1、1.1.1 正弦定理学习目标 1. 掌握正弦定理的内容;2. 掌握正弦定理的证明方法;来源:学优高考网3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。学习过程 一、课前准备试验:固定 ABC 的边 CB 及 B,使边 AC 绕着顶点 C 转动思考: C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系?来源:学优高考网 gkstk显然,边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二、新课导学 学习探究探究 1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首
2、先来探讨 直角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在 Rt ABC 中,设BC=a,AC=b,AB =c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有 , ,又 , sinAcsiBsin1cC从而在直角三角形 ABC 中, iisinabAB(探究 2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:当 ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义,有 CD= ,则 , siniaBbAsiniabB同理可得 , sinicbCB从而 aAs类似可推出,当 ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立请你试试导.新知:正弦定理在一个
3、三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即siniabABsincC试试:(1)在 中,一定成立的等式是( )A B.siniabcosaAbBC. D.(2)已知ABC 中,a4,b8,A30,则B 等于 理解定理(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数 k 使, , ;sinaksinckC(2) 等价于 , , ibABsinsinicbBsinaAicC(3)正弦定理的基本作用为:已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 ; sia已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 ; siniaABbsinC(4)一般地,已
4、知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形 典型例题例 1. 在 中,已知 , , cm,解三角形AB4560B42a变式:在 中,已知 , , cm,解三角形CC1来源:学优高考网例 2. 在 6,45,2,ABCcAabBC中 , 求 和变式:在 3,60,1,ABCbcaAC中 , 求 和来源:学优高考网 gkstk三、总结提升 学习小结1. 正弦定理: siniabABsincC2. 正弦定理的证明方法:三角函数的定义,还有 等积法,外接圆法,向量法.3应用正弦定理解三角形:已知两角和一边;已知两边和其中一边的对角来源:gkstk.Com 知识拓展,其中 为外接圆直径.si
5、niabAB2sincRC学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:1. 在 中,若 ,则 是( ).ABCcosAbaBCA等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形C直角三角形 D等边三角形2. 已知ABC 中,AB C114,则 abc 等于( ).A114 B112 C11 D22333. 在ABC 中,若 ,则 与 的大小关系为( ).siniABA. B. C. D. 、 的大小关系不能确定B4. 已知 ABC 中, ,则 = si:si1:23C:abc5. 已知 ABC 中, A , ,则60a= sinsinabcAC课后作业 1. 已知ABC 中,AB 6,A30,B ,解此三角形1202. 已知ABC 中,sinAsinB sinCk ( k1)2k (k 0),求实数 k 的取值范围为