1、专题 5 相关性与回归直线方程1两个变量线性相关(1)散点图：将样本中 n 个数据点(x i，y i)(i1,2，n) 描在平面直角坐标系中得到的图形(2)正相关与负相关正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域2回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程(3)回归方程的推导过程：假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x n，y n)
2、设所求回归方程为 x ，其中 ， 是待定参数y b a a b 由最小二乘法得Error!.其中， 是回归方程的斜率， 是截距b a 例 1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？正方形边长与面积之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故的发生率之间的关系变式 1 有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语吸烟是否一定会引起健康问题？有人认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？例 2 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关变式
3、 2 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 10 次试验，收集数据如下：(1)画出散点图；(2)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？例 3 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：(1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；(3)求回归方程；(4)如果某天的气温是 2，预测这天卖出的热饮杯数变式 3 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果不具有线性相关关系，说明理由；(2)如果
4、具有线性相关关系，求出回归直线方程A 级1下列两个变量之间的关系：角度和它的余弦值；正 n 边形的边数与内角和；家庭的支出与收入；某户家庭用电量与电价间的关系其中是相关关系的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2回归直线方程 x 必过( )y b a A点(0,0) B点( ，0)xC点(0， ) D点( ， )y x y3在对两个变量 x，y 进行线性回归分析时有下列步骤：用所求出的回归方程作出估计；收集数据(x i，y i)，i1,2，n；求回归直线方程；求相关系数；根据所搜集的数据绘制散点图如果根据可靠性要求能够作出变量 x，y具有线性相关结论，则正确的操作顺序是( )A BC
5、 D4.设(x 1， y1)，(x 2，y 2)， (xn，y n)是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的回归直线(如图) ，以下结论中正确的是 ( )Ax 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率Bx 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间C当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同D直线 l 过点( ， )x y5若对某个地区人均工资 x 与该地区人均消费 y 进行调查统计得 y 与 x 具有相关关系，且回归方程 0.7x2.1(单位：千元 )，若该地区人均消费水平为 10.5，则估计该地区人均消y 费额占人均工资收入的百分比约为_6期
6、中考试后，某校高三(9)班对全班 65 名学生的成绩进行分析，得到数学成绩 y 对总成绩 x 的回归方程为 60.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差 50 分，则他们的数y 学成绩大约相差_分7为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程 x ，其中 0.76， .据此估计，该社区一户y b a b a y b x年收入为 15 万元家庭的年支出为( )A11.4 万元 B11.8 万元 C12.0 万元 D12.2 万元B 级8某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程 x 中的
7、 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为( )y b a b A63.6 万元 B65.5 万元C67.7 万元 D72.0 万元9工人月工资(元)依劳动生产率(千元) 变化的回归方程为 6090x，下列判断正确的是( )y A劳动生产率为 1 千元时，工资为 50 元B劳动生产率提高 1 千元时，工资提高 150 元C劳动生产率提高 1 千元时，工资约提高 90 元D劳动生产率为 1 千元时，工资为 90 元10某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A. 10x200 B. 10x200y y C. 10x200 D. 10x200y
8、y 11如图所示，有 5 组(x，y)数据，去掉数据_后，剩下的 4 组数据的线性相关性变强( )AE BD CB DA12某数学老师身高 176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm、170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm.13下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨) 与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据 .(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归方程 x ；y b a (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生
9、产能耗为 90 吨标准煤试根据 (2)求出的回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：32.5435 464.566.5)详解答案典型例题例 1 解 两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系正方形的边长与面积之间的关系是函数关系作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系变式 1 解 从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康，但是除了吸烟
10、之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同作用的结果我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发的患病者，所以吸烟不一定引起健康问题但吸烟引起健康问题的可能性大因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法是不对的例 2 解 散点图如下：由上图可看出，销售价格与房屋面积这两个变量正相关变式 2 解 (1)散点图如下：(2)加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系例 3 解 (1)散点图如图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少(3)从散点图可以看出，这些点大致
11、分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数利用计算器容易求得回归方程 2.352x147.767.y (4)当 x2 时， 143.063.因此，某天的气温为 2时，这天大约可以卖出 143 杯热饮y 变式 3 解 (1)在直角坐标系中画出数据的散点图，如下图直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系(2)计算相应的数据之和：i1 031， i71.6，8i 1x8i 1y137 835， iyi9 611.7.8i 1x2i8i 1x将它们代入公式计算得 0.077 4， 1.024 9，b a 所以，所求回归方程为 0.077 4x1.024 9.y 强化提高1A 2.D3
12、D 本题考查具有线性相关关系的两个变量的研究步骤，应先收集数据，再作散点图，求相关系数，求回归方程，最后应用回归方程作出估计，则顺序为.4D 相关系数 r 的计算公式与 l 斜率的计算公式不一样，故 A 错；由| r|1 知 B 错；分布在 l 两侧的点的个数没有什么规律，故 C 错；( ， )为样本点的中心，回归直线过样本的x y中心，故 D 正确587.5%解析 设该地区人均工资收入为 ，则 0.7 2.1，当 10.5 时，y y x y 12. 100%87.5%.x10.5 2.10.7 10.512620解析 令两人的总成绩分别为 x1，x 2.则对应的数学成绩估计为16 0.4x
13、1， 260.4x 2，所以 | 1 2|0.4(x 1x 2)|0.45020.y y y y 7B 先求 ，再利用回归直线方程预测a 由题意知， 10，x8.2 8.6 10.0 11.3 11.95 8，y6.2 7.5 8.0 8.5 7.85 80.76100.4，a 当 x15 时， 0.76150.411.8(万元)y 8B 由题意可知 3.5， 42，则 429.43.5 ， 9.1， 9.469.165.5，答x y a a y 案应选 B.9C 因工人月工资与劳动生产率变化的回归方程为 6090x，当 x 由 a 提高到 a1y 时， 2 1 6090(a1) 6090a9
14、0.y y 10A 11.B12185解析 根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：173， 176， 1 ， 1761733，回归x y b 3i 1xi xyi y3i 1xi x2 36 32 32 a y b x方程为 x 3 ，从而可预测他孙子的身高为 1823185(cm) y 13解 (1)散点图如下图所示：(2) 4.5，x3 4 5 64 3.5，y2.5 3 4 4.54xiyi32.5435464.566.5， x 3 24 25 26 286，4 i 1 4 i 12i b 4 i 1xiyi 4x y 4 i 1x2i 4x2 66.5 44.53.586 44.520.7， 3.50.74.50.35.a y b x所求的回归方程为 0.7x 0.35.y (3)现在生产 100 吨甲产品用煤0.7 1000.3570.35，y 9070.3519.65.生产能耗比技改前降低约 19.65 吨标准煤
