1、2015 届湘中名校 11 月联考理数试题本卷共 150 分，时量：120 分钟一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 ,则 =（ ）2y|1,y|AxBxBAA B C D(,),()2,1,1,2.下列命题是真命题的是（ )A 2bca是 的充要条件 B 1,是 ab的充分条件C 0,0xeR D若 qp为真命题，则 qp为真3.已知9，a 1，a 2，a 3，1，成等差数列，9，b 1，b 2，b 3，1 成等比数列，则 ( )132bA B C D.43434.设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
2、则 （ ）1xy(2)， 10axyaA. 2 B. C. D.125若 ax2+bx+c0 的解集为（-，-2）（4，+），则对 f（x）=ax 2+bx+c，有（ ）Af（ 5）f （2）f（ -1） Bf （2）f（5）f（-1）Cf（-1 ）f （2）f（5） Df （2）f（-1）f（5）6.已知点 ， 在第二象限，则 的一个变化区间是 （ ）cos(inP)（A） （B） （C） （D）,243,4,3,7.已知函数 ，将 图象上每一点的纵坐标保持不变 ,横坐标扩大到原)(xfy)(f来的 2 倍,然后把所得到的图象沿 轴向左平移 个单位,这样得到的曲线与x4的图象相同 , 那么
3、的解析式为（ ）xysin3)(fyA B)42()(f )2sin(3xC Dsix 4)(f8. 设 Sn 为等差数列a n的前项和， ,那么1).(1naS0*1若（ Nn当 Sn 取得最小正值时， n 等于( )A. 11 B. 17 C.19 D. 219. 的cbcbabcb 则满 足已 知 向 量 ,0)2()(,2a,a最小值为( )A. B. C. D.21-3237232710. 已知函数 f(x)= , g(x)=x2-4x-4,设 b 为实数，若存在实数1,()ln(),2xa 使 f(a)+f (b)=0，则 b 的取值范围（ ）A.-1,5 B.(-1,5) C.
4、D.),5()1,(),51,(二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11. 的值为_)310sin(12. =_0224xd13.在等比数列 中，已知前 n 项和 = ，则 的值为_nanS15a14. x，y 满足约束条件 Error!若 zy ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为_15. 已知各项均为正数的等比数列a n,若 2a4+a3-2a2-a1=8，则 2a8+a7 的最小值为_三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16. （本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别是 ，已知 .ABC, c
5、ba, 3,2C(1)若 的面积等于 ，求 ；3,(2)若 ， ，求 的面积.A2sin)sin(iab且AB17.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱中 -A BC 中，AB AC， 1ABCAB=AC=2， =4，点 D 是 BC 的中点1（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；1（2）求平面 与 所成二面角的正弦值1ACB18. （本小题满分 12 分）已知a n是单调递增的等差数列，首项 a1=3，前 n 项和为 Sn，数列bn是等比数列，首项 b1=1，且 a2b2=12，S 3+b2=20（）求a n和b n的通项公式（）令 Cn=Sncos（a n）（nN +），求c n的前
6、n 项和 Tn19. （本小题满分 13 分）在四边形 ABCD 中，| |=12，| |=5，| |=10，| |=| |，在 方向上的投影为 8；（1）求BAD 的正弦值；（2）求BCD 的面积20. （本小题满分 13 分）已知函数 22()69816fxxx（）求 的解集；4f（）设函数 ，若 对任意的 都成立，()3),gxkR()fxgxR求 的取值范围k21. （本小题满分 13 分）设函数 f(x)x 2(a2)xalnx.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数 a 的值；(3)若方程 f(x)c 有两个不相等的实数根 x1、
7、x 2，求证：f0.12x湘中名校 11 月联考理数试题答案CBDBD CDCBA11. 12. 13. -5 14. 2 或1 15. 542316.（ ）由余弦定理及已知条件得 4ab又 ，得 3 分3sin21Cab4ab联立 解得 5 分42,（）由题意得， ABAcosin4)sin()si(即 ， 又Bco2cosinSi2,0且ab9 分3,4,6,0baA的面积 12 分BC321bcS17. （1）以 为单位正交基底建立空间直角坐标系 ,1AxyzA则 , , , , , )0(A)2(B)0(C)4(1A)01(D)4,2(C,41,1D10382,cos11 BA异面直线
8、 与 所成角的余弦值为 6 分BA1DC103（2） 是平面 的的一个法向量，设平面 的法向量为 ,)0,2(1A1ADC)(zyxm， ，1)4,(1由 ， 得 ，取 ,得 ， ,ADmC02zyx2yx所以平面 的法向量为 设平面 与 所成二面角为 1 )1,(m1ADC1B, 得 324,cosAC 35sin所以平面 与 所成二面角的正弦值为 12 分1AD1B3518. 解：（）设a n的公差为 d，b n的公比为 q，则 a2b2=（3+d ）q=12 ，S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=9+3d+q=20，即 3d+q=11，变形可得 q=11-3d，代入可得：（3+d
9、）（11-d）=33+2d-3d 2=12，（3d+7）（d-3）=0，又由a n是单调递增的等差数列，有 d0 则 d=3，q=11-3d=2，an=3+（n-1）3=3n ，b n=2n-1（6 分）（） （8 分）当 n 是偶数，T n=c1+c2+c3+cn=-S1+S2-S3+S4-Sn-1+Sn= （10 分）当 n 是奇数，综上可得 （12 分）19. 解：（1 ）| |=| |，以 为邻边做平行四边形 DAEC 的对角线相等，即为矩形ADC=90，- -（1 分）在 Rt ADC 中， ， ， ， ， ，-（3 分） 在 方向上的投影为 8， ， ，-（5 分）CAB（0，），
10、sinBAD=sin（DAC+CAB）=sinDACcosCAB+sinCABcosDAC= = -（7 分）（2 ） =39， =30， sinBAD= -（11 分） S BCD=SABC +SACD -SABD = -（13 分）20.（ ） 22()69816fxxx6 分22(3)(4)|3|4|,47321,xf 即()fx|x9 或 或 43943x349x解得不等式： ；：无解 ：5x所以 的解集为 或 9 分()4f|5x4（） 即 的图象恒在()g|3|f图象的上方()3gxk图象为恒过定点 ，且斜率 变化的一条直)P(,0)k线作函数 图象如图, 其中 ， ，(,()yf
11、xg2PB(4,7)A1PAk由图可知，要使得 的图象恒在 图象的上方()x实数 的取值范围为 . 13 分k12k21. (1)解：f(x)2x(a2) (x0)221axaxx （ ） （ )( ） 当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增，函数 f(x)的单调增区间为(0，)当 a0 时，由 f(x)0，得 x ；由 f(x)0，且 f(x)的最小值 f 0，所以 a4ln 40.令 h(a)a4ln 4，显然 h(a)在(0，)上为增函2数，且 h(2)20，所以存在 a0(2，3)，h(a 0)0.386当 aa0 时，h(a)0；当 00.不妨设 00，0,2故只要证 即可，即证明 x1x 2 ，12x a21lnlx 即证明 (x 1x 2)(lnx1lnx 2)0，所以 g(t)0，当且仅当 t1 时，g(t)0，所以 g(t)在(0，)上是增函数又 g(1)0，所以当 t(0，1) ，g(t)0 总成立所以原题得证 .13 分
