1、重点列表：重点 名称 重要指数重点 1 圆的方程、点与圆的位置关系 重点 2 圆与圆的位置关系 重点 3 空间直角坐标系 重点详解：重点 1：圆的方程【要点解读】1.圆的三种方程（1）圆的标准方程 .22()()xaybr（2）圆的一般方程 ( 0).0DEF24EF（3）圆的参数方程 （为参数）cosinryb2.点与圆的位置关系点 与圆 的位置关系有三种0(,)Pxy22)()(rax若 ，则0dby点 在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内.rdrPdrP【考向 1】求圆的方程【例 1】 【2017 届山西山西大学附中高三理上学期期中】抛物线 23yx与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的
2、圆的方程为（ ）A. 22()xy B. 22(1)()4xyC. 1 D. 5【答案】D【解析】抛物线23yx与坐标轴的交点为 (1,0)3,()，由圆一般方程20xEF得2 221093 30(1)()53DFExyxy选 D.【名师点睛】对求圆的方程问题，有两种思路，思路 1：待定系数法，若用到圆心或半径，则设圆的方程为标准方程，否则设为一般方程，注意应用平面几何简化计算；思路 2：几何法，即利用圆的几何性质，如弦的垂直平分线过圆心等知识求出圆心和半径，即可写出圆的方程。利用已知圆的一般方程求圆心和半径，常用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程再求圆心与半径.【考向 2】点与圆的位置关系
3、【例 2】 【2016-2017 学年山西怀仁县一中高二理上月考一】已知直线 (2)-40bxay与直线()30axby互相平行，则点 (,)ab在（ ）A圆 1上 B圆 2a上C圆 24上 D圆 8上【答案】C【名师点睛】对点与圆的位置关系问题,思路 1：几何法，先求出点与圆心的距离 ，再利用 点dr在圆外; 点 在圆上 ; 点 在圆内求解；思路 2；代数法，将点的坐标代入圆的方程左PdrPdrP边，当左边大于右边时，点在圆外；当左边小于右边时，点在园内；当左边等于右边时，点在圆上【考向 3】圆的方程中的参数范围问题【例 3】 【2016-2017 年湖北白水高级中学高二文上 】已知曲线 ：
4、 ，0 为坐标原C24xym点（1）当 为何值时，曲线 表示圆；mC（2）若曲线 与直线 交于 两点，且 ，求 的值230xyMN、 ON【答案】 （1） ；（2） .515m【解析】 （1）由题意可知： ，解得： ；2224404DEFm5m（2）设 ，由题意 ，得到 ，即： ，1,MxyNNuvg120xy联立直线方程和圆的方程： ，消去得到关于 的一元二次方程：203xy y，25130ym直线与圆有两个交点， ，即 ，即 ，224150bacm36521m又由（1） ， ，由韦达定理： ，12123,5yy又点 在直线 上，,MxN0x ，代入 式得： ，即 ，11223yy12130
5、yy12125690yy将式代入上式得到： ，解得： ，则 36905m5m【思路点睛】二元二次方程 表示圆的充要条件是 .2 0AxByCxDEyF204ABCDEF解直线与圆相交的问题主要有几何法和代数法两种，本问重点考查代数法，即把直线方程与圆的方程进行联立、消元、韦达定理，然后将题中的条件转化为坐标式，从而用坐标法解题，进行运算.重点 2：圆与圆的位置关系【要点解读】1.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2， ， 为两圆方程消去（或 ）得关于dO21y（或）一元二次方程的判别式：y判定方法图形位置关系 几何法 代数法公共点个数 公切线条数相离
6、+d2r0 且两圆心都在另一个圆外部.0 4外切 =+ 2=0 且两圆心都在另一个圆外部.1 3相交 |- | +2rd2r02 2内切 =|- |d2r=0 且小圆圆心在大圆的内部1 1内含 |- |d2r0 且小圆圆心在大圆的内部0 02.圆系方程(1)过点 , 的圆系方程是1()Axy2()B2121212()()0yxyyx,其中 是直线 的方程, 是待定1()()0abcabcAB的系数(2)过直线: 与圆 : 的交点的圆系方程是0AxByC2xyDEF, 是待定的系数2 ()xyDEF(3) 过圆 : 与圆 : 的交点的圆系方程是12110EF2C220xyEyF（ ） ，当 =-
7、1 时，方程为两圆公共弦所2 22()yxyxy1在的直线方程【考向 1】圆与圆的位置关系问题【例 1】 【2015-2016 学年重庆八中高二下阶段性检测五 】已知圆 和两点22C:31xy，若圆 上存在点 ，使得 ，则的最小值为（ ）,0,0AtBtCP09ABA4 B3 C2 D1【答案】D【名师点睛】对圆与圆的位置关系，常用几何法，将圆的位置关系问题转化为两圆心之间的距离与半径和差的大小关系问题.【考向 2】两圆的公共弦问题【例 2】 【2016-2017 学年重庆市万州二中高二文上期中 】圆 和圆21:0Oxy的公共弦长为（ ）:40OxyA. B. 4525C. D.【答案】A【名
8、师点睛】对两圆的公共弦长问题，若两圆相交，则两圆的方程相减即为公共弦所在的直线方程，再利用垂径定理进行计算.【考向 3】圆系方程应用【例 3】 【2015-2016 学年福建省莆田二十五中高一下学期第一次月考】求经过点 M（2、2）以及圆062xy与 42y交点的圆的方程_ _.【答案】 .23【解析】方法一：将 2化为一般式 ，所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的240xy方程为 ，整理得： ； 2640xyxy22(1)()640xyx此圆经过（2,-2） ，代入上述方程得 ，解得 ,(1)1所以该圆的方程为 ，即 .2230xy方法二：圆 06xy与 42y的交点为 ，因为圆心在 x 轴
9、上设所求圆的方程为42，则 ，解得 ，所求圆的方程为22xayr222233ar23174ar，化为一般式为 .23174 0xy【名师点睛】对过两圆交点的圆的方程问题，思路 1:求出两圆的交点坐标，再用再用待定系数法求解；思路 2：设成过两圆交点的圆系方程形式，利用题中条件求出参数，即可得到圆的方程.重点 3：空间直角坐标系【要点解读】1.空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系 Oxyz .(2)相关概念：点 O 叫做坐标原点， x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平
10、面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面2右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系3空间一点的坐标空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 (x，y ，z) 来表示，有序实数组(x ，y，z)叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x， y，z) 其中 x 叫点 M 的横坐标， y 叫点 M 的纵坐标，z 叫点 M 的竖坐标4 空间两点间的距离公式任意两点 P1(x1，y 1，z 1)，P 2(x2，y 2，z 2)间的距离| P1P2| .(x1 x
11、2)2 (y1 y2)2 (z1 z2)25.空间中点坐标公式：设 A(x1，y 1，z 1)，B( x2，y 2，z 2)，则 AB 中点 P .(x1 x22 ，y1 y22 ，z1 z22 )6.空间直角坐标系的画法(1)x 轴与 y 轴成 135(或 45)，x 轴与 z 轴成 135(或 45)(2)y 轴垂直于 z 轴、y 轴和 z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于 y 轴单位长的 .127.求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论8空间直角
12、坐标系中，任一点 P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：关于原点对称的点的坐标是 P1(x，y，z)；关于 x 轴(横轴)对称的点的坐标是 P2(x，y ，z) ；关于 y 轴(纵轴)对称的点的坐标是 P3(x，y ，z) ；关于 z 轴(竖轴)对称的点的坐标是 P4(x，y，z)；关于 xOy 坐标平面对称的点的坐标是 P5(x，y ，z) ；关于 yOz 坐标平面对称的点的坐标是 P6(x ，y，z) ；关于 xOz 坐标平面对称的点的坐标是 P7(x，y，z) 【考向 1】求空间点的坐标【例 1】1.如图所示，VABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E，F 分别为 BC，CD 的中点
13、已知|AB|2 ，| VO|3，建立如右所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标【解析】底面是边长为 2 的正方形，|CE | |CF| 1.O 点是坐标原点，C(1,1,0) ，同样的方法可以确定 B(1，1,0) ，A (1，1,0)，D (1,1,0)V 在 z 轴上，V(0,0,3).【名师点睛】空间中点 P 坐标的确定方法：(1)由 P 点分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交 x 轴、y 轴、z 轴于点 Px、P y、P z，这三个点在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为 x、y、z，那么点 P 的坐标就是(x，y，z)(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，
14、或点 P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题【考向 2】空间两点间距离应用【例 2】如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体ABCDA 1B1C1D1，A 1C 的中点 E 到 AB 的中点 F 的距离为( )A. a B. a222Ca D. a12【答案】B【名师点评】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定1.【2016-2017 年湖北白水高级中学高二文上 】设圆的方程是 ，若2210x
15、yay，则原点与圆的位置关系是（ ）01aA原点在圆上 B原点在圆外C原点在圆内 D不确定2.【2016-2017 学年湖北襄阳四校年高二上期中联考 】方程 20xym表示一个圆，则的范围是（ ）A 1m B 2m C 2 D 13.【2016-2017 学年广东省普宁市华侨中学高二文上第二次月考】过点 、点 且圆心在直线上的圆的方程是（ ）A BC D4.【2017 届河北邯郸市高三 9 月联考】以 为圆心，且与两条直线 与 同时(,1)a240xy260xy相切的圆的标准方程为（ ）A B22(1)()5xy22()()5xyC D 15.【2015-2016 学年湖北沙市中学高二下第六次
16、半月考 】圆 与圆20xy的公共弦长为（ ）21640xyA 5 B 6 C2 D26.【2015-2016 学年福建省福州八中高一上学期期末 】与圆 O1：x 2y 24x4y70 和圆O2：x 2y 24x10y13 0 都相切的直线条数是( ) A4 B3 C2 D1考试数学试卷（带解析）7.【2015-2016 学年安徽蚌埠高二第一学期期末 】在空间直角坐标系中，已知点 A（1，0，2） ，B(1，-3，1)，点 M 在 y 轴上，且 M 到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是( )A BC D8.【2016-2017 学年海南嘉积中学高二上月考一 】圆过点 1,2,4AB，求
17、（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线 240xy上的圆的方程9.【2015-2016 学年河北省鸡泽一中高一 3 月月考】求圆心在直线 0xy上，且过两圆21xy， 2xy80交点的圆的方程10.【2016-2017 学年河北卓越联盟高二文上月考二 】已知圆 .0)1(242 aa（1）求证：对任意实数，该圆恒过一定点；（2）若该圆与圆 外切，求的值.42yx第 1 章 答案1.【答案】B【解析】将原点坐标 代入圆的方程得： ， （因为 ） ，所以原点在圆0, 210a1a外，故选 B.2.【答案】A【解析】由圆的一般式方程可知 24m3.【答案】C【解析】设圆的方程为 22xaybr2
18、210abr22114abxyr4.【答案】A【解析】因为两条直线 与 的距离为 ，所以0xy260xy5246d所求圆的半径为 ，所以圆心 到直线 的距离为 即5r(,1)a4315a或 ，又因为圆心 到直线 的距离也为 ，所以 ，所以所求的标1a4,260xyr准方程为 ，故应选 .22()(1)xyA6.【答案】B【解析】圆 O1：x 2y 24x4y70 可变为 ，圆心为 ，半径221xy2,为 ；圆 O2：x 2y 24x 10y130 可变为 ，圆心为 ，半径为 ；1r 256,54r所以 ， ，所以两圆相切；所以与两圆都相切的直线有 3 条.故选25125rB.7.【答案】B【解
19、析】设 由 可得 故 ，故选 B 8.【答案】 （1） 2210xy；（2） 2230xy.【解析】 （1）当 AB为直径时，过 A、 B的圆的半径最小，从而周长最小，即 AB中点 0,1为圆心，半径 2r，则圆的方程为： 221xy；（2）解法 1： 的斜率为 3k，则 的垂直平分线的方程是3yx，即 0y，由 24得 2x，即圆心坐标是 3,2C，15rAC，圆的方程是 2230xy，9.【答案】 268【解析】解法一：将两圆的方程联立得方程组 210428xyyx，方程组求得两圆的交点坐标 A（4，0） ，B（0，2） 因所求圆心在直线 上，故设所求圆心坐标为 (,)x，则它到上面的两上
20、交点（4，0）和（0，2）的距离相等，故有 222(4)()x，即 1x， 3x， yx，从而圆心坐标是（3，3） 又 2()10r， 故所求圆的方程为 22(3)()10xy解法二：同解法一求得两交点坐标 A（4，0） ，B（0，2） ，弦 AB 的中垂线为 30xy，它与直线 xy交点（3，3）就是圆心，又半径 r，故所求圆的方程为 22()()1y解法三：设所求圆的方程为 204(8)0xyxy(1)，即 2(1)(5)8(3)1xy可知圆心坐标为 15,因圆心在直线 0上，所以 0，解得 2将 2代入所设方程并化简，求圆的方程 2680xy10.【答案】 （1）详见解析（2） 51【解析】(1)将圆的方程整理为(x 2y 220)a(4x2y 20)0，3 分
