1、 一、问题的提出2015 新课标卷 2 有下面一道题：设函数 ,则使得21lnfxx成立的 的取值范围是（ ）1fxfxA B ,31,3CD1,本题若把 解析式代入解不等式,会很繁琐,故可考虑利用函数单调性,脱去抽象符合fx“ ”,转化为一般不等式求解. 可以很容易判断 是偶函数,且在 是增函数,在fx0利用函数单调性脱去 中的“ ”时,需要考虑 是在 ,还是21fxf,21x在 ,要分四种情况讨论,较繁琐,那么有没有比较简单的方法呢？0二、问题的探源若 是偶函数,很容易证明 ,该结论虽然简单,但在解题中如能巧妙运用,可fxfxf避免分类讨论,达到化繁为简的目的.如上面一题的解法为：由 ,可
2、知 是偶函数,且在 是增21lnfxfx0,函数,所以 21fxffxf,故选 A234+013x三、问题的佐证1 （2009 辽宁理 9）已知偶函数 在区间 上单调递增,则满足fx0的 x 取值范围是（）123fxfA. B. ,12,3C. D.12,312,3【分析】把 转换为 ,结合 在区间 上单调fxf13fxffx0,递增,可脱去“ ”.f【评注】不难看出,此题是 2015 新课标卷 2 文 12 的原型,考查方式与考查内容基本相同.2.已知偶函数 满足：当 时 ,若 对任意fx01sinfxx2fafx恒成立,则 的取值范围是 .12xa【分析】先判断 在区间 上单调递增,由 是
3、偶函数,根据 ,fx0fxfxf可得 .2fa2fax2a【解析】当 时, , ,0x1sinf1cos0fx所以偶函数 在区间 上单调递增,f因此 ,2ax2faxfx2ax因为 ,所以1x,4ax因为 ,所以 ,即 ,所以 ,即 的取值范围是 .122x41323a2,3【评注】本题既考查了函数奇偶性与单调性,又考查了不等式恒成立问题,在利用不等式恒成立参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.从而若 值域fx为 ,则不等式： 恒成立 ； 恒成立 .若本题区间nmfxamfxan改为 ,则
4、答案又该如何？1,21四、问题的解决1若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(,0上是减函数,且 f(2)0,则使得 f(x)0的 x 的取值范围是 ( )A(,2) B(2,) C(,2)(2,) D(2,2)2函数 yf(x)是 R 上的偶函数,且在(,0上为增函数若 f(a)f(2),则实数 a 的取值范围是( )Aa2 Ba2 C2a2 Da2 或 a23.设 是定义在 R 上的偶函数,当 时, 单调递增,且对任意fx0xfx,有12,0,若对任意的 ,不等式 恒成立,则实12fxfx1xa2fxaf数 a 的取值范围是 .4.若函数 是定义在 上的偶函数,且在区间 上是单调增函
5、数.如果实数 满足fxR0,t时,那么 的取值范围是 .1lnl2ftfftt5.设 f（x）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增,若 f（a-2）-f（4-a 2）0,则 a 的取值范围为_6.已知4221()log()mxfx()R是偶函数.（）求实常数 m的值,并给出函数 ()fx的单调区间（不要求证明） ；（） k为实常数,解关于 x的不等式： (31)kfx7.已知偶函数 的定义域为 ,且当 时,)(f ,0R0xf2log)(求满足 的所有 之和56xx答案1.【答案】D【解析】解：因为函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(,0上是减函数,且 f(2)0,则使得 f
6、(x)0 ,所以 x 的取值范围是(2,2),选 D02fx2.【答案】D【解析】因为 是 R 上的偶函数,且在 上单调增,所以 在 上单调减,()f (0()fx0)所以或 ,故选 D()2faa2a3.【分析】目标在于如何恰当地转化 “ ”,使其变成“ ”,进2fxffxaft而转化.4.【解析】因为函数 是定义在 上的偶函数,所以 ,fxR1lnllnfftftt所以 1lnl2ftfftln2ftflftflt11lnt1e.t5.【答案】 3,2,5【解析】略（） ()fx是偶函数 , ()()fxkf,不等式即 31k,由于 在 0上是增函数,x, 22961xkx,即228(6)(1)0k,()()04k, 134,3k时,不等式解集为 ； 1时,不等式解集为1(,)42k；3k时,不等式解集为(,). 7 【答案】 10【解析】 为偶函数,所以 ,所以 ,)(xf )(xff56x解得 ,所以满足要求的 之和为1,2,3,6421 10
