1、专题二：点、直线、平面之间的位置关系2017 版高中数学课本典型试题改编系列之必修 2（原卷版）2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系1.【原题】 （必修 2 第 47 页例题 3） 如右图，已知正方体 ABCDA B C D.(1)哪些棱所在直线与直线 BA是异面直线？(2)直线 BA和 CC的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线 AA垂直？【解析】(1) 由 异面直线的定义可知，棱 AD、 DC、 CC、 DD、 D C、 B C所在直线分别与直线 BA是异面直线(2) 由 BB CC可知， B BA为异面直线 BA与 CC的夹角， B BA45，所以直线 BA和 CC的夹角为 45
2、.(3) 直线 AB、 BC、 CD、 DA、 A B、 B C、 C D、 D A分别与直线 AA垂直【原题解读】 （1）知识上；需要明确异面直线所成角的定义。（2）思路方法上；异面直线所成角问题主要分三步；“找” 、 “证” 、 “算” ，即；先要通过对空间几何环境的观察发现异面直线所成的角（对应的平面角） ，然后回到定义进行证明，最后进行角的计算（一般放到三角形中） 。（3）考察空间想象能力及推理论证和计算能力，转化思想。【变式网络】变式 1. 【2014 安徽高考】从正方体六个面的对角线中任取两条覼作为一对，其中所成的角为 60的共有（ ）A24 对 B30 对 C48 对 D60 对
3、【答案】C【解析】在正方体 CDA中，与上平面 AB中一条对角 AC成 60的直线有， ,， ,， ,D共八对直线，与上平面 B中另一条对角线 60的直线也有八对直线，所以一个平面中有 16 对直线，正方体 6 个面共有 16对直线，去掉重复，则有 1=482对故选 C变式 2. 【2012 全国大纲卷】已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E、 F 分别为BB1、 CC1 的中点，那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为_【答案】35变式 3. 【2014 新课标 2】直三棱柱 ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N 分别是 A1B1，A 1C1的中点，BC=CA=CC
4、1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 0 B. 25 C. 301 D. 2【答案】C【解析】画出图形，找出 BM 与 AN 所成角的平面角，利用解三角形求出 BM 与 AN 所成角的余弦值解：直三棱柱 ABCA 1B1C1中，BCA=90，M，N 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，如图：BC 的中点为 O，连结 ON，且 ，则 MN0B 是平行四边形，12MN1Az yxFMEQPDCBABM 与 AN 所成角就是ANO，BC=CA=CC 1，设 BC=CA=CC1=2，CO=1，AO= ，AN= ，MB= 2216BM在ANO 中，由余弦定理可得：cosANO= 故选：
5、C2263015ANO变式 4. 【2015 高考四川】如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E、F 分别为 AB、BC 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ，则 cos的最大值为 .【答案】 25【解析】如图建立空间直角坐标系；设 ， 则 ，1AB1(,0)(,)2FE设 ，则； (0,1)My(,)EMy由于异面直线所成的角范围为； ，所以0,2，22221(1)(1)81cos 455454yyyy令 ， 当 时取等号，81,9yt286,1ytt所以 当 时，取得最大值.221()2cos 5544yy0y【变
6、式题组反思】1. 考查知识点：异面直线的判定、异面直线所成角；2考查的方式：高考中主要为选择和填空题。3命题的思路：通过常见几何体模型，考查空间中的异面直线所成的角，空间想象能力，推理和运算能力4题目变化方向：以常见几何体为背景，向综合性和体现能力的方向变化。如将异面直线所成角问题与函数不等式等融合，凸显了数学学科内知识间的内在即时联系，能较好的考查学生的综合知识运用能力. 2.【原题】 （必修 2 第 49 页例题 4）下列命题中正确的个数是 ( )若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l ；若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的一条与一个
7、平面平行，那么另一条也与这个平面平行；若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点A0 B1 C2 D3【解析】如右图借助长方体模型来看命题是否正确命题不正确，相交时也符合；命题不正确，如右图中， A B 与平面 DCC D平行，但它与 CD 不平行；命题不正确，另一条直线有可能在平面内，如 AB CD， AB 与平面 DCC D平行，但直线 CD 在平面 DCC D内；命题正确， l 与平面 平行，则 l 与平面 无公共点， l 与平面 内所有直线都没有公共点【原题解读】 （1）知识上：线与面平行的判定定理；（2）思路方法上；通过对判定定理中关键条件的辨析， （如“
8、无数”与“任意” ）加深对判定定理的理解。在命题真假判定中注意运用几何模型，假的可举出反例。（3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和建模思想。【变式网络】D1C1B1A1 DCBA变式 1. 【2012 四川高考】下列命题正确的是 ( )A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C变式 2.【2014 高考广东】若空间中四条直线两两不同的直线 1l. 2. 3. 4l，满足 12l， 3/l， 4l，则下
9、列结论一定正确的是( )A. 14l B. 14/l C. 1l. 4既不平行也不垂直 D. 1l. 4的位置关系不确定【答案】D【解析】如下图所示，在正方体 1ABCD中，取 1A为 2l，1B为 3l，取 为 1l， 为 4l， /；取 为 ， 为 4，则 4；取 为 ， 1为 ，则 1l与 4异面，因此 1l. 的位置关系不确定，故选 D.变式 3. 【2016 高考浙江】已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m， n 满足 , ， 则（ ）A m l B m n C n l D m n【答案】C【解析】由题意知 ,l， ,nl故选 C变式 4. 【2016 高考新课标 2】 是
10、两个平面， m是两条直线，有下列四个命题：（1）如果 ,/mn，那么 . （2）如果 ,/n，那么 mn.（3）如果 /，那么 /.（4）如果 ,/，那么 m与 所成的角和 n与 所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）【答案】【变式题组反思】1. 考查知识点：空间中点、直线与平面之间的位置关系；2考查的方式：高考中主要为选择和填空题。3命题的思路：考查认识空间点、线、面的位置关系的能力，考查准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的能力4题目变化方向：以空间中线与线，线与面、面与面平行和垂直的判定和性质为主要内容。通过不同的命题语言表达方式，考察逻
11、辑推理能力、建模思想。2.2 直线、平面平行的判断及其性质1.【原题】 （必修 2 第 59 页例题 3）如图所示的一块木料中，棱 BC 平行于面 A C.(1)要经过面 A C内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与平面 AC 是什么位置关系？【解析】(1)如图，在平面 A C内，过点 P 作直线 EF，使 EF B C，并分别交棱 A B， C D于点 E， F.连接 BE， CF. 则 EF、 BE、 CF 就是应画的线(2) 因为棱 BC 平行于平面 A C，平面 BC与平面 A C交于 B C，所以 BC B C. 由(1)知， EF B C，所以 EF B
12、C，因此； ./EFEFAA平 面 平 面平 面BE、 CF 显然都与平面 AC 相交【原题解读】 （1）知识上：线与面平行的判定定理；（2）思路方法上；通过题目中的条件和几何环境，利用线面平行的判定定理（平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行） 。（3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和转化思想。【变式网络】变式 1. 【2015 江苏高考】如图，在直三棱柱 1CBA中，已知 BC， 1，设 1AB的中点为 D， EBC11.求证：（1） AE/平 面 ； （2） 1.【答案】 （1）详见解析（2）略【解析】 （1）由题意知， 为 1C的中点，又 D为
13、 1A的中点，因此 D/A又因为 平面 1， 平面 1C， 所以 D/平面 1CA变式 2.【2015 高考山东】如图，在三棱台 EFB中,ABEGH分别为 ,AC的中点.（）求证： /D平面 F；（）若 C平面 ， ,BDE ， 45BAC ,求平面 与平面 A 所成的角（锐角）的大小.【答案】 （I）详见解析；（II）略 【解析】证明；连接 ，设 ，连接,DGCFOH在三棱台 EFAB中， 为 的中点，2,DEGAC可得 ； ,所以四边形 为平行四边形，则 为 的中点，DCGO又 为 的中点，所以； ,HBHBA又 ，OF平 面 F平 面所以 /平面 ；变式 3.【2015 新课标 2】
14、如图,长方体 中 AB=16,BC=10, ,点 E,F 分别在1ABCD18A上, 过点 E,F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.11,ABDC14.E（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由） ；（II）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.【答案】 （I）见解析（II） 或97【解析】 （I）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；交线 围成的正方形 EFGH 如图所示；（）作 EMAB，垂足为 M，则 AM=A1E=4，EB 1=12，EM=AA1=8因为 EFGH 为正方形，所以 EH=EF=BC=10，于是 ,AH=10，HB=626HE因为长方
15、体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 97变式 4.【2016 年高考四川】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ADBC， ，E 为边 AD 的中点，09ACDPB12CDA异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90. （）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；（）若二面角 P-CD-A 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值.【答案】 （）详见解析；（）.略【解析】 （1）证明；在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行，延长 AB,CD，相交与点 M ( )，平 面 PAB点 M 即为所求的一个点，理由如下；由已知
16、; ,BCEDA所以四边形 BCED 是平行四边形，所以； 从而,CDEBA，,又 ， ,所以EB平 面 PM平 面 PCM平 面（说明：延长 AP 至 点 N，使得 AP=PN，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点）【变式题组反思】1. 考查知识点：直线与平面平行的判断；2考查的方式：高考中主要为解答题第 1 问。3命题的思路：基本思路为利用线面平行的判定定理来完成证明，即由线线平行（中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行）来证明线面平行。考察空间想象力，逻辑推理能力和转化思想。4题目变化方向：题目相对稳定，但出现了新的变化如；体现应用性的问题（如画图题） ，及已知线与面平行，提供合适的点的条件，完成证明有一定的开放性。2.3 直线、平面垂直的判定和性质
