1、重点列表：重点 名称 重要指数重点 1 等差、等比数列的基本运算 重点 2 等差、等比数列的判定 重点 3 有关数列求和的考查 重点 4 有关数列与不等式的综合考查 重点 5 数列中的最大项或最小项问题 重点详解：【考向】等差、等比数列的通项公式及前 n 项和公式 【例题】 ）已知 an是等差数列， bn是等差数列，且 b2=3， b3=9， a1=b1， a14=b4.（）求 an的通项公式；（）设 cn= an+ bn，求数列 cn的前 n 项和.【答案】 （） 21n（II） 231（II）由（I）知， 21na， 13nb因此 ncb从而数列 的前项和 113213nnSn231n【名
2、师点睛】解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：基本量法，即运用条件转化成关于 a1和 d 的方程(组)；巧妙运用等差、等比数列的性质问题进行解答，之后再还原成实际问题.重点 2：等差、等比数列的判定【要点解读】1、等差数列的判断方法：定义法： )(1常 数danan为等差数列。中项法：等差中项：若 ,Ab成等差数列，则 A 叫做与的等差中项，且 2abA。ann212n为等差数列。通项公式法：等差数列的通项： 1()nad或 ()nmad。公式变形为: ban. 其中 a=d, b= a1d.bn（a,b 为常数） n为等差数列。前 n 项和公式法：等差数列的前和： 1()2nnaS，
3、 1()2nSad。公式变形为 Sn=An2+Bn其中 A= 2d，B= 1a. BnAsn（A,B 为常数） an为等差数列。2、等比数列的判断方法：定义法： 1(naq为 常 数 ） ，其中 0,nqan为等比数列。中项法：如果 a、G、b 三个数成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，即 G= ab.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项。an2=an-12an+12（nN *，n2） n为等比数列。通项公式法：等比数列的通项：1naq或 nmnaqan=Aqn 为等差数列。前 n 项和法：等比数列的前和：当 1q时， 1nSa；当 q时， 1()nnaq
4、S1na=Aqn-ASn=Aqn-Aa为等差数列。【考向】证明满足一定条件的数列为等差或等比数列【例题】设数列 n的前项和为 nS， 已知 1a， 23， 54a，且当 2n时， 21458nS（1）求 4a的值；（2）证明： 12nna为等比数列；（3）求数列 n的通项公式【答案】 （1） 78；（2）证明见解析；（3） 12nna【解析】试题分析：（1）令 n可得 4的值；（2）先将 21458nnSS（ 2）转化为214nna，再利用等比数列的定义可证 1nna是等比数列；（3）先由（2）可得数列12nn的通项公式，再将数列 12nn的通项公式转化为数列 12na是等差数列，进而可得数列
5、 na的通项公式来源试题解析：（1）当 2时， 423158SS，即 435354181224a，解得： 478a（2）因为 215nnSS（ 2） ，所以 21144nnnSSS（ 2） ，即1n（ ） ，因为 31546aa，所以 21a，因为221111142nnnnnaa ，所以数列 12nn是以2为首项，公比为 的等比数列【名师点睛】1、等差、等比数列的判定通常作为解答题的第 1 问来考查，一般用下面的基本方法来判定：利用定义：an1 an常数，或 常数；利用中项的性质：2 an an1 an1 (n2)或 a an1 an1 (n2)问an 1an 2n题进行解答，之后再还原成实际
6、问题.2、等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为 1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为 1 时，要对分 q和 两种情形讨论求解。重点 3： 有关数列求和的考查【要点解读】数列的求和是高考重点考查的内容，也是考纲明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即问题的解答常用的方法可以归纳为几种因此，考生有效地化归问题是正确解题的前提，合理地构建方法是成功解题的关键，正确的处理过程是制胜的法宝，这部分内容在高考中既有以选择题、填空题形式的简单考查，也有以解答题重点考查的情况出现数列求
7、和主要是分析通项，然后根据通项选择相应的求和方法.【考向 1】错位相减法求数列的和.【例题】 （2016 年山东高考）已知数列 na的前 n 项和 238nS， nb是等差数列，且1nnab.（I）求数列 的通项公式； （II）令1()2nnacb.求数列 nc的前 n 项和 T. 【答案】（） 3n（） 23n（）由（）知 112)(3)(6nnnc，又 nnccT321，即2432 1nnT，所以 2)(5nn ，以上两式两边相减得 221432 3)1(432 nnnnnnT。所以 2nn【考向 1】裂项相消法求数列的和.【例题】 【2016 高考天津理数】已知 na是各项均为正数的等差
8、数列，公差为 d，对任意的 ,bnN是na和 1的等差中项.()设 2*,ncbN，求证： nc是等差数列；()设2*11,nnkadTb，求证： 21.nkTd【答案】 （）详见解析（）详见解析（II）证明： 2221341n nTbbb 22242nadadd所以 222211111n nkkkT nd.考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和【名师点睛】数列求和的常用方法：1、利用常用求和公式求和：1）等差数列求和公式： dnanS2)1(2)(11 2）等比数列求和公式： )()(11 qqnnn2、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方
9、法主要用于求数列a n b n的前 n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.3、倒序相加法求和：这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个.4、分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.5、裂项法求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.6、合并法求和：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某
10、种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn重点 4：有关数列与不等式的综合考查 【要点解读】数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前 n 项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化化归的思想和数学素养【考向 1】常常证明数列的和的大小关系.【例题】 （2016 年四川高考）已知数列 na 的首项为 1， nS 为数列 na 的前 n 项和， 1nSq ，其中 q0， *nN .（
11、I）若 23,a 成等差数列，求 an的通项公式；(ii)设双曲线21nyx的离心率为 ne ，且 253 ，证明： 12143nee.【答案】（） 1=aq-；（）详见解析.（）由（）可知， 1naq-=.所以双曲线2nyx-的离心率 22(1)nnneaq-+= .由 2513q=+解得 4q=.因为 2(1)2(1)+kkq，所以 2(1)*+kkqN（ ） .于是 12nnee-=，故 314n-.【名师点睛】数列与不等式均是高中数学中的重要内容，所以在高考中占有重要的地位. 高考对这两部分的考查比较全面，在近年来的全国各地高考试题中，常常综合在一起考查这两部分知识，尤其是在解答题中较
12、为明显. 在高考试题中，数列与不等式这部分知识所占分值大约是 20 分. 解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题有较好的区分度. 有关数列的综合题，经常把数列知识与不等式的知识综合起来，其中还蕴含着丰富的数学思想，通常要用到放缩法以及函数思想（求函数的最值等）. 这就要求考生能够灵活地运用相关数列的性质与不等式的方法去解决相关问题.【考向 1】新概念中的数列不等关系.【例题】 【2016 年高考北京理数】 （本小题 13 分）设数列 A： 1a ， 2 , Na ( ).如果对小于 n(2N)的每个正整数 k都有 ka n ，则称n是数列 A 的一个“G 时
13、刻”.记“ )AG是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列 A：-2，2，-1，1，3，写出 (的所有元素；（2）证明：若数列 A 中存在 na使得 1，则 ) ；（3）证明：若数列 A 满足 - 1 1（n=2,3, ,N）,则 )(AG的元素个数不小于 Na - 1.【答案】 （1） ()G的元素为 2和；（2）详见解析；（3）详见解析.试题解析：（1） )(AG的元素为 2和.（2）因为存在 na使得 1，所以 1,aNiii.记 ,2mi aNii，则 2m，且对任意正整数 mka1,.因此 )(AG，从而 )(.（3）当 1aN时，结论成立.以下设 .由（）知 )(AG
14、.设 ppnn2121, ，记 10.则 pnnaa210 .对 i,，记 inkii aNkG,.如果 i，取 iim，则对任何 iimnki,1.从而 )(Ai且 1iin.又因为 pn是 G中的最大元素，所以 pG.从而对任意 k， pnka，特别地， pnNa.对 iini1,10.因此 1)(1111 iiiii nna.所以 paiip npinN 111.考点：数列、对新定义的理解.【点评】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和， 1q或 )等.重点 5：数列中的最大项或最小项问题【要点解读】在数列、函数、导数以及不等式等知识的交汇处命题，可以很好地考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，已成为高考数列命题的热点，而不等式知识与单调性、最值密切相关，因而考查数列的单调性与最值成了高考一大亮点，【考向】求数列中的最大项或最小项
