1、导数在研究函数中的应用 单元测试一、选择题1下列函数在 内为单调函数的是（ ）()， 2yxyx esin答案：2函数 在区间 上是（ ）lnyx(01)，单调增函数单调减函数在 上是单调减函数，在 上是单调增函数10e， 1e，在 上是单调增函数，在 上是单调减函数答案：3函数 的极大值点是（ ）23()(1fxx 451x2x答案：4已知函数 的图象与 轴相切于 极大值为 ，极小值为（ ）32()fxpqxx(10)，427极大值为 ，极小值为 047极大值为 0，极小值为 427极大值为 0，极小值为 5极大值为 ，极小值为 0527答案：5函数 在 上取最大值时， 的值为（ ）2cos
2、yx02，x0 632答案：6设函数 在定义域内可导， 的图象如图 1 所示，则导函()fx()yfx数 的图象可能为（ ）yf答案：二、填空题7函数 的单调增区间为 2ln(0)yx答案： 12，8函数 的极值点为 ， ，则 ， 2()ln3fxabx1x2ab答案： 12，9函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 42()5fx， a答案：410函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 32()5fxax()， a答案： 13，11函数 在 上的值域为 543()1fxx2，答案： 102，12在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图 2
3、 所示当 为 时，正三棱x柱的体积最大，最大值是 答案：3654a，三、解答题13已知 ，证明不等式 0xln(1)x证明：原不等式等价于证明 l()0设 ，则 ()ln(1)fxx1)xf， 0 0f在 上是单调增函数()fx ()，又 ，ln1即 ，亦即 ()0f l()0xln(1)x14已知函数 在 处有极小值 ，试求 的值，并求出 的32()fxabxab，()fx单调区间解：由已知，可得 ，(1)321fab又 ， 2()36fxax， 10fb由，解得 132a故函数的解析式为 ()fxx由此得 ，根据二次函数的性质，当 或 时， ；2()1fx13x()0fx当 ， 130f因
4、此函数的单调增区间为 和 ，函数的单调减区间为 3， (1)， 13，15已知某工厂生产 件产品的成本为 （元） ，问：（1）要使平均x 225040Cx成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：（1）设平均成本为 元，则 ，y2125050440xxx，令 得 25014yx01x当在 附近左侧时 ；y在 附近右侧时 ，故当 时， 取极小值，而函数只有一个点使 ，10x010xy 0y故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产 1000 件产品（2）利润函数为 ， ，2252350404xSxxx302xS令 ，得 ，当在 附近左侧时 ；在 附近右侧时 ，故0S60x6S6当 时， 取极大值，而函数只有一个点使 ，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产 6000 件产品
