1、- 1 -菱 形一、1.菱形和矩形一定都具有的性质是( )A.对角线相等 B.对角线互相平分C.对角线互相垂直 D.每条对角线平分一组对角2.下列条件能判定四边形是菱形的是( )A.对角线相等的四边形 B.对角线互相垂直的四边形C.对角线互相垂直平分的四边形 D.对角线相等且互相垂直的四边形3.菱形的两条对角线长分别为 6 cm、8 cm,则它的面积为( )A.6 cm2 B.12 cm2 C.24 cm2 D.48 cm24.如图,在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，则（1）AB=AD=_=_，即菱形的_相等.（2）图中的等腰三角形有_，直角三角形有_，AOD_，由此可以
2、得出菱形的对角线_，每一条对角线_.（3）菱形是轴对称图形，它的对称轴是_.二 1.如图,已知菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,OEDC,交 BC 于点 E,AD=6 cm,则 OE 的长为( )A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm2.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是( )A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形3.用两个边长为 a 的等边三角形纸片拼成的四边形是( )A.等腰梯形 B.正方形 C.矩形 D.菱形4.菱形的一个内角是 120，一条较短的对角线的长为 10，则菱形的周长是_.- 2 -5.如图所示,在菱形 ABCD 中,AC、BD 相交
3、于 O,且 ACBD=1 ,若 AB=2.求菱形3ABCD 的面积.6.如图,在 Rt ABC 中，ACB=90 ，BAC=60，DE 垂直平分 BC，垂足为 D，交 AB于点 E.又点 F 在 DE 的延长线上，且 AF=CE.求证：四边形 ACEF 是菱形.7.如图,在一张长 12 cm、宽 5 cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形 EFGH（见方案一） ，张丰同学按照沿矩形的对角线 AC 折出- 3 -CAE=DAC，ACF=ACB 的方法得到菱形 AECF（见方案二） ，请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？三、课后巩固
4、(30 分钟训练)1.下列结论正确的是( )A.邻角相等的四边形是菱形 B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.菱形的周长为 32 cm,一个角的度数是 60,则两条对角线的长分别是 ( )A.8 cm 和 cm B.4 cm 和 cm C.8 cm 和 cm D.4 cm 和 cm343838343.在平面上,一个菱形绕它的中心旋转,使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是( )A.90 B.180 C.270 D.3604.在菱形 ABCD 中,AEBC,AF CD,垂足为 E、F,且 BE=EC,CF=FD,则AEF 等
5、于( )A.120 B.45 C.60 D.1505.如图,在菱形 ABCD 中,ABC=60,AC=4,BD 的长为( )A. B. C. D.83834326.如图,在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，请添加一个条件，使四边形 EFGH 为菱形，并说明理由.- 4 -7.如图,已知过平行四边形 ABCD 的对角线交点 O 作互相垂直的两条直线 EG、FH 与平行四边形 ABCD 各边分别相交于点 E、F、G、H. 求证：四边形 EFGH 是菱形.8.北京 101 中学的学生为迎接 2008 年奥运会,美化校园,在周长为 12 m,夹角为 60的菱
6、形花坛里栽十株花.试证明:不论如何安排 ,至少有两株花的距离小于 m.3- 5 -9.如图,已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于 E、F.求证:四边形 AFCE 是菱形.参考答案一、课前预习 (5 分钟训练)1.菱形和矩形一定都具有的性质是( )A.对角线相等 B.对角线互相平分C.对角线互相垂直 D.每条对角线平分一组对角答案：B2.下列条件能判定四边形是菱形的是( )A.对角线相等的四边形 B.对角线互相垂直的四边形C.对角线互相垂直平分的四边形 D.对角线相等且互相垂直的四边形答案：C3.菱形的两条对角线长分别为 6 cm、8 cm,则它的面
7、积为( )- 6 -A.6 cm2 B.12 cm2 C.24 cm2 D.48 cm2解析：S 菱形 = 68=24(cm2).1答案:C4.如图,在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，则（1）AB=AD=_=_，即菱形的_相等.（2）图中的等腰三角形有_，直角三角形有_，AOD_，由此可以得出菱形的对角线_，每一条对角线_.（3）菱形是轴对称图形，它的对称轴是_.答案:（1）BC CD 四条边（2）ABD、ABC、ADC 、BCD AOB、BOC、COD、DOA AOB COB COD 垂直平分 平分一组对角（3）对角线所在的直线二、课中强化(10 分钟训练)1.如图,已
8、知菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,OEDC,交 BC 于点 E,AD=6 cm,则 OE 的长为( )A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm解析：OE 是 RtBOC 的斜边 BC 上的中线,故 OE= BC= AD=3 cm.21答案:C2.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是( )A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形解析：连结矩形的两条对角线，则相邻两边中点的连线是三角形的中位线.由三角形的中位线等于第三边的一半及矩形两条对角线相等可得中点四边形的各边都相等，故顺- 7 -次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形.答案:C3.用两个边长为 a 的等边
9、三角形纸片拼成的四边形是( )A.等腰梯形 B.正方形 C.矩形 D.菱形解析：因为等边三角形的三条边都相等，所以用它拼成的四边形的四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱形，因此选 D.答案:D4.菱形的一个内角是 120，一条较短的对角线的长为 10，则菱形的周长是_.解析：由菱形的邻角互补，可知菱形的另一组内角是 60，60内角所对的对角线是较短的.根据有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形可推出菱形边长是 10，因此菱形周长是 40.答案:405.如图所示,在菱形 ABCD 中,AC、BD 相交于 O,且 ACBD=1 ,若 AB=2.求菱形3ABCD 的面积.解：菱形两对角线将其分
10、割为四个全等的直角三角形.设 AO=x,因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AO=CO,BO=DO,ACBD.又因为 ACBD=1 ,所以 AOBO=1 ,BO= .33x在 Rt ABO 中,因为 AB2=BO2+AO2,所以 AB2=( )2+x2=22.所以 x=1.所以 AO=1,BO= .所以 AC=2,BD= .所以菱形的面积为 2 = .2136.如图,在 Rt ABC 中，ACB=90 ，BAC=60，DE 垂直平分 BC，垂足为 D，交 AB于点 E.又点 F 在 DE 的延长线上，且 AF=CE.求证：四边形 ACEF 是菱形.- 8 -答案:证明：ACB=90，DE 是
11、BC 的中垂线，E 为 AB 边的中点.CE=AE=BE.BAC=60，ACE 为正三角形.在AEF 中，AEF= DEB=BAC=60 ，而 AF=CE，又 CE=AE,AE=AF.AEF 也为正三角形.CAE=AEF=60.AC EF.四边形 ACEF 为平行四边形.又 CE=AC，平行四边形 ACEF 为菱形.7.如图,在一张长 12 cm、宽 5 cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形 EFGH（见方案一） ，张丰同学按照沿矩形的对角线 AC 折出CAE=DAC，ACF=ACB 的方法得到菱形 AECF（见方案二） ，请你通过计算，比较李颖同学和张
12、丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？解：（方案一）S 菱形 =S 矩形 -4SAEH =125-4 6 =30（cm 2）.215（方案二）设 BE=x，则 CE=12-x,AE= .225xABE因为四边形 AECF 是菱形，则 AE2=CE2,25+x 2=(12-x)2.- 9 -x= .2419S 菱形 =S 矩形 -2SABE =125-2 5 35.21(cm2).2149经比较可知，(方案二)张丰同学所折的菱形面积较大.三、课后巩固(30 分钟训练)1.下列结论正确的是( )A.邻角相等的四边形是菱形 B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相
13、垂直平分的四边形是菱形解析：根据菱形的判定定理:对角线互相垂直平分的四边形是菱形.答案:D2.菱形的周长为 32 cm,一个角的度数是 60,则两条对角线的长分别是 ( )A.8 cm 和 cm B.4 cm 和 cm C.8 cm 和 cm D.4 cm 和 cm34383834解析：因菱形四边相等,所以每边都为 8,其对角线平分一组对角,根据一个角是 60,可求得.答案:C3.在平面上,一个菱形绕它的中心旋转,使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是( )A.90 B.180 C.270 D.360解析：由菱形为中心对称图形可知 B 正确.答案:B4.在菱形 ABCD 中,AEBC,AF
14、 CD,垂足为 E、F,且 BE=EC,CF=FD,则AEF 等于( )A.120 B.45 C.60 D.150解析：因为 AE 垂直平分 BC,所以 AB=AC.又因为 AB=BC,所以ABC 为等边三角形.BAC=60,EAC=30.同理可证FAC=30, AEF 是等边三角形,所以AEF=60.答案:C5.如图,在菱形 ABCD 中,ABC=60,AC=4,BD 的长为( )- 10 -A. B. C. D.8383432解析：ABCD 为菱形,AB=BC.又ABC=60,ABC 为等边三角形.AB=BC=AC=4,ABO=30, AOB=90.在AOB 中,OB= = .2AOB3B
15、D=BO+OD= .34答案:B6.如图,在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，请添加一个条件，使四边形 EFGH 为菱形，并说明理由.解：添加条件：对角线相等.理由：连结 AC、BD.在ABC 中，AE=BE，BF=CF，EF 为ABC 的中位线.EF= .AC21同理可得 FG= ，GH= ，HE= .BDAC21BD又AC=BD（添加条件）,EF=FG=GH=HE.故四边形 EFGH 为菱形.7.如图,已知过平行四边形 ABCD 的对角线交点 O 作互相垂直的两条直线 EG、FH 与平行四边形 ABCD 各边分别相交于点 E、F、G、H. 求证：
16、四边形 EFGH 是菱形.- 11 -答案:证明：在 ABCD 中，OD=OB，OA=OC，ABCD，OBG=ODE.又BOG=DOE ，OBGODE.OE=OG.同理 OF=OH.四边形 EFGH 是平行四边形.又EGFH ，四边形 EFGH 是菱形.8.北京 101 中学的学生为迎接 2008 年奥运会,美化校园,在周长为 12 m,夹角为 60的菱形花坛里栽十株花.试证明:不论如何安排 ,至少有两株花的距离小于 m.3答案:证明：如图,把菱形花坛分成 9 个菱形,由此可得至少有一个小菱形里要栽两株花,因为小菱形的对角线长为 m,所以至少有两株花的距离小于 m.39.如图,已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于 E、F.求证:四边形 AFCE 是菱形.答案:证明：EF 垂直平分 AC,EFAC,AO=CO.四边形 ABCD 为平行四边形,ADBC.AEO= CFO.AOE COF.OE=OF.四边形 AECF 是平行四边形.- 12 -又ACEF,四边形 AFCE 是菱形.
