才会有 a=c.5.性质（3）的推论以及性质（4）的推论可以推广到两个以上的同向不等式.6.性质（5）中的指数 n可以推广到任意正数的情形.【考向】不等式性质的应用【例题】 （2016 年北京高考）已知， yR，且 0xy，则（ ）A. 10xy B.sin0x C. 1()2y D.ln0xy【答案】C【名师点睛】1.不等
3、式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数 a、 b有 a b0 a b， a b=0 a=b， a b 0a b， 这 是 比 较 两 数 （ 式 ） 大 小 的 理 论 根 据 ， 也 是 学 习 不 等 式 的 基 石 .2.一 定 要 在 理 解 的 基 础 上 记 准 、 记 熟 不 等 式 的 性 质 ， 并 注 意 解 题 中 灵 活 、 准 确 地 加 以 应 用 .3.对 两 个 （ 或 两 个 以 上 ） 不 等 式 同 加 （ 或 同 乘 ） 时 一 定 要 注 意 不 等 式 是 否 同 向 （ 且 大 于 零 ） .4.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.5. 不等
4、式的性质从形式上可分两类：一类是“ ”型；另一类是“ ”型.要注意二者的区别.重点 2： 不等式的解法【要点解读】高考要求掌握简单不等式的解法.解不等式是研究函数和方法的重要工具，是求函数的定义域、值域、最值、单调性、求反函数和参数的取值范围的重要手段， “不等式的变形”是研究数学的基本手段之一，它渗透到高中数学的每个角落中（如函数、方程、集合、数列、平面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等） ，其基本思想是转化思想转化的方法是: 超越式 分式 整式（高次） 整式（低次） 一次(或二次)不等式其中准确熟练求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，解一元高次不等式的有效方
5、法是序轴法.此外,要重视数形结合、分类讨论思想的运用.不等式的解法是高考必考内容，直接考查主要以选择题、填空题为主，这类题小巧灵活，常考常新；但有时也以解答题形式出现，主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则更多，常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何、平面向量等问题之中,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式，但偶尔也会涉及无理不等式、指数和对数不等式的解法【考向 1】基本初等函数类型的不等式的解法【例题】(2011 年高考辽宁卷理科 9)设函数 f（x）= ， ， 1xlog-1 2x则满足 f（x）2 的 x的取值范围是（ ）（A）-1，2 （B）0，2
6、 （C）1，+ ） （D）0，+ ）【答案】 D【考向 2】一元二次不等式的解法【例题】已知集合 2540Ax| ， 2| 0Bxa ，若 BA，求实数的取值范围【解析】 2| |1x 设 2()fxa，它的图象是一条开口向上的抛物线（1）若 B，满足条件，此时 0，即 24()0a，解得 2a；（2）若 ，设抛物线与轴交点的横坐标为 12x（，且 12x ，欲使 BA，应有 1x| 4| ，结合二次函数的图象，得()04210fa（ 即221048()a（ 解得 1827a 综上可知的取值范围是 187【点评】本题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二次不等式的解法，注意分类讨
7、论思想的应用，分类时做到不遗漏。【考向 3】绝对值不等式的解法【例题】不等式 2x的解集为( )（） 1, （） 1, （） 2,1 （） 2,【解析】 2x 2x 即 20x， 1xR， 1, 故选 A；【点评】此题重点考察绝对值不等式的解法；准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键，可用公式法，平方法，特值验证淘汰法。【考向 4】分式不等式的解法【例题】解下列分式不等式：（1） 213x；（2） 127342x【分析】当分式不等式化为 )0()或gf时，要注意它的等价变形 ()0)(xfxgf 0)(0)()(0)()( xgfxfxgfgff 或或（2）解法一：原不等式等价于 02
8、7312x212307307)(13(22xxxx或或 或原不等式解集为 ),(),3,(。解法二：原不等式等价于 0)2(13x)(1)2(xx用“穿根法”原不等式解集为 ),2()1,3,(【考向 4】带根号的不等式的解法【例题】解关于的不等式 )0(2axax【分析】先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解【解析】原不等式 ;)1(2,0)1(22xax或 .01,(2xa由 0a，得： ;01)(2,)1(2axx.1,2)(xa由判别式 84)(a，故不等式 0)(22a的解是xa2121当 0时， 1a， 12a，不等式组(1)的解是 121xa，不等式组(2)的解是
9、 x当 2a时，不等式组(1)无解，(2)的解是 2x综上可知，当 20a时，原不等式的解集是 ,1a；当 2时，原不等式的解集是,2a【说明】本题分类讨论标准“ 20a， ”是依据“已知 0a及(1)中 2ax， 1，(2)中2ax， 1”确定的解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定本题易误把原不等式等价于不等式 )1(2xax纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法【考向 4】含参数的一元二次不等式的解法【例题】设 Rm，解关于的不等式 032mx【说明】解不等式
10、时，由于 Rm，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因为当 0m时，原不等式化为 03，此时不等式的解集为 ，所以解题时应分 0m与 两种情况来讨论在解出 2xm的两根为 x31， 12后，认为 13，这也是易出现的错误之处这时也应分情况来讨论：当 0时， m；当 时， 【名师点睛】不等式的解法是高考的热点问题之一,要熟练一元二次不等式（包括含有参数的）、简单的分式不等式、指数与对数不等式、绝对值不等式（理科）的解法.重点 3： 线性规划问题【要点解读】1知识精讲：（1）二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线 0CByAx（B 不为 0）及点 ),(0yxP，则若 B0，
11、 00CByAx，则点 P在直线的上方，此时不等式 CBA表示直线的上方的区域；若 B0， 00CByAx，则点 P在直线的下方，此时不等式 0CByAx表示直线的下方的区域；（注：若 B为负，则可先将其变为正）（2）线性规划： 求线性目标函数在约束条件下的最值问题，统称为线性规划问题；可行解：指满足线性约束条件的解（x,y）;可行域：指由所有可行解组成的集合；2重点难点: 准确确定二元一次不等式表示的平面区域，正确解答简单的线性规划问题3思维方式: 数形结合.4特别注意: 解线性规划时应先确定可行域；注意不等式中 )(与 对可行域的影响；还要注意目标函数 byaxz中 0和 b在求解时的区别
12、.【考向】线性规划问题【例题】 （2016 年山东高考理）若变量 x， y满足2,390,xy+-则2xy+的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域, 2xy表示点（ x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为 210O,故选 C.【
13、名师点睛】线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题.1.高考的题型：1）已知线性约束条件，划可行域问题；2）已知线性约束条件，探究线性目标函数最值问题；3） 已知线性约束条件，探究非线性目标函数最值问题；4） 已知线性约束条件，探究参数问题；5）利用线性规划解决实际问题；6）其他题。2.解题方法：1）以直线定边界，以特殊点判断区域；2）线性目标函数的最优解往往在多边形可行域的顶点或边界处达到。重点 4：不等式的证明【要点解读】高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是高中数学的重要内容，同时也是高中
14、数学的难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，因而备受命题者的青睐，成为高考的热点问题.但由于在高考时，涉及到不等式证明的问题往往出现在压轴题上，其综合性强、思维量大，因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题.【考向】常见的不等式的证明【例题】已知 a，bR，且 a+b=1.求证： 252ba 【答案】证明过程见解析【解析】证法一：比较法，作差消 b,化为 a的二次函数,也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同.证法二：（放缩法） 1ab, 左边 222abab21542ab右边证法三：（均值换元法） 1ab，所以可设 ta21， tb，左边 222()()att22552ttt右边当且
15、仅当 t=0时，等号成立.证法四：（判别式法）设 y= (a+2)2+(b+2)2，由 a+b=1，有 132)3()2(2aaay ，所以 013ya，因为 R，所以 0)(4y，即 25故 252ba.【名师点睛】现在的高考没有单独命制不等式证明的试题，而是把它与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴题，重在考查逻辑思维能力，以及常用的不等式证明方法（基本方法:比较法、综合法、分析法;常用方法:放缩法、换元法、求导法、反证法、数学归纳法等）.重点 5： 基本不等式的应用【要点解读】1.（1）若 Rba,，则 ab22 (2)若 R,，则 2ba（当且仅
16、当 ba时取“=”）2. (1)若 *,，则 (2)若 *,，则 （当且仅当 时取“=” ）(3)若 *,ba，则2ba(当且仅当 ba时取“=” ）3.若 0x，则 1x (当且仅当 1x时取“=” ）;若 0x，则 12x (当且仅当 1x时取“=”）若 ，则 2-2x即 或 (当且仅当 ba时取“=” ）3.若 0ab，则 ab (当且仅当 ba时取“=” ）若 ，则 2-2即 或 (当且仅当 ba时取“=” ）4.若 Rba,，则 )(2b（当且仅当 ba时取“=” ）【考向 1】用基本不等式求最值【例题】设 O为坐标原点， P是以 F为焦点的抛物线 2(p0)yx 上任意一点， M是线段 PF上的点，且 PM=2 F,则直线 OM的斜率的最大值为（A） 3 （B） 2 （C） 2 （D）1【答案】C
