1、双曲线单元测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1双曲线的焦距为（ ）A3 B4 C3 D42232 “双曲线的方程为 ”是“双曲线的准线方程为 ”的（ ）2196xy95xA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3已知双曲线 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ，则 （ ）2(0)ymx1mA1 B2 C3 D44双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜角为 的直线21xabab12F， 130交双曲线右支于 点，若 垂直于 轴，则双曲线的离心率为（ ）M2FxA B C D63235与曲线 共焦点，而与曲线 共渐近线的双曲线方程为（
2、 ）1492yx 1643yxA B C D61962yx21692yx6已知双曲线 （a0,b0）的一条渐近线为 y=kx(k0),离心率 e= ,则双曲线方程（ 2 5k）A =1 B C D2xa4y215xya214xb215xyb7如果双曲线 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 P 到 y 轴的距离是（ ）21A B C D3643626238.双曲线 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线)0,(12bayx离心率的取值范围是( )A B C D (1,22,)(1,221,)9已知双曲线 的左右焦点分别为 ， 为 的右支上一点，且 ，2:196xyC
3、12,FPC21PF则 的面积等于( )12PF 43489610连接双曲线 与 的四个顶点构成的四边形的面积为 S1，连接它们12byax2ax的的四个焦点构成的四边形的面积为 S2，则 S1：S 2 的最大值是 （ ）A2 B 1 C D 411设椭圆 C1 的离心率为 ，焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的35距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为（ ）A B C D42yx15yx1432yx32yx12 为双曲线 的右支上一点， ， 分别是圆 和P196MN2(5)4上的点，则 的最大值为（ ）2(5)xyP 789二、填空题
4、（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上）13若曲线 表示双曲线，则 的取值范围是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 21xykk14已知双曲线 的两条渐近线方程为 ，若顶点到渐近线的距离2(0,)ab3y为 1，则双曲线方程为 15过双曲线 的右顶点为 A，右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲2196xy线交于点 B，则AFB 的面积为_。16方程 所表示的曲线为 C，有下列命题：24xyt若曲线 C 为椭圆，则 ； 若曲线 C 为双曲线，则 或 ；4t 4t2曲线 C 不可能为圆； 若曲线 C 表示焦点在 上的双曲线，
5、则 。y4t以上命题正确的是 。 （填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知双曲线经过点 M（ ） ，且以直线 x= 1 为右准线6,（1）如果 F（3，0）为此双曲线的右焦点，求双曲线方程；（2）如果离心率 e=2，求双曲线方程 （12 分）18 （12 分）设双曲线 的方程为 ，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲1C21(0,)xyab线 上的任一点，引 ，AQ 与 BQ 相交于点 Q。1C,QBPA（1）求 Q 点的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹为 ， 、 的离心率分别为 、 ，当 时，
6、求 的取值范围。2C121e212e19 （12 分）如图，在以点 为圆心， 为直径的半圆 中， ， 是半圆弧上O|4ABADBOAP一点， ，曲线 是满足 为定值的动点 的轨迹，且曲线 过点 .30PBC|MMC（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 的方程；（）设过点 的直线 与曲线 相交于不同的两点 、 .Dl EF若 的面积等于 ，求直线 的方程。.OEF2l20 （12 分）双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂直Ox12l， F于 的直线分别交 于 两点已知 成等差数列，且 与 同向1l12l， ,ABAB、 、 BA（）求双曲线的离心率；（）设 被双
7、曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程21 （12 分）如图，F 为双曲线 C： 的右焦点。P 为双曲线 C 右支上一点，210,xyab且位于 轴上方，M 为左准线上一点， 为坐标原点。已知四边形 为平行四边形，xOOFM。PO（）写出双曲线 C 的离心率 与 的关系式；e（）当 时，经过焦点 F 且平行于 OP 的直线1交双曲线于 A、B 点，若 ，求此时的双曲线方2程。22 （14 分）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点，2xyFAB，点 的坐标是 C(10)，（I）证明 为常数；AB（II）若动点 满足 （其中 为坐标原点） ，求点 的轨迹方程MCABO
8、MO F xy PM第 21 题图H参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1D 解：由双曲线方程得 ，于是 ，故选。22210,1abc23,4c2A 解：“双曲线的方程为 ” “双曲线的准线方程为 ”96xy95x但是“准线方程为 ” “双曲线的方程 ”，52196xy反例： 。故选 A。218xy3D 解： 取顶点 , 一条渐近线为2 19(0),3mabm1(0)330,mxy故选。221|54.54B 解：如图在 中，12RtMFA121230,Fc，143cos0c tanc，故选 B。223a 3
9、e5A 解：由双曲线与曲线 共焦点知焦点在 轴上，可排除 B、D，与曲线1492yxy共渐近线可排除 C，故选 A。16432yx6C 解： ， 所以 ，故选 C。5ceka225bkacb24ab7A 解：由点 到双曲线右焦点 的距离是 2 知 在双曲线右支上又由双曲线的P(6,0)P第二定义知点 到双曲线右准线的距离是 ，双曲线的右准线方程是 ，P263263x故点 到 轴的距离是 选 Ay4638 （理）B 解：20 3,aexac250,e或 (舍去), 故选 B.213(,e（文） 解：200aexc201)axc2(1),ae11,2,e,而双曲线的离心率 故选.,(,1,9 解法
10、一：双曲线 中 2:96xyC3,45abc12,05,F 21PF1210PFa作 边上的高 ，则 2A8 2086 的面积为 故选 C。1PF12648PF解法二：双曲线 中 2:96xyC3,5abc12,05,F设 ， 则由 得00,Pxy， 21PF200xy又 为 的右支上一点 096xy20619 即22005161xx2058x解得 或 （舍去）00395220 14816695xy 的面积为 故选 C。12PF1204815Fy10 ， ，故选 C。212,()SabScAA1221Sabc11 解：对于椭圆 ， ，曲线 为双曲线， ，标准方程为：1C3,525,4。故选 A
11、。243xy12 解：设双曲线的两个焦点分别是 F1（5，0）与 F2（5，0） ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点 P 与 M、F 1 三点共线以及 P 与 N、F 2 三点共线时所求的值最大，此时|PM|PN| （|PF 1|2）（|PF 2|1）1019，故选 B。二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上）13 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解： 。(,)(,)()0(4)10,4kkk或14 解：如图由题设 ，2341AP3O2aA，所以双曲线方程为3b24xy15 解：双曲线的右顶点坐标 ，右焦点坐标215(3,0)
12、A，设一条渐近线方程为 ，(,0)Fyx建立方程组 ，得交点纵坐标 ，从而 。24(5)3196yx32151325AFBS16 解：若曲线 C 为椭圆，则 ，错误；40243ttt且若曲线 C 为双曲线，则 ，正确；(4)20tt或当 时曲线 C 方程为 ，表示圆，错误；3t1xy若曲线 C 表示焦点在 上的双曲线，则 ，正确。4420tt三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17解：（1）设 P（x ，y ）为所求曲线上任意一点，由双曲线定义得BPyxOAQ= 16)0()3(161)0()3(12222 MFxyxPFe 3化简整理得 63
13、2（2） abaccae 3,22又因此，不妨设双曲线方程为 ，132yx因为点 M（ ）在双曲线上，所以 ，得 ，6, 62a4212b故所求双曲线方程为 124yx18解：（1）设 0(,)(,)PQ (,)AaBBAP ， ， ，0220011yxyxaaA 201xyab20ybxa ，化简得： ，2yxb224by经检验，点 不合题意，点 Q 的轨迹方程为(,0),a 224,(0)axbya（2） 由（1）得 的方程为 ，2C241xyab，4222211abecae ， ， 。122()e219解：（）解法 1：以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴，建立平面直角坐标系，O,AB
14、Dxy则 ， ，依题意得(2,0)(,AB(0,2)3,1)DPMABP22(3)1314AB（ ） 曲线 是以原点为中心， 为焦点的双曲线.C,AB设实半轴长为 ，虚半轴长为 ，半焦距为 ，abc则 ， ，曲线 的方程为 .2c22,aC12yx解法 2：同解法 1 建立平面直角坐标系，则依题意可得 .4MABPAB曲线 是以原点为中心， 为焦点的双曲线.C,AB设双曲线的方程为 0，b0）.ayx(12则由 解得 , 曲线 C 的方程为2(3)4.ab2 .12yx()解法 1：依题意，可设直线 的方程为 ，代入双曲线 的方程并整理，lykC得 .2()60kx直线 与双曲线 相交于不同的
15、两点 ,lCEF ,3,10)1(64)(,122 ， kkk .3,设 ，则由式得 于是12()()ExyF1212246,xxkk21()y= |1|34)(1 2221212 kxxk 而原点 到直线 的距离 ,Ol2dk2222133| 1.2|1|EF kkSA若 ，即 解得 ,2OEFSA ,022|1|342 kk 2k满足.故满足条件的直线 有两条，其方程分别为 和l yx.xy解法 2：依题意，可设直线 的方程为 ,代入双曲线 C 的方程并整理，2ykx得 . 2(1)460kx直线 与双曲线 C 相交于不同的两点 ，l ,EF .310)1(64)(,22 ， kkk 3,设 ，则由式得12()()ExyF. 2121212234|1|kxk当 在同一支上时（如图 1 所示） ，,EF；1212|2OQOESSxOQxAAA当 在不同支上时（如图 2 所示） ，, 1212|(|)|.OEFQOExxAAA综上得 ，于是12|2S由 及式，得 .23|OEFkSA
