1、相等向量与共线向量自主探究1、 （1）满足什么条件的两个向量是相等向量？（2）单位向量是相等向量吗？ 2、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？小试牛刀1、以下说法错误的是（ ）A、零向量与任一非零向量共线 B、零向量与单位向量的模不相等C、共线向量方向相同 D、平行向量一定是共线向量2、 与 是单位向量，下列四个命题中正确的是： （ ）abA、 = B、若 与 共线，则 = C、 与 共线 D、 = ， = ，则有 =abababca3、下列说法正确是：（ ）A、若两个向量的起点相同、终点相同，则这两个向量相等B、若两个向量相等，则
2、这两个向量起点相同、终点相同C、若两个向量的起点不同、终点不同，则这两个向量不相等D、若两个向量不相等，则这两个向量也可以起点相同、终点相同4、在四边形 ABCD 中， ，且 ，则四边形 ABCD 是 /ABDC1|2C。5、在正三角形 ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若 =2，则 = |DE|AB。6、若向量 是非零向量，已知条件 与向量 共线；与向量 模相等，则同时满足上a aa述两个条件的向量有 个。典例剖析一、考查相等向量的概念例 1、如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量 、 、ABC相等的向量.DC解析：与向量 相等的向量有： ；AB
3、,CFOED与向量 相等的向量有： ；A与向量 相等的向量有： ；DC,B点评：两个向量只有当它们的模相等，同时方向又相同时，才能称它们是相等向量，解决问题时，注意联系几何图形的相关性质，是向量与几何图形有机的结合起来。变式：写出与向量 长度相等的向量、方向相反的向量。AF解析：与向量 长度相等的向量、方向相反的向量有： ， ， 。DCOBE二 、考查共线向量的概念例 2、如图，ABC 中，D，E，F 分别是边 BC，AB，CA 的中点，在以 A、B、C、D、E、F 为端点的有向线段中所表示的向量中，试写出与向量 共线的向量。解析：E、F 分别是 AC，AB 的中点EFBC与向量 共线的向量有
4、： 。E,BCDBEF点评： 两直线平行时，两直线上的有向线段平行，对应的向量共线；两向量共线时，表示向量的有向线段不一定在一条直线上。变式：（1）写出与向量 共线且模相等的向量。F（2）写出与向量 相等的向量ED解析：（1）F、D 分别是 AB、BC 的中点DF= AC,与向量 共线且模相等的向量的有： 。F,AEC（2）与向量 相等的向量有 。E,FB误区警示1、 忽视向量的方向致误例 1：如图所示的在圆 中，向量 ， ， 是 （ OCAO）A有相同起点的向量 B单位向量C相等的向量 D模相等的向量错解：C事实上， ， ， 是模相等的向量，方向各不相同，不是相等向量。OBA2、向量共线理解
5、有误例 2、如图，ABC 中，DEBC，则其中共线向量有 ( ）A一组 B二组 C三组 D四组错解：A（或 B）事实上， 图中共线的向量有一组是与 共线的向量，还有两组其EAB CDEF中一组与向量 共线，另一组与向量 共线，故选 C。ADAE课后练习1、下列说法正确是：（ ）A、若向量| |=| |，则 = B、若 = ，则有| |=| |ababbC、若| | |,则 D、若| | |,则 2、 下列命题正确的是 （ ）A. 若 、 都是单位向量，则 ababB. 若 = , 则 A、B、 C、D 四点构成平行四边形C. 若两向量 、 相等，则它们是始点、终点都相同的向量D. 向量 与向量
6、 是两平行向量 3、下列结论中不正确是：（ ）A、若向量 ， 共线，则向量 / BABB、若向量 / ，则向量 ， 共线CDCDC、若向量 / ，则 AB/CDD、若 AB/CD，则向量 /AB4、下列说法正确的是：（ ）A、若 ,则 与 不共线 B、若 与 不共线,则abababC、若 / ,则| |=| | D、若| |=| |,则 /5、在ABC 中,AB=AC,D、E 分别是 AB、AC 的中点,则 （ ）A. 与 共线 B. 与 共线 C. 与 相等 D. 与 相等BCAEBADB6、下列命题正确的是 （ ）A、若 与 共线，且 与 共线，则 与 共线。abcacB、两个有共同起点且
7、相等的向量，其终点可能不同。C、向量 的长度与向量 的长度相等 。 BAD、若非零向量 与 是共线向量，则 A、B、C 、D 四点共线。CD7、在四边形 ABCD 中， ，且 ，那么四边形 ABCD 是 |。8、已知 B，C 是线段 AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出 个互不相等的非零向量。9、三角形 ABC 中有一点 O，满足 ，则点 O 是三角形 ABC 的 |ABC心。10、若向量 与 是相等向量，其中 | |=3，并且 2| |=| |，则向量| |+| |= 。abacbcb11、已知平面上不共线的四点 A、B、C、D 满足 ，则以下四个命题：ABABCD
8、是平行四边形；ACBD 是平行四边形；ADBC 是平行四边形；ACDB 是平行四边形。则所有正确命题的序号是 。12、若 满足条件 ，那么当 时，,ab|ab。13、如图所示，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形， （1）试写出与向量 相等的向量， （2）若向量 确定向量 。ED|5,AB|EC14、如图所示，ABC 中，三边长AB、BC、AC均不相等，E、F、D 是 AC，AB，BC 的中点.(1)写出与 共线的向量.EF(2)写出与 的模大小相等的向量.(3)写出与 相等的向量.15、如图，已知：四边形 ABCD 中，N、M 分别是 AD、BC 的中点，又 = .ABDC求证：
9、= ，CNMA16、如图，在ABC 中，已知：向量 = , = ,求证： .ADBFEDAF参考答案自主探究的参考答案（1）相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：向量 与 相等，记作 = ；零向量与零向量相等；任意两个相等abab的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.（2）单位向量不一定是相等向量。2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.小试牛刀答案
10、1、答案 C 解析：共线向量方向相同或相反，所以 C 错。2、答案 D 解析：单位向量的模是 1，方向是不确定的，所以 A、B、C 错。3、答案 A 解析：长度相等且方向相同的向量叫相等向量，起点和终点可以相同也可以不同，但同起点同终点的向量一定是相等向量，故选 A。4、答案 梯形 解析： 由 可得 AB/CD，又因为 ，可知/BD 1|2DAB CD，所以四边形 ABCD 是梯形。5、答案 4 解析：由中位线定理知： =2 =4，又三角形是正三角形，所以 =|C|E |AB=4.|BC6、答案 2 解析：方向相同的一个，方向相反的一个，共有两个。课后练习参考答案1、答案 B 解析：模相等，方
11、向不一定相同，故 A 错；向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，所以 C、D 错。2、答案 D 解析：单位向量方向不一定相同，所以 A 错； = ,A、B 、C、D 四点有可能共线；向量 、 相等，只需满足方向相同、大小相等，与位置没有关系，故选 D。ab3、答案 C 解析：因为任一组平行向量都可以移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量，但向量的平行不代表对应的线段平行，故选 C。4、答案 B 解析：若向量不共线，则方向不可能相同，所以向量就不可能相等，故 B 正确。5、答案 B 解析： 与 方向相反是共线向量。EB6、答案 C 解析：若 时，不一定有 与 共线；两个有共同起点且相等
12、的向量，其0bac终点一定相同；非零向量 与 是共线向量，则 A、B、C、D 四点共线或构成平行四ABCD边形，故选 C。7、答案菱形解析：由 得： 且 即 AB/DC 且 AB=DC，所/|以四边形 ABCD 是平行四边形，又因为 ，所以 AB=AD，所以四边形 ABCD|是菱形。8、答案 6 解析：互不相等的向量有 共有 6 个。 ,ABCDA9、答案外心解析：由 得：点 O 到三角形各顶点的距离相等，所以点 O|O是三角形 ABC 外接圆的圆心，即外心。10、答案 解析：由题意知| |=| |=3，| |= | |= ，所以| |+| |= 。2bac12b3cb9211、答案解析：由
13、，可得 且 ；并且ADCB/ABDC与 方向相同；如右图所示，所以命题正确。ADCB12、答案 或 、 方向相同解析：根据相等向量的定义知：|0ab向量的模相等、并且方向相同时，两向量相等，所以 或 、 方向相同时，|0ab。13、解析：（1）由四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形，可知 AB/ED，且 AB=ED，AB/DC且 AB=DC，所以 = 且 = ，即与向量 相等的向量有：所以 、 .EDABCEDABDC(2)由（1）知：，故 = + =2 =10.AB14、解析：(1)E、F 分别是 AC，AB 的中点EFBC从而，与 共线的向量，包括：E， ， ， ， ， ， .B
14、DCDB(2)E、F、D 分别是 AC、AB、BC 的中点EF= BC,BD=DC= BC.21又AB、BC、AC 均不相等从而，与 的模大小相等的向量是： 、 、 、 、EFEBDCD(3)与 相等的向量，包括： 、 .FC15、证明： =ABDCAB=DC，且 ABDC.从而，四边形 ABCD 是平行四边形.ADBC，AD=BCN、M 分别是 AD、BC 的中点.AN= AD,MC= BC.21AN=MC.又 ANMC，四边形 AMCN 是平行四边形.于是得：AMNC，AM=NC.又由图可知： 与 的方向一致.CNA =M16、证明：由 = ，可知：点 D 是 AB 的中点,B又 = ，所以 DF/BE，且 DF=BE 即 DF/BC，DFEF 是 AC 的中点，DF 是三角形的中位线，即 DF= BC，12点 E 是 BC 的中点，即 DE 是三角形的中位线，DE/AC 且 DE= AC，12。DAF
