1、数列求和问题教案教学目标1初步掌握一些特殊数列求其前 n 项和的常用方法2通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，以及转化的数学思想教学重点与难点重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的教学过程设计（一）复习引入师：等差数列和等比数列既是最基本的数列又是最重要的数列我们已经推出了求其前 n 项和的公式，公式分别是什么？师：我们学习新知识不仅要记住其结论，正确地运用它解决问题，而且要善于在学习新知识的过程中体会研究问题的方法，逐渐地学会思考、学会学习（不失时机
2、地对学生进行学法指导非常必要）回忆一下推导这两个公式的方法，你有什么收获？（留给学生回忆及思考的时间）生甲：推导等差数列前 n 项和公式所用的方法是：先把 Sn中各项“正着”写出来，再把 Sn中各项次序反过来写出，两式相加由于对应项和都为（a 1+an），所以 2Sn=n（a 1+an），进而求出 Sn师：推导方法是将要解决的问题通过“逆序相加”的方法转化为我们熟悉的常数列求和问题（渗透转化的思想）生乙：推导等比数列前 n 项和所用的方法是：将 Sn的各项依次写出，再把这个式子的两边同时乘以 q，然后两式“错项相减”，相减后等号右边只剩下两项，进而求得 Sn师：解决此问题需要同学们有敏锐的观察
3、能力把 Sn=a1+a1q+a1qn-2+a1qn-2的两边分别乘以公比 q，就得到各项后面相邻的一项，因而用“错项相减”的方法就可以消去相同的项以上两种求和的思路在解决某些特殊数列求和问题时经常用到这节课我们就来研究既非等差数列又非等比数列的一些特殊数列的求和问题（板书课题）（二）新课例 1 求分母为 3，包含在正整数 m 与 n（mn）之间的所有不可约的分数之和师：分母为 3，包含在正整数 m 与 n 之间的所有不可约分数有哪些？师：本题实质上让我们解决什么问题？生：求由这些分数构成的数列的各项和此数列是我们熟悉的等差数列或等比数列吗？（稍微停顿）都不是请同学们观察此数列有什么特点，可用什
4、么方法求和？生甲：此数列的第一项与最后一项的和是 m+n，第二项与倒数第二项的和也是 m+n，依此类推根据此数列的特点，可以用刚才复习过的“逆序相加法”求和（学生叙述解法一，教师板书）解法 1：将上式各项次序反过来写出：两式相加得所以 S=（m+n）（n-m）=n 2-m2生乙：我观察此数列的所有奇数项组成公差为 1 的等差数列，所有偶数项也组成公差为 1 的等差数列，它们分别都有（n-m）项可以转化成等差数列求和问题（学生叙述解法 2，教师板书）解法 2：师：解法 2 是将原数列的各项重新组合，使它转化为等差数列求和（学生进一步体会）师：无论是“逆序相加法”还是“分组求和法”都是通过适当的变
5、换把某些既非等差数列又非等比数列的特殊数列转化为等差或等比数列的求和问题看下面数列又怎样转化呢？例 2 求数列 1，3a，5a 2，7a 3，（2n-1）a n-1，（a1）的前 n 项和师：我们还是从观察数列特点入手此数列各项有何特点？生：此数列每一项中的字母部分 a0，a 1，a 2，a n-1构成以 a 为公比的等比数列，每一项中的系数部分 1，3，5，（2n-1）构成以 2 为公差的等差数列师：我们不妨把这种数列称为“差比数列”c n，c n=anbn，其中a n为等差数列，b n为等比数列联想我们曾遇到过的数列，有没有“差比数列”呢？生：任何一个等比数列都是特殊的差比数列师：等比数列
6、求和公式是怎样推导的？生：用错项相减法师：假如我们也使用错项相减法，把 Sn=1+3a+5a2+7a3+（2n-1）a n-1的两边也同时乘以公比 a，却不得各项后面相邻的一项，两式错项相减，并未达到消去绝大部分项的目的用此法还行吗？生：虽然没消去绝大部分项，却把问题转化成为一个等比数列求和问题（学生叙述，教师板书）解：因 Sn=1+3a+2a2+7a3+（2n-1）a n-1， （1）（1）a 得aSn=a+3a2+5a3+（2n-3）a n-1+（2n-1）a n两式相减得（1-a）S n=1+2a+2a2+2a3+2an-1-（2n-1）a n=2（1+a+a 2+a3+an-1）-（2
7、n-1）a n-1师：让我们来回顾一下，错项相减后的式子中只留下第一项和最后一项，其它各项构成等比数列，把未知问题转化成已知的等比数列求和问题由解题过程可见，此方法可解决哪类数列的求和问题？生：错项相减法可解决差比数列求和问题师：也就是说，可解决这类数列c n的求和问题，c n=anbn，其中a n为等差数列，b n为等比数列例如求数列2n-10.1 n的前 n 项和，你能解决此问题吗？（学生进一步体会）师：这是一个通项是分数形式的数列，分母是相邻两个自然数的积，且相邻两项的分母中有相同因数（稍微停顿）既然有相同的成分，那么我们能否消去它们，促成求和呢？（留给学生思考的时间）师：正像前面我们推
8、导等差数列通项公式使用叠加法（板书）a2-a1=da3-a2=da4-a3=dan-1-an-2=dan-an-1=d将上面 n-1 个式子的等号两边分别相加得到 an-a1=（n-1）d，消去了绝大部分的项，只留下了第一项 a1和最后一项 an对于这个题目，同学们能否类似地实现求和呢？（让学生学会类比的思维方法）（学生讨论）生：要达到消去的目的，必须出现差的形式观察数列的第一项可（学生叙述，教师板书）师：这位同学的解法非常漂亮他把通项是分数形式的数列的每一项，分裂成两个分数之差，这些分数的和，除首末两项（有时也可能是首末若干项）外，其余各项前后抵消，实现了求和我们把这种方法叫做裂项求和法这种
9、方法，在解决通项是分数形式的数列求和问题时经常用到下面请看第（2）小题（学生先练习，然后师生共同讨论）师：这个数列有何特点？考虑用什么方法求和？生：这个数列中的每一项都有规律的分数形式，不妨试试裂项求和法解题师：怎样裂项？师：先从通项入手进行分析，具有一般性，很好分析裂项时，需师：由（*）式的变形过程可知 4 是由（4k-3）-（4k+1）得来的观察数列 1，5，9，13，4n-3，是什么数列？生：公差为 4 的等差数列生：凑的系数恰为数列 1，5，9，4n-3，的公差的倒数师：能不能推广成更具一般性的结论？（学生讨论）生：如果a n为等差数列，d 为公差，则师：这样就全面了同学们得出具有共性
10、的结论我们要善于解题后回顾与反思，多题归一当然，有的不具有此规律的分数数列裂项并师：怎样求得 A，B，C？生：可用待定系数法师：课后同学们可继续探讨例 4 求和 Sn=13+23+33+n3（nN +）（学生议论）师：同学们还记得 Sn=1+3+5+（2n-1）=n 2可用哪个图形表示出来吗？（学生甲在黑板上画出图形，如图 6-2）师：对于 Sn=13+23+33+n3（nN +）同学们能否类似地用一图形表示并猜想其结果？（学生讨论，教师用实物投影展示学生乙的图形，图 6-3）生乙：我也用一个正方形表示，左下角的第一格表示 13，左下角除表示 13的方格外的 8 个格表示 23，左下角除表示
11、13和 23以外的 27 个格表示 33，以此类推前 n 个自然数的立方和 Sn为正方形中所有方格个数之和（1+2+3+n） 2师：同学们借助几何图形及其性质，使问题变得直观、简单，猜想除了猜想一证明的方法外，还有没有其它方法？（稍微停顿）想想前 n 个自然数的平方和是怎样求出来的？生：用构造法利用构造的恒等式（k+1） 3-k3=3k2+3k+1（kN +）实现求和师：对当 k 取 1，2，n 时，得到 n 个恒等式，把这个 n 个恒等式两边分别相加，由于左边是两个连续自然数的立方差，叠加后式子左边消去了除（n+1） 3与 13以外的所有项，右边留下了我们需要的 Sn与可解决的自然数和以及 n 个常数 1 之和构造恒等式的目的是为了把前 n 个自然数的平方和问题转化为前 n 个自然数和的问题那么，对于前 n 个自然数的立方和问题又怎样转化呢？生：构造恒等式（k+1） 4-k4=4k3+6k2+4k+1（kN +），当 k 取 1，2，n时，把 n 个式子叠加，使问题转化为前 n 个自然数的平方和与前 n 个自然数和的问题师：很好请同学们课后完成我们把公式
