1、一、问题的提出2016 年北京高考数学试卷有如下一道题：设函数 .（1）若 ,则3,2xaf0的最大值为_；（2）若 无最大值,则实数 的取值范围是_.fxfx该题以分段函数为载体,考查函数性质,有很好地区分度,由于分段函数问题常涉及到分类讨论思想,它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考查上是很好的载体, 因此成为近几年高考数学考试中的热点问题.二、问题的探源分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数,它是一类表达形式特殊的函数. .分段函数:定义域中各段的 x 与 y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 它是一个函数,而不是几个函数与分段
2、函数有关的问题主要有：(1) 定义域：各段函数定义域的并集(2) 值域：各段函数值域的并集(3)求值： 利用分段函数的定义可以由自变量的值去求对应的函数的值,反之也可以根据给出的函数值求出对应的自变量的值.注意：只有满足它的自变量的范围才能用与之对应的解析式.求分段函数的函数值时,首先应确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应法则求值.若 f（x）是分段函数,要求 ff需确定 f 的取值范围,为此又需 f（a）确定取值范围,然后根据其所在定义域代入相应的解析式,逐步求解.(4)分段函数的单调性：分段函数的单调性,首先应该判断各段函数的单调性,若每一段函数单调性一致,再判断分界点处函数值
3、的关系,符合单调性定义,则该函数在整个定义域上单调递增或递减,不符合,则必须分开说明单调性(5)分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称,不对称就不是奇(偶)函数,再由x0, x0,分别代入各段函数式计算 f(x)与 f( x)的值,若有 f(x) f( x),当 x0 有定义时 f(0)0,则 f(x)是奇函数；若有 f(x) f( x),则 f(x)是偶函数分段函数求最值时,应先求出每一定义域对应的解析式的最大（小）值,然后加以比较,最大（小）的即为该分段函数的最大（小）值.三、问题的佐证1.分段函数的定义域和值域【例 1】求函数 的定义域、值域. 12,0;()()3,;xf【解析】
4、作图, 利用“数形结合”易知 的定义域为 , 值域为 . ()fx1)(1,32.分段函数的函数值【例 2】已知函数 求 . 2|1|,(|)()xf12()f3.分段函数的最值【例 3.】求函数 的最小值23(0)15xy【解析】 （方法 1） 先求每个分段区间上的最值,后比较求值.当 时, 此时显然有0x()23,yfxmax(0)3;yf当 时, 此时14当 时, = 此时 无最大值.比较可得当 =1 时,1xy()5,fxyxmax4.y（方法 2）利用函数的单调性由函数解析式可知, 在 上是单调递增的,在 上也是递增的,而()fx(0)(01)x在 上是递减的,(1)x由 的连续性可
5、知 当 =1 时有最大值 4f()fx（方法 3）利用图像,数形结合求得作函数 = 的图像（图 1）, y()fx显然当 =1 时 .xmax4y说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.4分段函数的解析式【例 4】在同一平面直角坐标系中, 函数 和 的图象关于直线 对称, ()yfx()gyx现将的图象沿 轴向左平移 2 个单位, 再沿 轴向上平移 1 个单位, 所得的图象是由()ygx两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数 的表达式为（ ）()fx2(10).()2xxAf2().()0xBfx2(12).()4xCf26().()3xxDf5分段函数的奇偶性【例 5】判断函数 的奇偶性
6、. 2(1)0()xf【解析】当 时, , ,0x22()(1)()(fxxfx当 时,()ff当 , ,x22()()(xxxf因此, 对于任意 都有 , 所以 为偶函数. R(ff6分段函数的单调性【例 6】判断函数 的单调性. 32(0)()xf【解析】显然 连续. 当 时, 恒成立, f 2()31fx所以 是单调递增函数, 当 时, 恒成立,()fx0x 0也是单调递增函数, 所以 在 上是单调递增函数; 或画图易知 在 上是()fR()fxR单调递增函数. 【例 7】写出函数 的单调减区间. ()|12|fxx【解析】 , 画图易知单调减区间为 . 123)()(fx 12(,7解
7、分段函数的方程【例 8】设函数 , 则满足方程 的 的值为 812()log)xf 1()4fx8解分段函数的不等式【例 9】设函数 , 若 , 则 得取值范围是（ ）12(0)()xf0()1fx0x.(1,)A.(,)B20C.(,)(,)D【解析 1】首先画出 和 的大致图像, 易知 时, 所对应的 的取值yfx10()1fx0x范围是 . (,1)(,)【解析 2】因为 , 当 时, , 解得 , 当 时, 0()1fx0x021x01x0x, 解得 , 综上 的取值范围是 . 故选 D. 120x(,)(,)【例 10】设函数 , 则使得 的自变量 的取值范围为（ 2(1)()4xf
8、()1fxx）A B. (,20,1(,20,C. D. 1点评： 以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显. 四、问题的解决1已知函数 ,若函数 有 3 个零点,则实数 的值为（ 23|(),xfxa()4yfxa）A.-2 B.0 C.2 D.42已知定义在 内的函数 满足 ,当 时,R()fx(4)(ffx13则当 时,方程 的不等实数根的个数2(1|),1,)(3txf827t)20fx是（ ）A
9、3 B4 C5 D63设函数 , 是 上的常数,若 的值域为 ,则 取值范围为（ ）2,()xafR()fxRaA. B. 2,11,C. D.024 ,则 （ ）2|1|,|()3xf1()2fA B 413C.4 D55设函数 , （ ）21log()(),xxf2()log1)ffA3 B6 C9 D126已知 是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围（ ）1,)24()xaxfA. D 1,09已知函数 在 ,上单调递增,则实数 a的取值范围为（ 1,2xaxf）A. B C. D4,14,24,2，210已知函数 ,若 ,则 （ ）210logxfa03faA B C-1 12 1
10、2D111已知函数 24|log|015xfx,若存在实数 ,abcd满足fabfcd其中 cba,则 的取值范围是（ ）A 16,2 B 16,24C 7 D 812已知函数 21,0)()3,xf,若存在常数 t使得方程 ()fxt有两个不等的实根12,x（ 12x）,那么 12()fx的取值范围为（ ）A 3,)4 B 3,86 C 31,)62 D 3,)813若函数 则函数 的零点个数为（ ）21,()lnxf()yfxA1 B2 C3 D414已知 是 上的奇函数,当 时, ,函数 ,若 ,gxR0xln1gxx30xfg2fxf则实数 的取值范围是（ ）A B ,12,2,C D
11、 115已知函数 ,若函数 在 上有两个零点,则 的取值范,02xaf RfxRa围是（ ）A B C D,1,11,00,1参考答案1 【答案】D【方法点晴】本题主要考查的是函数解析式的求解及常用方法,函数零点的判定定理,属于中档题,对于分段函数求零点问题,一定要分开分析,往往需要借助于数形结合的方法,先画出已知的那段函数的图象,判断出已知的那段函数有几个零点,再通过综合分析确定含有参数的那段函数的位置,即可得到参数的范围或具体的数值,分段函数的处理方法是解决此类题目的关键.2 【答案】C【解析】 根的个数等价于 与 的交点个数,7()20fxyfx27y时, ,画出 与 的图象,如图,由图
12、知8,1t827fxfx与 的图象有 个交点,即实数根个数为 ,故选 C. yfx27y55【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式与图象、方程根与函数图象交点之间的关系,属于难题.判断方程 实根的个数的常用方法：（1）转化法：函数 零点个0fx yfx数就是 则方程实根的个数；（2）零点存在性定理法：判断函数在区间 上是fx ,ab连续不断的曲线,且 再结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、,fabA对称性） 可确定函数的零点个数；（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,本题的解答就利用了方（3）.3 【答案】C4
13、【答案】C【解析】 , , .23-|1|)2(f 423-1)(（f 4)21(f5 【答案】C【解析】 ,选 C.9)1(log),6)(log,34l1)( 212log22 ffff6 【答案】A.【解析】试题分析：由题意得 ,选 A.842041aa7 【答案】B【解析】 为单调递增函数,而 ,所以312,xf12;12t ttff时 时或 或 ,即 取值范围是 ,选 B.1)(af 32aa38 【答案】A【解析】由题意得 ,选 A2102,0aa【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性,即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数值域为各段值域的并集.解决此类问题时,要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值,尤其是分段函数结合点处函数值.9 【答案】B10 【答案】A【解析】由题意得, ,解得 ,故选 A02(21)(log3fffa1211 【答案】B【解析】由题意得： 222214logl55abcd,因此22logl0ab,记 t,则 d是方程 xt的两根,.1
