1、3 1 函数与方程函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点教学目标：1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.让学生了解函数的零点与方程根的联系3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用4培养学生动手操作的能力教学重点：确定方程实数根的个数教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象教学方法：探讨法教学过程：引入问题一元二次方程 的根与二次函数 的图象有20()axbca2(0)yaxbc什么关系？通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）：1函数零点的定义：对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点（
2、zero ()yfx()0fxx()yfxpoint）.这样，函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的()f ()yfx图象与 轴的交点的横坐标，故有x2一般结论方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点()0f()yfx()yfx3函数变号零点具有的性质对于任意函数 ，只要它的图象是连续不间断的，则有()yfx（1）当它通过零点时（不是二重零点） ，函数值变号。如函数 的图象2()3fx在零点 的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点 时，函数值由正变为负，再通 1过第二个零点 3 时，函数值又由负变成正（见教材第 102 页“探究”题） 。（2）在相邻两个零点之间所有的
3、函数值保持同号。4注意点（1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。（2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点。5勘根定理如果函数 在区间 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有()yfx,ab那么函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，()0fabf(,)(,)cab()0fc这个 也就是方程 的实数根。c()fx例 1求函数 的零点个数。ln26分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：（1）利用计算器或计算机作 的对应值表；,()xf（2）作出函数 的图象；()yf（3）确定 的单调性；x（4）若在区间
4、 上连续，并且有 ，那么函数 在区间 内,ab()0fab()yfx(,)ab有一个实数根；（5）结合单调性确定其定义域内零点个数，即实数根个数。结合计算机利用几何画板作出函数的图象观察。例 2函数 的零点所在的大致区间是（ ）2()lnfxA （1，2） B （2，3） C 和（3，4） D1(,)e(,)e分析：从已知的区间 ，求 和 ，判断是否有 。(,)abffb)0fab解：因为 ，故在（1，2）内没有零点，非 A。()0ln0f又 ，所以 ，所以 在（2，3）内有一个零点，选 B。2(3)lnf(2)3f()fx例 3若方程 在（0，1）内恰有一解，求实数 的取值范围。2axa分析
5、：令 在（0，1）内恰有一解，则 ，解出 。()f (0)1fa解：令 ，因为方程在（0，1）内恰有一解，所以 ，即2x ()0f，解得 。1(2)0aa例 4二次函数 中， ，则函数的零点个数是（ ）2()yxbc0acA1 个 B2 个 C0 个 D无法确定分析：分析条件 ， 是二次项系数，确定抛物线的开口方向， ，所以0a (0)cf，由此得解。(0)acf解：因为 ，所以 ，即 与 异号，即 或f(0)acfa(0)f(0)af0()af所以函数必有两个零点，故选 B。练习：教材第 103 页练习 1、2 题。说明：练习 1 让学生自己动手操作，要启发学生将等号右边的项移至等号左边，然后将等号左边的代数式设为函数 ，再通过探究函数的零点去得出方程的根的情况。练习 2()fx要借助几何画板作出各个函数的图象判断零点所在大致区间。作业：教材第 108 页习题 3.1A 组题第 2 题。
