1、考点达标训练 16 特殊三角形 训练一 等腰三角形和等边三角形 等腰三角形的边和角1. (2014江苏盐城)若等腰三角形的顶角为 40，则它的底角的度数为( )A. 40 B. 50C. 60 D. 702. 若等腰三角形的两条边长分别为 7 cm 和 14 cm，则它的周长为_cm.等腰三角形的性质与判定3. (2014江苏苏州 )如图，在 ABC 中，点 D 在 BC 上，ABADDC，B80 ，则C 的度数为( )A. 30 B. 40C. 45 D. 60,(第 3 题) ,(第 4 题)4. 如图，在 ABC 中，ABAC ，D 为 BC 上一点，CDAD ，ABBD，则 B 的度数
2、为( )A. 30 B. 36C. 40 D. 455. (2014浙江衢州)如图，在 ABC 中，AB AC，ADBC 于点 D.若 AB6，CD4，则 ABC 的周长是_,(第 5 题) ,(第 6 题)6. (2015浙江嘉兴) 如图，有一张三角形纸片 ABC，AB AC5.折叠该纸片使点 A 落在边 BC 的中点上，折痕经过 AC 上的点 E，则线段 AE 的长为 _7. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，线段 AG，BG 分别交 CD 于点E，F ，DE CF .求证：GAB 是等腰三角形(第 7 题)等边三角形的性质与判定8. 下列说法中，错误的是( )A. 有两个内角分别
3、是 70和 40的三角形是等腰三角形B. 有两个内角相等的三角形是等边三角形C. 有两个角是 60的三角形是等边三角形D. 等边三角形一定是等腰三角形9. 如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别是 BC，AC，AB 上的点，DEAC，EFAB ，FD BC，则 DEF 的面积与 ABC 的面积之比等于( )A. 13 B. 23C. 2 D. 33 3,(第 9 题) ,(第 10 题)10. (2015浙江绍兴)由于木质衣架没有柔韧性，在挂衣服的时候不太方便操作小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可如图，衣架杆OAOB18 cm，若衣架收拢时，AOB60，如图
4、 ，则此时 A，B 两点间的距离是_cm.11. 在ABC 中，已知A 60.给出下列条件： ABAC；BC；D 是 BC的中点，且 ADBC；边 AB，AC 上的高线相等若要选出一个条件判定ABC 是等边三角形，则符合的条件有_( 填序号) 12. 如图，ABC 为等边三角形，点 F 在 AD 上，点 E 在 CF 上，点 D 在 BE 上，1 2 3.求证：DEF 是等边三角形(第 12 题) 来源:学优高考网(第 13 题)13. 如图，ABC 是等边三角形， P 是ABC 的平分线 BD 上一点，PEAB 于点 E，线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为 Q.若 BF2，则
5、 PE 的长为( )A. 2 B. 2 2C. D. 3314. 已知等腰三角形 ABC 中，ADBC 于点 D，且 AD BC，则ABC 底角的度数为12_(第 15 题)15. 如图，已知矩形 ABCD，把矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，连结 DE，BE.若ABE 是等边三角形，则 _SDCESABE16. (2015江苏南京)如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，请画出以 A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形 ABCD 的边上，且含边长为 3 的所有大小不同的等腰三角形(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为 3 的边上标注数字 3),(第 16 题)17.
6、如图，已知ABC 是等边三角形， D 是边 BC 上的一点，以 AD 为边作等边三角形ADE，过点 C 作 CFDE 交 AB 于点 F.,(第 17 题)(1)若 D 是边 BC 的中点(如图 )，求证：EFCD.来源:学优高考网(2)在(1)的条件下直接写出AEF 和ABC 的面积比(3)若 D 是边 BC 上的任意一点( 除点 B，C 外，如图 )，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由训练二 直角三角形与勾股定理 考 点 精 讲 本 P50直角三角形的性质与判定1. 在ABC 中，已知 ABC5 27，则这个三角形是( )A. 锐角三角形 B. 钝角三
7、角形C. 直角三角形 D. 等腰三角形2. (2015北京)如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得 AM 的长为 1.2 km，则 M，C 两点间的距离为( )A. 0.5 km B. 0.6 kmC. 0.9 km D. 1.2 km,(第 2 题) ,(第 3 题)3. 如图，CD 是等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 上的中线，DE BC 于点 E，则图中等腰直角三角形的个数是( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6(第 4 题)4. 如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，CDA70 ，则A _， B_ 5. 如图，在A
8、BC 中，点 A 在 DE 上，CD DE，BEDE，垂足分别是 D，E，且ADBE，CD AE.求证：ABC 是等腰直角三角形来源:学优高考网 gkstk(第 5 题)6. 如图，AB CD，E 是 AD 的中点，CEEF .求证：CFAB.(第 6 题)直角三角形的面积与勾股定理7. (2014山东滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5C. 2，3，4 D. 1， ，328. (2015浙江台州)如果将长为 6 cm，宽为 5 cm 的矩形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )A. 8 cm B. 5 cm C. 5.5 cm D
9、. 1 cm29. 如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足AEB 90 ，AE6，BE8，则阴影部分的面积是( )A. 48 B. 60 C. 76 D. 80,(第 9 题) ,(第 10 题)10. 如图所示为一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形 A，B，C ，D 的边长分别是 3，5，2，3，则最大正方形 E 的面积是( )A. 13 B. 26 C. 47 D. 94(第 11 题)11. (2014江苏无锡)如图，在ABC 中，CDAB 于点 D，E 是 AC 的中点若AD6， DE 5，则 CD 的长等于_12. 如图 是我国古代著名
10、的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的在 RtABC 中，若直角边 AC6，BC 5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图中的实线)是_,(第 12 题)13. 如图，折叠长方形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，折痕与 CD 边交于点 E.已知 AB 8 cm，BC10 cm，求 CE 的长(第 13 题)来源:学优高考网14. (2015四川眉山 )如图，在 RtABC 中，B90，A30，DE 垂直平分斜边AC，交 AB 于点 D，E 是垂足，连结 CD.若 BD1，则 AC 的长
11、是( )A. 2 B. 2 C. 4 D. 43 3,(第 14 题) ,(第 15 题)15. 蜂巢的构造非常美丽、科学，如图所示为由 7 个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，ABC 的顶点都在格点上，设定 AB 边如图所示，则能使ABC 是直角三角形的点 C 的个数为( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 10(第 16 题)16. 如图，在 RtABC 中，ACB90，B30，BC3.D 是 BC 边上一动点(不与点B，C 重合) ，过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E，将B 沿直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC上的点 F 处当AEF 为直角三
12、角形时， BD 的长为_17. 一个等腰三角形花圃的面积为 30 m2，其中一边长为 10 m，求该等腰三角形花圃的另两边长来源:学优高考网 gkstk18. 在ABC 中， ABC90，点 E 在直线 AB 上，ED 与直线 AC 垂直，垂足为 D，且 M 为 EC 的中点，连结 BM，DM.(1)如图，点 E 在线段 AB 上，探究线段 BM 与 DM 及BMD 与BCD 所满足的数量关系，请你写出所得结论并给予证明,(第 18 题)(2)如图，若点 E 在 BA 的延长线上，你在 (1)中得到的结论是否发生变化？(3)若点 E 在 AB 的延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出
13、线段 BM 与DM 及 BMD 与 BCD 所满足的数量关系参 考 答 案训练一 等腰三角形和等边三角形1D 235 3B 4B 520 625 7提示：证ADEBCF(SAS)，得AEDBFC，再得GEFGFE，再证GAB GBA 8B 9A 1018 11 12略 13CABC 是等边三角形，P 是ABC 的平分线 BD 上一点，EBP QBF30又BF2，FQBP，BQBFcos 30 FQ 是 BP3的垂直平分线，BP2BQ 2 在 RtBEP 中，EBP30，PE BP 312 31415或 45或 75分三种情况： 如解图，ABAC ，AD BC，BD CDAD BC，ABC 是等
14、腰直角三角形，底12角为 45(第 14 题解)如解图，ABBC，AD BC，AD ABADBC ，ABD30，12 12BACC15，即底角为 15如解图，ABBC ，AD BC，AD ABAD BC ，B30，12 12BACC75，即底角为 75综上所述，底角为 15或 45或 75 15 过点 E 作 EMAB 于点 M，交 DC 于点 N四边形 ABCD 是矩形，13ABCBCD90，ABDC，ABDC又MNAB，NMBMNC90，四边形 MNCB 也是矩形 MNBC ，ENDCABE 是等边三角形，点 B 和点 E关于直线 AC 对称，EACBAC30设 ABAEBE2a，则 BC
15、2atan 30 a，MN aABE 是等边三角形，EMAB，AM ABa在 Rt23 3 23 3 12AEM 中，由勾股定理，得 EM aENEM MN aDCE 的底（2a）2 a2 333DC 和ABE 的底 AB 相等， 16满足条件的所有等腰三角SDCESABE ENEM 33a3a 13形如解图所示(第 16 题解)17(1)D 是等边三角形 ABC 的边 BC 上的中点，ADBC，BAD DAC30又AED 是等边三角形，EABBAD30，ABED EDFC，CFAB AD 和 CF 都是等边三角形 ABC 的高，ADCFEDAD CF又CFDE，四边形 EFCD 是平行四边形
16、，EFCD(2)S AEF EF AD BCAD SABC ，S AEF S ABC 14 (3)仍然成立证12 12 18 14明如下：连结 BEABC 与ADE 均为等边三角形，AEAD ，ABAC，EADBAC 60EABDACAEBADC(SAS) ，BECD，ABEACD60ADECFDE，FCBEDB，180FCB60180EDB60，即BFC CDA 又BCCA，FBCACD ，BFC CDA(AAS)BFCDBEEBF 是等边三角形EFBE CD训练二 直角三角形与勾股定理1C 2D 3C 455 35 5提示：证ACDBAE(SAS) 6提示：延长 CE 交 BA 的延长线于
17、点 G，证CDEGAE(AAS) 7B 8A 9C 10C 118 1276 13 3 cm 14A在 RtABC 中，B90，A30，ACB60DE 垂直平分斜边 AC，AD CDACDA30，DCB603030CD2BD2BC 又A30，22 12 3AC2BC2 3(第 15 题解)15D 如解图当 AB 是直角边时，满足题意的点 C 有 6 个；当 AB 是斜边时，满足题意的点 C 有 4 个综上所述，满足题意的点 C 的个数为 6 410 161 或 2分情况讨论：当点 F 在线段 BC 上时，要使AEF 为直角三角形，则必有 AFE90由折叠的性质，得 BEEF ，BFEB30，A
18、EF60，EAF30，AE2EF2BE，AB 3BE在 RtABC 中，ACB90，B30，BC3，AB 2 ，BE DE BC，B30，BD BE1当点 F323 3 32在线段 BC 的延长线上时，要使 AEF 为直角三角形，则必有 EAF90，同理可得BD2 17(1)当底为 10 时，面积30，高为 6，腰 (2) 当腰62 52 61为 10 时，面积30，腰上的高为 6当为锐角三角形时， 8，则腰被分102 62成 8 与 2 的两段，底边 2 ；当为钝角三角形时， 8，底边62 22 10 102 62 6 综上所述，另两边长为 m， m 或 10 m，2 m 或 10 62 （
19、10 8）2 10 61 61 10m，6 m 18(1)结论：BMDM ，BMD 2BCD证明如下：M 是 Rt10EBC，RtEDC 的斜边中点，BM CE DMMC，MCBMBC ，BME 2BCM 同理，12DME2DCM BMDBMEDME2(BCMDCM)2BCD (2) 在(1)中得到的结论不变，即 BMDM，BMD 2BCD理由如下：M 是 RtEBC 和RtEDC 的斜边中点，BM CE DMMC，MBCMCB ，MDC MCDBME2MCB，12DME2MCD BMDBMEDME2(MCBMCD)2BCD (3) 所画图形如解图所示，分三种情况：(第 18 题解)解图中有 BMDM ，BMD2BCD；解图中BCD 不存在，有 BMDM；解图中有 BMDM ，BMD3602BCD
