1、乘法公式辅导二班级_姓名_【例 1】(1)已知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数可以是_. (2)已知(2000-a)(1998-a)=1999,那么,(2000-a) 2+(1998-a)2=_.【例 2】若 x 是不为 0 的有理数,已知 M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则 M 与 N 的大小关系是( ). (“祖冲之”杯邀请赛试题)A.MN B.M0,b0);2ab丙商场:第一次提价的百分率为 b,第二次提价的百分率为 a,则哪个商场提价最多?说明理由. 【例 5】已知 a、b、c 均为正整数,且满足 a2+b2=c2,又 a
2、 为质数. 证明:(1)b 与 c 两数必为一奇一偶; (2)2(a+b+1)是完全平方数.学力训练一、 基础夯实1.观察下列各式:(x-1)(x+1)=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1.根据前面的规律可得 (x-1)(xn+xn-1+x+1)=_. 2.已知 a2+b2+4a-2b+5=0,则 =_. ab3.计算:(1)1.2345 2+0.76552+2.4690.7655=_;(2)19492-19502+19512-19522+19972-19982+19992=_;(3) =_.2219874.如图是用四张全等的矩形纸片拼成
3、的图形,请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于 a、b 的恒等式_. 5.已知 a+ =5,则= =_. 来源:学优高考网1421a6.已知 a-b=3,b+c=-5,则代数式 ac-bc+a2-ab 的值为( ).A.-15 B.-2 C.-6 D.6 7.乘积(1- )(1- )(1- )(1- )等于( ).212321920A. B. C. D. 900940148.若 x-y=2,x2+y2=4,则 x2002+y2002 的值是( ).A.4 B.2002 C.2 D.49.若 x2-13x+1=0,则 x4+ 的个位数字是( ).1A.1 B.3 C.5 D.710.
4、如图,在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形(ab),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图),通过计算两个图形(阴影部分 )的面积,验证了一个等式,则这个等式是 ( ).A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a-b)2=a2-2ab+b D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 11.(1)设 x+2z=3y,试判断 x2-9y2+4z2+4xz 的值是不是定值?如果是定值,求出它的值;否则请说明理由. (2)已知 x2-2x=2,将下式先化简 ,再求值:(x-1) 2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)ba图 图 ab ba
5、知识纵横乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;2.根据待求式的特点,模仿套用公式;3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.例题求解【例 1】(1)已知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数可以是_. (江苏省竞赛题)(2)已
6、知(2000-a)(1998-a)=1999,那么,(2000-a) 2+(1998-a)2=_.(2000 年重庆市竞赛题)思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)(1998-a)为整体,由平方和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形.解:(1)设两个连续奇数为 x,y,且 xy,则 20xy得 x+y=1000 或 x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499).(2)4002 提示:(2000-a) 2+(1998-a)2=(2000-a)-(1998-a)2+2(2000-a)(
7、1998-a)【例 2】若 x 是不为 0 的有理数,已知 M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则 M 与 N 的大小关系是( ). (“祖冲之”杯邀请赛试题)A.MN B.M0,b0);2ab丙商场:第一次提价的百分率为 b,第二次提价的百分率为 a,来源:学优高考网则哪个商场提价最多?说明理由. (2003 年河北省竞赛题)思路点拨 对于(1) 、(2)两个未知数一个等式或不等式,须运用特殊方法与手段方能求出x、y 的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大
8、小.解:(1)提示:由已知得(x-1) 2+(y- )2=0,得 x=1,y= ,原式=1123(2)原不等式可化为(x-1) 2+(y-1)21,且 x、y 为整数,(x-1)20,(y-1) 20,所以可能有的结果是 或 或 ,10xy1y01y解得 或 或 或 ,x+y=1 或 2 或 31xy20x(3)甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为(1+a)(1+b)=1+a+b+ab;(1+ )(1+ )=1+(a+b)+( )2;2abab(1+b)(1+a)=1+a+b+ab;因( )2-ab0,所以( )2ab,故乙商场两次提价后,价格最高.【例 5】已知 a、b、c 均为正整数,
9、且满足 a2+b2=c2,又 a 为质数. 证明:(1)b 与 c 两数必为一奇一偶; (2)2(a+b+1)是完全平方数.思路点拨 从 a2+b2=c2 的变形入手;a 2=c2-b2,运用质数、奇偶数性质证明.解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又 c+b 与 c-b 同奇同偶,c+bc-b,故 a不可能为偶质数 2,a 应为奇质数,c+b 与 c-b 同奇同偶,b 与 c 必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得 2b=a2-1,来源:gkstk.Com于是 2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.学力训练一、 基础夯实
10、1.观察下列各式:(x-1)(x+1)=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1.根据前面的规律可得 (x-1)(xn+xn-1+x+1)=_.(2001 年武汉市中考题)2.已知 a2+b2+4a-2b+5=0,则 =_. (2001 年杭州市中考题)ab3.计算:(1)1.2345 2+0.76552+2.4690.7655=_;(2)19492-19502+19512-19522+19972-19982+19992=_;(3) =_.2219874.如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于
11、a、b 的恒等式_. (2003 年太原市中考题)5.已知 a+ =5,则= =_. (2003 年菏泽市中考题) 1a421a6.已知 a-b=3,b+c=-5,则代数式 ac-bc+a2-ab 的值为( ).baA.-15 B.-2 C.-6 D.6 (2003 年扬州市中考题)7.乘积(1- )(1- )(1- )(1- )等于( ).212321920A. B. C. D. 90094014(2002 年重庆市竞赛题 )8.若 x-y=2,x2+y2=4,则 x2002+y2002 的值是( ).A.4 B.2002 C.2 D.4来源:学优高考网9.若 x2-13x+1=0,则 x4
12、+ 的个位数字是( ).1A.1 B.3 C.5 D.710.如图,在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形(ab),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图), 通过计算两个图形(阴影部分) 的面积,验证了一个等式,则这个等式是( ).图 图 ab baA.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a-b)2=a2-2ab+b D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 (2002 年陕西省中考题) 来源:学优高考网 gkstk11.(1)设 x+2z=3y,试判断 x2-9y2+4z2+4xz 的值是不是定值?如果是定值, 求出它的值;否则请说明
13、理由.(2)已知 x2-2x=2,将下式先化简 ,再求值:(x-1) 2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1).(2003 年上海市中考题)来源:学优高考网 gkstk12.一个自然数减去 45 后是一个完全平方数,这个自然数加上 44 后仍是一个完全平方数,试求这个自然数.13.观察:1234+1=5 22345+1=1123456+1=192(1)请写了一个具有普遍性的结论,并给出证明;(2)根据(1),计算 2000200120022003+1 的结果(用一个最简式子表示).(2001 年黄冈市竞赛题)来源:学优高考网 gkstk二、 能力拓展14.你能很快算出 19952 吗?为
14、了解决这个问题,我们考察个位上的数字为 5 的自然数的平方,任意一个个位数为 5 的自然数可写在 10n+5(n 为自然数),即求(10n+5) 2 的值,试分析 n=1,n=2,n=3,这些简单情形,从中探索其规律,并归纳猜想出结论.(1)通过计算,探索规律.152=225 可写成 1001(1+1)+25;252=625 可写成 1002(2+1)+25;352=1225 可写成 1003(3+1)+25;452=2025 可写成 1004(4+1)+25;752=5625可成写_;85 2=7225 可写成_.(2)从第(1)题的结果,归纳,猜想得(10n+5) 2=_.(3)根据上面的
15、归纳猜想,请算出 19952=_. (福建省三明市中考题)15.已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则 x+y+z=_.(2001 天津市选拨赛试题)16.(1)若 x+y=10,x3+y3=100,则 x2+y2=_. (2)若 a-b=3,则 a3-b3-9ab=_.17.1,2,3,98共 98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_. (全国初中数学联赛试题)18.已知 a-b=4,ab+c2+4=0,则 a+b=( ).A.4 B.0 C.2 D.-219.方程 x2-y2=1991,共有( )组整数解.A.6 B.7 C.8 D.920.已知 a、b 满足等式
16、 x=a2+b2+20,y=4(2b-a),则 x、y 的大小关系是( ).A.xy B.xy C.xy (2003 年太原市竞赛题)21.已知 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值为( ).A.0 B.1 C.2 D.3 (2002 年全国初中数学竞赛题)22.设 a+b=1,a2+b2=2,求 a7+b7 的值. (西安市竞赛题)23.已知 a 满足等式 a2-a-1=0,求代数式 a8+7a-4 的值. (2003 年河北省竞赛题)24.若 x+y=a+b,且 x2+y2=a2+b2,求证:x 1
17、997+y1997=a1997+b1997. (北京市竞赛题)三、综合创新25.有 10 位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用 x1,y1顺次表示第一号选手胜与负的场数;用 x2,y2 顺次表示第二号选手胜与负的场数 ,;用 x10,y10顺次表示十号选手胜与负的场数.求证:x 12+x22+x102=y12+y22+y102.来源:gkstk.Com26.(1)请观察:25=521225=352112225=335211122225=33352写出表示一般规律的等式,并加以证明.(2)26=52+12,53=72+22,2653=1378,1378=372+32.来源:学优高考网
18、 gkstk任意挑选另外两个类似 26、53 的数,使它们能表示成两个平方数的和,把这两个数相乘,乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?答案1.xn+1-1 2.- 3.(1)4;(2)3897326;(3) 4.(a+b)2-4ab=(a-b)2 5.24 6.C317.D 提示;逆用平方差公式,分解相约 8.C 提示: 由已知条件得 xy=09.D 提示:x0,由条件得 x+ =13,x4+ =(x2+ )2-2=(x+ )2-22-2 10.Axx1x11.(1)定值为 0 提示: 由条件得 x-3y=-2z,原式=(x-3y)(x+3y)+4z 2+4xz=-2z(x+3y
19、)+4z2+4xz=4z2+2xz-6yz=4z2+2z(x-3y)=0(2)原式=3x 2-6x-5=3(x2-2x)-5=1.12.提示:设这个自然数为 x,由题意得245xmn-得 n2-m2=89 即(n+m)(n-m)=891从而 ,解得 (m,n 都为自然数) 故 x=45-44=1981.89145n13.(1)对于自然数 n,有 n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2,证明略.(2)由(1)得原式=(2000 2+32000+1)2=4006001214.(1)1007(7+1)+25;1008(8+1)+25.(2)(10n+5)2=10n(n+1)+25
20、(3)19952=(10199+5)2=10199(199+1)+25=398002515.2 16.(1)40 提示:x 3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)(x+y)2-3xy;(2)27.17.73 提示:x=n 2-m2=(n+m)(n-m)(1mn98,m,n 为整数),因 n+m 与 n-m的奇偶性相同,故 x 是奇数或是 4 的倍数.18.B 提示:把 a=b+4 代入 ab+c2+4=0 得(b+2) 2+c2=019.C 提示:(x+y)(x-y)=11991=11181=(-1)(-1991)=(-11)(-181)20.B 提示:x-y=(a+2) 2+(
21、b-4)2021.D 提示:原式= (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2122. 提示:由 a+b=1,a2+b2=2,得 ab=- ,781利用 an+1+bn+1=(an+bn)(a+b)-ab(an-1+bn-1)可分别求得a3+b3= ,a4+b4= ,a5+b5= ,a6+b6= .279423.48 提示:由 a2-a-1=0,得 a-a-1=1,进而 a2+a-2=3,a4+a-4=7,所以 a8+7a-4=a4(a4+a-4)+7a-4-1=7a-4+7a-4-1=7(a4+a-4)-1=48.24.提示:设 , 则由 2-得 2xy=2ab 22xyba-,得(x-y)
22、2=(a-b)2,即x-y=a-b则 x-y=a-b 或 x-y=b-a,分别与 x+y=a+b 联立解得 或xayb25.提示:由题意知:x i+yi=9(i=1,2,10)且 x1+x2+x10=y1+y2+y10因(x 12+x22+x102)-(y12+y22+y102)=(x12-y12)+(x22-y22)+(x102-y102)=(x1+y1)(x1-y1)+(x2+y2)(x2-y2)+(x10+y10)(x10-y10)=9(x1+x2+x10)-(y1+y1+y10)=026.(1)提示:经观察,发现规律: =( )2 ,实际上,()nA个5n个(13nA个( )2=( )2=( )2135nA个3n个19n个= (10n-1)+22=( )2= + +02105= + + = + +321091592nA个(1)个= (1)nA个n个(2)一般地,设 m=a2+b2,n=c2+d2,则 mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=a2c2+b2d2+2abcd+b2c2-2abcd+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2 或(a c-bd)2+(bc+ad)2.
