1、反函数定义一般地，设函数 y=f(x)(xA)的值域是 C，若找得到一个函数 g(y)在每一处 g(y)都等于x，这样的函数 x= g(y)(yC)叫做函数 y=f(x)(xA)的反函数，记作 y=f -1 (x) 。反函数 y=f -1 (x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域。 （不求过深理解）引申一般地，如果 x 与 y 关于某种对应关系 f（x）相对应，y=f（x） ，则 y=f（x）的反函数为 y=f -1(x)。存在反函数(默认为单值函数）的条件是 原函数 必须是一一对应的（不一定是整个数域内的） 。注意：上标“1“指的并不是幂。在微积分里，f (n)(x)是用来
2、指 f 的 n 次微分的。若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible） 。性质（1）函数 f（x）与它的反函数 f-1（x）图象关于直线 y=x 对称；图 1 函数及其反函数的图形关于直线 y=x 对称（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数 y=f(x)，定义域是0 且 f(x)=C （其中 C是常数） ，则函数 f(x)是偶函数 且有 反函数，其反函数的定义域是 C, 值域为0 ） 。奇函数不一定存在反函数，被与 y 轴垂直的直线截时能过 2 个及以上点即没有反函
3、数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。（5）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；（6）反函数是相互的且具有唯一性；（7）定义域、值域相反，对应法则互逆（三反） ；（8）原函数一旦确定，反函数即确定（三定） （在有反函数的情况下，即满足（2） ） ；（9）反函数的导数关系：如果 x=f(y）在区间 I 上单调，可导，且 f（y)0，那么它的反函数 y=f（x)在区间 S=x|x=f(y),y 属于 I 内也可导，且 f（x)=1f（x）。（10）y=x 的反函数是它本身。说明在函数 x=f -1(y)中，y 是自变量，x 是函数，但习惯上，我们一般用 x 表示自变量，用
4、y 表示函数，为此我们常常对调函数 x=f -1(y)中的字母 x,y，把它改写成 y=f -1(x)，今后凡无特别说明，函数 y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数；若函数 y=f(x)有反函数 y=f -1(x)，那么函数 y=f -1(x)的反函数就是 y=f(x)，这就是说，函数 y=f(x)与 y=f -1(x)互为反函数。互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数，如二次函数在 R 内不是反函数，但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函数。
5、从映射的定义可知，函数 y=f(x)是定义域 A 到值域 C 的映射，而它的反函数 y=f -1(x)是集合 C 到集合 A 的映射，因此，函数 y=f(x)的定义域正好是它的反函数 y=f -1(x)的值域；函数 y=f(x)的值域正好是它的反函数 y=f -1(x)的定义域（如下表）：函数：y=f(x)；反函数：y=f -1(x)；定义域： A 、C；值域： C、 A；上述定义用“逆” 映射概念可叙述为：若确定函数 y=f(x)的映射 f 是函数的定义域到值域上的 “一一映射”，那么由 f 的“逆”映射 f -1 所确定的函数 y=f -1(x)就叫做函数 y=f(x)的反函数。 反函数
6、y=f -1(x)的定义域、值域分别对应原函数 y=f(x)的值域 、定义域 。开始的两个例子： s=vt 记为 f(t)=vt,则它的反函数就可以写为 f -1(t)=s/v，同样 y=2x+6 记为 f(x)=2x+6，则它的反函数为： f -1(x)=x/2-3。有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将 x 进行分类讨论：在 x 大于 0时的情况，x 小于 0 的情况，多是要注意的。例题求 y=(x-2)/(2x-1)的反函数解：去分母得 2xy-y=x-2移项合并含有 x 项得 x(2y-1)=y-2x=(y-2)/(2y-1)即 f -1(x)=(x-2)/(2x-1)
