1、1.10.2 竖式谜竖式谜有时给出几个或一个数字，隐去了其他各数；有时一个数字也没有，只用“”或“”等特殊符号，把竖式的框架显示出来。这种竖式看上去像一团迷雾，扑朔迷离，简直是个没解开的谜。只有熟练算法、算理，根据已提供的点滴信息，分析、推理，顺藤摸瓜，才能使一个个隐去的数字重新出现。解加、减法的竖式谜，主要根据进位、退位情况，进行分析、判断。乘、除法，除了考虑进、退位问题，还要根据乘、除法的法则，认真推敲。一般要先将容易找出的数字填出来，这样，未知数的范围便越来越小，最终便可找出全部隐藏的数字。例 1解：加数都是两位数，从第一个加数个位是 5 与和的个位数是 9，可以推断第二个加数的个位数必
2、定是 4。即 5+？=9。从和的百位数与十位数是 18，可断定，两个加数的十位数都是 9，这样，谜便揭开了.例 2解：三个加数，只知道其中两个加数的个位分别是 7、5，而和的个位却是 8，肯定是进位造成的。从 7+5+？=8，可判断另一个加数的个位必为 6，十位上 5+7=7，可断定：加上个位进上来的 1 是 5，去掉进上来的 1 应是 4。百位上 2+=6，可知：=4，去掉进上来的 1，=3 。例 3解：这个减法算式，只告知了减数是 1，被减数、减数都不知道！全式应有八个数字，其中七个都是未知数，初看是比较难解的。但是认真分析一下减法算式各部分的数位，便可以找到突破口。被减数有四位，减去 1
3、 后，差却成了三位数，只有相减时连续退位，才会如此。那么，什么数减去 1 需要向高位借数呢？只有“0”！而最高位退 1 后成了 0，表明被减数的最高位就是“1” 。这样，就可以断定被减数是 1000。知道了被减数和减数，差就迎刃而解了！例 4解：个位上，被减数是 7，差是 6，可知减数是 1。十位上，减数是 8，差是 9，可知被减数必小于 8，借位后才使差比减数大的。那么，？-8=9，可知被减数十位上是 7。再看百位，因为被减数是四位数。相减后，成了三位数，差的百位数又是 9，从而断定，被减数的百位上是 0，千位上必定是 1 了。例 5 下面的算式，加数的数字都被墨水污染了。你能知道被污染的四
4、个数字的和吗？解：和的个位数是 9，可知加数的个位数字相加没有进位。即两个数字和是 9。和的百位与十位上的数是 18，便是两个加数十位数字的和。所以，被污染的四个数字的和是：18+9=27。例 6 下面算式中的数字都被遮盖住了，求竖式中被遮盖住的几个数字的和。解：这是一道三个三位数的加法。从和的前两位是 29，可断定三个加数的百位必须是9，因为三个 9 的和才是 27，多出的部分便是进位造成的。同理，可断定加数的三个十位数字的和，也必须是 9，多出的 2（29-27） ，是个位进位造成的。而和的个位数是 1，断定三个加数的个位数字和是 21。因此，被遮盖的数，数字和是：27+27+21=75例
5、 7解：这是个三位数与一位数相乘的算式。被乘数只知道十位数是 2，积只知道个位数是 2，乘数是 7，其余都是未知数！但是从个位的一个数与 7 相乘，积的个位数是 2，可推断被乘数的个位数只能是 6。 67=42，十位上进 4。被乘数的十位数是 2，207=140，加上进位的 4，积的十位应是 8，进位 1。从积是三位数，可断定被乘数的百位数必为1（因为若大于 1，积则为四位数了！） ，17=7，加上进上来的 1，积的百位数便是 8 了。例 8解：这是个四位数与两位数相乘的算式。从乘数的个位数 9 和部分积个位是 7，可推知被乘数的个位是 3，进 2。据此，推知被乘数的十位是 8，89=72，加
6、上进位 2，才符合积的十位数得 4 的要求。再根据积的百位数是 5，推知被乘数百位是 2，29=18，加上进位 7，得 5，进 2。继而推知被乘数千位是 5，59=45 ，加上进位 2，才可得积的千位数 7。从被乘数是 5283 和第二部分积中的 5，可以推断乘数的十位数，因为被乘数的前两位是 5、2，经过尝试，乘数的十位数只能是 3。至此，其他各数字，便容易得出了！例 9解：为了分析，我们将题中的关键位置用字母标出。算式中，只有被乘数与 2 的积是四位数，与 A、B 的积都仍是三位，从而断定 A=B=1。以此为突破口，再追寻其他。其中，部分积 D 与完全积中的 C，也很明显是 1。D 由“2
7、”得来，最大的一位数乘 2 也只能进 1。由 D=1，断定 C=1。知道 D=1， “D+E”又进位，推断 E 不是 8 必是 9。如果 E 是 8，则 F 非 6 即 7，但是 F+8=9，所以 E 不可能是 8。部分积“GH”和“E8”都是被乘数与 1 相乘得到的，所以， E=G=9，H=8。知道了 H=8，从 “8+K=2”断定 K=4。K 是被乘数与 2 相乘得到的，乘 2 后积的尾数是 4 的只有 2 或 7。再通过一些试算，算式中的数字，便一个个都推断了出来。例 10 下面的算式，没有一个已知数。只知道式内的全部数字都是质数。能把所有的数字都找出来吗？解：式中的全部数字都是质数，那
8、么组成算式的数字只能是 2、3、5、7 四个数字。从三位数乘得的积都是四位数，并且得数全部是质数，我们可以用 2、3、5、7 任组成一个三位数和一个一位数相乘，凡积也全部是质数的就记下来，不符合就舍弃，这样使范围逐步缩小。经尝试，只有 7753=2325，5555=2775，7555=3775，3257=2275 四种情况。要符合题目的条件，乘数只能是数字相同的两位数。这样也有四种情况：77533 55555 77555 32577。相乘后，不仅它们的部分积，连完全积也必须都是质数，才能符合题意。经检验后，只有下面的算式符合：例 11解：在乘法中，积的位数估算方法是：看被乘数与乘数首数相乘的积
9、：首数相乘满 10 时：积的位数=被乘数位数+乘数位数首数相乘不满 10 时：积的位数=被乘数位数+乘数位数-1本题是三位数与两位数相乘，积为四位数。可知，属首数相乘不满 10 的。由此断定，被乘数的首位是 1。再由两部分积首位相加不进位，断定被乘数的十位数也只能是 1。被乘数的个位数，则根据积是四位数，参照乘数的十位数 8，相乘后，部分积的首位不能满10，断定必是 2。这样，全式便可以列出了：例 12解：这个除式中，除了告知商中两个数字外，其余的全是未知数！初看很难。但是，当认真观察全式后，便可发现线索：除数是两位数，与商的首位相乘，其积是三位数，而与商中的 8 相乘，则积是两位数了，从而可
10、断定：商的首位是 9；除数的首位是 1；除数的个位数字，一定小于或等于 2。因为，1中个位若是 3，与 8 乘积就是三位数了；个位若是 1，与商的首位 9 乘，又不是三位数了。可知，必为 2。即除数是 12。再看商的十位数。从商 987，对照除式是落下一位不够除的，才连落两位数，这样，又可断定，十位上的商是 0。已经知道了除数和商，被除数便是：129807=117684。例 13解：首先要找出解题的突破口。从余数是 0，表明商与除数相乘得 138，即“26=138”，一个数乘 6 个位是 8 的只有 3 和 8，但是 2方框中若是 8，便不合题意，因为286138。确定了除数是 23，236=
11、138，则被除数的个位数也必是 8。再从商的十位数与除数 23 相乘得 184，即 23=184，可知商的十位数也是 8。商的百位数已知是 1，与除数 23 相乘仍是 23，从首商差的数字是 19，可推断被除数的首位数字应是 4。这样，算式便全部恢复了数字：例 14解：这是除数是三位数的除法。商的百位是 1，它与除数相乘的积个位是 5，可知除数的个位也是 5，即除数是 215，从而可知第一次相减余 55，拉下 9，得 559。被除数的千位数必是 7。再看 559 被 215 除应商几呢？从相减余下 9，可知商的百位数是 2。余 129，再拉下0，继续除。除数 215 的多少倍是 1290 呢？
12、从而又确定了商的个位数是 6。例 15解：从除数与 8 相乘的积是三位数，而除数与商的百位和个位相乘都得四位数，说明商的百位和个位都比 8 大，那就只能是 9 了！即完全商是 989。从除数乘 9 得四位数，断定除数百位是 1，否则与 8 乘也是四位数了。同理，商的十位数也必须比较小。经对照商与乘积关系，反复尝试，确定了除数是 112。这样，其他各数便不难推断了。例 16解：首先要认真观察算式特点，由易到难，顺藤摸瓜。一般都是从除数、商与被除数的关系进行推导。在除法中，余数必须小于除数，落下被除数中的一位后，仍不够除，必须在商的空位上补 0。由竖式特点，可判定商的百位数是 0。商的千位数是几呢
13、？从商的百位数是 0，可推断，被除数的首位数和第一次余数的首位数必定是 1，由此，又可推断，如果除数是 11，商的千位数是 9，如果除数是 99，商的千位数是 1。因为三位数减去两位数，余数是 1 的，只能是 10099，而从除式的末尾看，商与除数的积只有两位数，除数若是 99，那么与商的末位数 5 相乘，便是三位数了！所以，除数只能是 11。同样，根据除式的特点及已推知除数是 11，可断定，商数的十位数也是 9。这样，整个算式便可恢复原状了。909511=100045原式为：例 17解：我们知道，小数除法最后一个不完全积的右端必有若干个 0，这是它与整数除法的特殊之处。这就决定了它的商和除数的最后一位数字，必然为一个是 5，另一个是偶数，否则，它们的积，便不可能是整十、整百、整千了。从这道式的特点看，商的十分位是 0。首次商后的余数，数字在 19 之间，若不考虑小数点，补 0 后为 100900 之间。定下这个数之后，便可进一步分析除数和商的末位数了。除数是三位数与商的末位相乘得整百的数只有：1254=500，2254=900。如果除数是 125（实际是 1.25） ，则被除数是 130（实际是 1.25+0.05=1.3） 。如果除数是 225（实际是 2.25） ，则被除数是 234（实际是 2.25+0.09=2.34） 。经检验，这两种情况都符合题意。
