1、2.3.1 抛物线的定义和标准方程抛物线的定义和标准方程抛物线的定义和标准方程教学目标：教学目标：教学目标：根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下：1、 知识目标：理解抛物线 抛物线抛物线 的定义；明确焦点、准线 准线准线 的概念；了解用抛物线的 抛物线的抛物线的 定义推导开口向右的抛物线的标准方程的推导过程进一步得出开口向左、向上、 开口向右的抛物线的标准方程的推导过程进一步得出开口向左、向上、开口向右的抛物线的标准方程的推导过程进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程，并熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的向下的抛物线的标准方程，并熟练掌握抛
2、物线的四种标准方程及其所对应的向下的抛物线的标准方程，并熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；2、能力目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力，同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点；3 情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。教学重点和难点：教学重点和难点：教学重点和难点：重点重点重点 ：抛物线的定义；根据具体
3、条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。准方程求出焦点坐标、准线方程。准方程求出焦点坐标、准线方程。难点难点难点 ：抛物线的标准方程的推导。：抛物线的标准方程的推导。：抛物线的标准方程的推导。关键：创设具体的抛物线 抛物线抛物线 的直观情景，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。教学方法启发、探索教学手段运用多媒体和实物辅助教学教具准备三角板教学过程教学过程教学过程 ：一、新课引入：一、新课引入：一、新课引入
4、：1、实例引入、实例引入、实例引入 ： 观察生活中的几个实例（观察生活中的几个实例（观察生活中的几个实例（ 1）截面图；（）截面图；（）截面图；（ 2）卫星接收天线）卫星接收天线）卫星接收天线（观察其轴截面）；（观察其轴截面）；（观察其轴截面）；（ 3）太阳灶（观察其轴截面）；（）太阳灶（观察其轴截面）；（）太阳灶（观察其轴截面）；（ 4）探照灯（观）探照灯（观）探照灯（观察其轴截面）；（察其轴截面）；（察其轴截面）；（ 5）投球时球的运行轨迹（播放动画演示其轨迹）投球时球的运行轨迹（播放动画演示其轨迹）投球时球的运行轨迹（播放动画演示其轨迹）2、复习引入、复习引入、复习引入 ： 在平面内到一
5、定点的距离和到一条定直线距离的比是常数在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数 e 的点的轨迹，的点的轨迹，的点的轨迹，当当当 0e0e 1 时是什么图形？（双曲线）时是什么图形？（双曲线）时是什么图形？（双曲线）当当当 e = 1 时它又是什么图形呢？（让学生大胆猜想，猜想后用几何画板演时它又是什么图形呢？（让学生大胆猜想，猜想后用几何画板演时它又是什么图形呢？（让学生大胆猜想，猜想后用几何画板演示动画，让学生认真观察动点所满足的条件，让学生对抛物线由感性认识上示动画，让学生认真观察动点所满足的条件，让学生对抛物线由感性认识上示动画
6、，让学生认真观察动点所满足的条件，让学生对抛物线由感性认识上升到理性认识）升到理性认识）升到理性认识）教师指出：画出的曲线叫抛物线。教师指出：画出的曲线叫抛物线。教师指出：画出的曲线叫抛物线。（ 类比类比类比 ：使学生看到曲线上任一点到定点和到定直线的距离之比等于常数：使学生看到曲线上任一点到定点和到定直线的距离之比等于常数：使学生看到曲线上任一点到定点和到定直线的距离之比等于常数是圆锥曲线的一个共同的本质属性，明确抛物线与椭圆、双曲线之间的联系）是圆锥曲线的一个共同的本质属性，明确抛物线与椭圆、双曲线之间的联系）是圆锥曲线的一个共同的本质属性，明确抛物线与椭圆、双曲线之间的联系）二、新课讲授
7、：二、新课讲授：二、新课讲授：（一）（一）（一） 定义：定义：定义： （提问学生，由学生归纳出抛物线定义）（提问学生，由学生归纳出抛物线定义）（提问学生，由学生归纳出抛物线定义）平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。概念理解：概念理解：概念理解：平面内有平面内有平面内有 (1) 一一一 定
8、点定点定点 F焦点焦点焦点(2) 一条不过一条不过一条不过 此点此点此点 （给出的定点）的（给出的定点）的（给出的定点）的 定直线定直线定直线 l 准线准线准线探究：若定点探究：若定点探究：若定点 F 在定直线在定直线在定直线 l 上，那么动点的轨迹是什么图形？上，那么动点的轨迹是什么图形？上，那么动点的轨迹是什么图形？（是过（是过（是过 F 点与直线点与直线点与直线 l 垂直的一条直线垂直的一条直线垂直的一条直线 直线直线直线 MF，不是抛物线），不是抛物线），不是抛物线）(3) 动点到定点的距离动点到定点的距离动点到定点的距离 |MF|(4) 动点到定直线的距离动点到定直线的距离动点到定直
9、线的距离 d(5) | MF| = d满足以上条件的动点满足以上条件的动点满足以上条件的动点 M 的轨迹的轨迹的轨迹 抛物线抛物线抛物线（二）推导抛物线的标准方程（开口向右）（重点）（二）推导抛物线的标准方程（开口向右）（重点）（二）推导抛物线的标准方程（开口向右）（重点） ：、 要把抛物线上的点的集合要把抛物线上的点的集合要把抛物线上的点的集合 P=M| |MF|=d表示为集合表示为集合表示为集合 (x,y)|f(x,y)=0。首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，应。首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，应。首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，应如何选择坐标系？如
10、何选择坐标系？如何选择坐标系？教师引导建立适当的直角坐标系应遵循的两点原则：教师引导建立适当的直角坐标系应遵循的两点原则：教师引导建立适当的直角坐标系应遵循的两点原则： 若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴； 曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点。曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点。曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点。过焦点过焦点过焦点 F 作准线作准线作准线 l 的垂线交的垂线交的垂线交 l 于点于点于点 K，启发学生思考回答问题：，启发学生思考回答问题：，启发学生思考回答问题：（ 1）如何确定
11、）如何确定）如何确定 x 轴（或轴（或轴（或 y 轴）？轴）？轴）？（以对称轴为坐标轴）（以对称轴为坐标轴）（以对称轴为坐标轴）由抛物线的几何特征知由抛物线的几何特征知由抛物线的几何特征知 KF 是抛物线的对称轴。是抛物线的对称轴。是抛物线的对称轴。（ 2）如何确定坐标原点？）如何确定坐标原点？）如何确定坐标原点？（曲线上的特殊点，可作为坐标系的原点）（曲线上的特殊点，可作为坐标系的原点）（曲线上的特殊点，可作为坐标系的原点）因为线段因为线段因为线段 KF 的中点适合条件的中点适合条件的中点适合条件 到点到点到点 F 的距离等于到直线的距离等于到直线的距离等于到直线 l 的的的距离，所以它又在
12、抛物线上距离，所以它又在抛物线上距离，所以它又在抛物线上 以线段以线段以线段 KF 的中点为坐标原点。的中点为坐标原点。的中点为坐标原点。（ 3）怎样建立坐标系才使方程的推导简化？）怎样建立坐标系才使方程的推导简化？）怎样建立坐标系才使方程的推导简化？教师引导通过不同位置的二次函数解析式的对比，联想抛物线如何教师引导通过不同位置的二次函数解析式的对比，联想抛物线如何教师引导通过不同位置的二次函数解析式的对比，联想抛物线如何建系。建系。建系。让学生大胆发言，谈谈自己的观点（教师要积极鼓励学生引导学让学生大胆发言，谈谈自己的观点（教师要积极鼓励学生引导学让学生大胆发言，谈谈自己的观点（教师要积极鼓
13、励学生引导学生）生）生）取经过焦点取经过焦点取经过焦点 F 且垂直于准线且垂直于准线且垂直于准线 l 的直线为的直线为的直线为 x 轴，轴，轴， x 轴与轴与轴与 l 相交于相交于相交于点点点 K，以线段的垂直平分线为，以线段的垂直平分线为，以线段的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系。轴，建立直角坐标系。轴，建立直角坐标系。、开口向右的抛物线标准方程的推导：（教师引导得出结论）、开口向右的抛物线标准方程的推导：（教师引导得出结论）、开口向右的抛物线标准方程的推导：（教师引导得出结论）步骤步骤步骤 :（投影展示）（投影展示）（投影展示）过焦点过焦点过焦点 F 且垂直于准线且垂直于准线且垂直于准
14、线 l 的直线为的直线为的直线为 x 轴，轴，轴， x 轴与直线轴与直线轴与直线 l 相交于点相交于点相交于点K，以线段的垂直平分线为，以线段的垂直平分线为，以线段的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系。轴，建立直角坐标系。轴，建立直角坐标系。设焦点到准线的距离设焦点到准线的距离设焦点到准线的距离 = p（ p0）那么，焦点的坐标为）那么，焦点的坐标为）那么，焦点的坐标为（ p / 2,0） ,准线准线准线 l 的方程为的方程为的方程为 x = - p / 2. 设抛物线上的任一点设抛物线上的任一点设抛物线上的任一点 （ x,y），点到直线），点到直线），点到直线 l 的距离为的距离为的距离为
15、 d 根据根据根据定义，抛物线就是点的集合定义，抛物线就是点的集合定义，抛物线就是点的集合P=M| |MF|=d因为因为因为 ， ，所以，所以，所以2ypxMFpxd222xyx将上式两边平方并化简，得将上式两边平方并化简，得将上式两边平方并化简，得（ 1）)0(2pxy方程（）的推导过程表明，抛物线上的点的坐标都是这个方程式方程（）的推导过程表明，抛物线上的点的坐标都是这个方程式方程（）的推导过程表明，抛物线上的点的坐标都是这个方程式的解。还可以证明，以方程（）的解为坐标的点都在此抛物线上。我的解。还可以证明，以方程（）的解为坐标的点都在此抛物线上。我的解。还可以证明，以方程（）的解为坐标的
16、点都在此抛物线上。我们把方程们把方程们把方程 叫做抛物线的标准方程。叫做抛物线的标准方程。叫做抛物线的标准方程。)0(2pxy、（引导分析）标准方程、（引导分析）标准方程、（引导分析）标准方程 y22 = 2px (p0)的特点：（用代数方法的特点：（用代数方法的特点：（用代数方法 几何问题）几何问题）几何问题）p 的几何意义：焦点到准线的距离的几何意义：焦点到准线的距离的几何意义：焦点到准线的距离焦焦焦 点：（点：（点：（ p/2 ,0）在）在）在 x 轴的正半轴上轴的正半轴上轴的正半轴上准准准 线：线：线： x = - p/2顶顶顶 点：坐标原点（，）点：坐标原点（，）点：坐标原点（，）开
17、口方向：向右开口方向：向右开口方向：向右4、让同学们类比写出、让同学们类比写出、让同学们类比写出 不同位置的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方不同位置的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方不同位置的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程程程5、让学生对这抛物线和它们的标准方程进行对比分析，辨认异同：、让学生对这抛物线和它们的标准方程进行对比分析，辨认异同：、让学生对这抛物线和它们的标准方程进行对比分析，辨认异同：相同点：相同点：相同点：、原点在抛物线上；、原点在抛物线上；、原点在抛物线上；、对称轴为坐标轴；、对称轴为坐标轴；、对称轴为坐标轴；、 p 值的意义：值的意义：值的意义： （重点）（重点）
18、（重点）（）表示焦点到准线的距离；（）表示焦点到准线的距离；（）表示焦点到准线的距离；（）（）（） p0 为常数为常数为常数 ;（）（）（） p 值等于一次项系数绝对值的一半；值等于一次项系数绝对值的一半；值等于一次项系数绝对值的一半；、准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于、准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于、准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的，即一次项系数的绝对值的，即一次项系数的绝对值的，即 2p/4=p/2.不同点：不同点：不同点：方程方程方程 对称轴对称轴对称轴 开口方向开口方向开口方
19、向 焦点位置焦点位置焦点位置X22=2py (p0) x 轴轴轴 向右向右向右 X 轴正半轴上轴正半轴上轴正半轴上X22= -2py (p0) x 轴轴轴 向左向左向左 X 轴负半轴上轴负半轴上轴负半轴上Y22=2px (p0) y 轴轴轴 向上向上向上 Y 轴正半轴上轴正半轴上轴正半轴上Y22= -2px (p0) y 轴轴轴 向下向下向下 Y 轴负半轴上轴负半轴上轴负半轴上三、例题讲解：三、例题讲解：三、例题讲解：例例例 1.(1)已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是 y22 =6x,求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程
20、；(2)已知抛物线的焦点是已知抛物线的焦点是已知抛物线的焦点是 F(0,-2),求它的标准方程求它的标准方程求它的标准方程（解题过程教师要板书，注意版面条理，简洁，做好起到示范作用）（解题过程教师要板书，注意版面条理，简洁，做好起到示范作用）（解题过程教师要板书，注意版面条理，简洁，做好起到示范作用）解：（解：（解：（ 1） p 3，所以抛物线的焦点坐标是（，所以抛物线的焦点坐标是（，所以抛物线的焦点坐标是（ 3/2， 0），准线方程是），准线方程是），准线方程是 x 3/2（ 2）因为抛物线的焦点在轴的负半轴上）因为抛物线的焦点在轴的负半轴上）因为抛物线的焦点在轴的负半轴上 ,且且且 ，4,
21、2p所以抛物线的标准方程是所以抛物线的标准方程是所以抛物线的标准方程是 yx82例例例 2求分别满足下列条件的抛物线的标准方程：求分别满足下列条件的抛物线的标准方程：求分别满足下列条件的抛物线的标准方程：（ 1）焦点坐标是）焦点坐标是）焦点坐标是 F（ 5， 0）（ 2）经过点）经过点）经过点 A（ 2， 3）解解解 ：（：（：（ 1）焦点在）焦点在）焦点在 x 轴负半轴上，轴负半轴上，轴负半轴上， 5，所以所求抛物线，所以所求抛物线，所以所求抛物线的标准议程是的标准议程是的标准议程是 y20（ 2）经过点）经过点）经过点 A（ 2， 3）的抛物线可能有两种标准形式：）的抛物线可能有两种标准形
22、式：）的抛物线可能有两种标准形式： pyxy,2点点点 A（ 2， 3）坐标代入，即）坐标代入，即）坐标代入，即 9 4p，得，得，得 2p 9点点点 A（ 2， 3）坐标代入）坐标代入）坐标代入 x2 2py，即，即，即 4 6p，得，得，得 2p 34 所求抛物线的标准方程是所求抛物线的标准方程是所求抛物线的标准方程是 y2 x 或或或 x2 y。39四、课堂练习四、课堂练习四、课堂练习 ：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（投影展示）、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（投影展示）、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（投影展示）（ 1）焦点是）焦点是）焦点是 F（ 3， 0）；
23、）；）；（ 2）准线方程）准线方程）准线方程 是是是 x = ；41（ 3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是 2。2、根据下列抛物线的焦点坐标和标准方程、准线方程：（投影展示）、根据下列抛物线的焦点坐标和标准方程、准线方程：（投影展示）、根据下列抛物线的焦点坐标和标准方程、准线方程：（投影展示）（ 1） y 22=20x (2)x 22=1/2y (3) 2y 22+5x=0 (4) x 22+8y=0向学生指出，本题是求抛物线的标准方程，向学生指出，本题是求抛物线的标准方程，向学生指出，本题是求抛物线的标准方程， 所求抛物线的顶点在原点，对称轴是所求抛物线的顶点在原
24、点，对称轴是所求抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴坐标轴坐标轴总结：总结：总结： 要确定抛物线的标准方程，关键在于确定要确定抛物线的标准方程，关键在于确定要确定抛物线的标准方程，关键在于确定 p 值及抛物线开口方值及抛物线开口方值及抛物线开口方向；反之亦然。向；反之亦然。向；反之亦然。五、课堂小结五、课堂小结五、课堂小结 ： （提学生归纳总结）（提学生归纳总结）（提学生归纳总结）1椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系及其区别；椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系及其区别；椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系及其区别；2会运用抛物线的定义、标准方程求它的焦点坐标、准线方程；会运用抛物线的定义、标准方程求它的
25、焦点坐标、准线方程；会运用抛物线的定义、标准方程求它的焦点坐标、准线方程；3注重类比及数形结合的思想。注重类比及数形结合的思想。注重类比及数形结合的思想。六、作业布置：六、作业布置：六、作业布置：课本课本课本 P64 1、 2板书设计教学后记抛物线及其标准方程这一节的教学设计，引导学生从感性认识进一步上升抛物线及其标准方程这一节的教学设计，引导学生从感性认识进一步上升抛物线及其标准方程这一节的教学设计，引导学生从感性认识进一步上升到理性认识，对比椭圆、双曲线、抛物线的区别与联系，最重要的是引导学生到理性认识，对比椭圆、双曲线、抛物线的区别与联系，最重要的是引导学生到理性认识，对比椭圆、双曲线、抛物线的区别与联系，最重要的是引导学生类比开口向右、向左、向上、向下四种抛物线的标准方程、图形焦点坐标，准类比开口向右、向左、向上、向下四种抛物线的标准方程、图形焦点坐标，准类比开口向右、向左、向上、向下四种抛物线的标准方程、图形焦点坐标，准线方程，引导学生运用类比和数形结合的思想解决数学问题，对学生进行辩证线方程，引导学生运用类比和数形结合的思想解决数学问题，对学生进行辩证线方程，引导学生运用类比和数形结合的思想解决数学问题，对学生进行辩证唯物主义教育和数学美育教育。唯物主义教育和数学美育教育。唯物主义教育和数学美育教育。2.3.1知识讲解 例 1 例 2 学生练习解法一 解法二
