1、基础达标一、选择题1(2014安徽合肥模拟)正弦函数是奇函数， f(x)sin(x 21) 是正弦函数，因此 f(x)sin(x 21) 是奇函数，以上推理( )A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确解析：选 C.由于 f(x)sin(x 2 1)不是正弦函数，故小前提不正确2把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是( )A如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行D如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行解析：选 B.由空间立体几何的知 识可知
2、 B 正确3下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A设数列a n的前 n 项和为 Sn.由 an2n1，求出 S11 2，S 22 2，S 33 2，推断：S nn 2B由 f(x)xcos x 满足 f(x) f (x)对x R 都成立，推断：f(x) xcos x 为奇函数C由圆 x2y 2r 2 的面积 S r2，推断：椭圆 1(ab0)的面积 Sabx2a2 y2b2D由(11) 221，(21) 222，(3 1) 223，推断：对一切 nN *，(n1) 22n解析：选 A.选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列 an为等差数列，其前 n 项和等于 Sn n 2，
3、选项 D 中的推理属于 归纳推理，但结论不正确n1 2n 124由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abb a”；“(mn) tmtnt”类比得到 “(ab)cacbc” ；“(m n)tm (nt)”类比得到“( ab)ca(b c)”；“t0，mtxtmx ”类比得到“p0，apxpax” ；“|mn|m|n| ”类比得到“| ab| a|b|”；“ ”类比得到“ ”acbc ab acbc ab以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A1 B2C3 D4解析：选 B.正确；错误5(2012高考江西卷)观察下列各式：ab1，a 2b 23，a 3b
4、34，a 4b 47，a 5b 511，则 a10b 10( )A28 B76C123 D199解析：选 C.记 anb nf(n)， 则 f(3)f(1)f (2)134；f(4)f(2)f(3) 347；f (5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现 f(n)f (n1)f(n2)( nN*，n3)，则 f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6) 29；f(8)f (6)f (7)47；f (9)f(7)f (8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以 a10b 10123.二、填空题6数列 ， ，2 ， ，的一个通项公式是_2 5 2 11解析：因为 a1 ，a2 ，
5、a3 ，a4 ，3 1 32 1 33 1 34 1由此猜想 an .3n 1答案：a n 3n 17设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，则 S4，S 8S 4，S 12 S8，S 16S 12 成等差数列类比以上结论设等比数列b n的前 n 项积为 Tn，则 T4，_，_，成等比数列T16T12解析：对于等比数列，通过类 比等差数列，有等比数列 bn的前 n 项积为 Tn，则T4a 1a2a3a4，T8a 1a2a8，T12a 1a2a12，T16a 1a2a16，所以a 5a6a7a8， a 9a10a11a12， a 13a14a15a16，所以 T4， ， ， 的公比为 q16，因
6、此 T4，T8T4 T12T8 T16T12 T8T4T12T8 T16T12， ， 成等比数列T8T4T12T8 T16T12答案： T8T4 T12T88(2014湖北省七市高三联考) 挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图 )，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式阿贝尔公式：a1b1a 2b2a 3b3a nbna 1(b1b 2)L 2(b2b 3)L 3(b3b 4)L n1 (bn1 b n)L nbn.则其中：(1)L 3_；(2)Ln_.解析：(1)由图象(a)(b)可知，a 1b1a 2b2a 3b3a 4b4a 5b5a 1(b1b 2)(a 1a
7、2)(b2b 3)(a 1 a2a 3)(b3b 4)(a 1 a2a 3a 4)(b4b 5)(a 1a 2a 3a 4a 5)b5，所以 L3a 1a 2a 3.(2)归纳推理可知：a 1b1a 2b2a 3b3a nbna1(b1b 2)(a 1a 2)(b2b 3)(a 1a 2a 3)(b3b 4)(a 1a 2a 3a n)bn，所以 Lna 1a 2a 3a n.答案：(1)a 1a 2a 3 (2) a1a 2a 3a n三、解答题9平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积 S 底 高；(3) 三角形的
8、中位线平行于第12三边且等于第三边的 ，12请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论解：由三角形的性质，可类比得空 间四面体的相关性质为 ：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积 V 底面积高；13(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面 积的 .1410观察下表：1，2,34,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，问：(1)此表第 n 行的最后一个数是多少？(2)此表第 n 行的各个数之和是多少？(3)2 014 是第几行的第几个数？解：(1)第 n1 行的第 1 个数是 2n，第 n 行的最后一个数是 2n1.(2)2n
9、1 (2 n1 1)(2 n1 2)(2 n1) 32 2n3 2 n2 .2n 1 2n 12n 12(3)2101 024,2 112 048,1 0242 0142 048，2 014 在第 11 行，该行第 1 个数是 2101 024，由 2 0141 0241991，知 2 014 是第 11 行的第 991 个数能力提升一、选择题1在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则 ，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体 PABC 的内切球体积为 V1，外接S1S2 14球体积为 V2，则 ( )V1V2A. B.18 19C. D.164
10、 127解析：选 D.正四面体的内切球与外接球的半径之比 为 13，故 .V1V2 1272(2014山东枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第 21 行从左向右的第 5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31 A809 B852C786 D893解析：选 A.前 20 行共有正奇数 1353920 2400( 个)，则第 21 行从左向右的第 5 个数是第 405 个正奇数，所以 这个数是 24051 809.二、填空题3在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2a 2b
11、 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN，如果用 S1，S 2，S 3 表示三个侧面面积，S 4 表示截面面积，那么类比得到的结论是_解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面 积类 比为直角三角形的斜边，可得 S S S S .21 2 23 24答案：S S S S21 2 23 244(2014宜昌市一中高三考前模拟) 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为 1，两两夹角为 120；二级分形图是在一级分形图的每一条线段末端出发再生成两条长度均为原来 的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为 1
12、20；13；依次规律得到 n 级分形图则(1)n 级分形图中共有_条线段(2)n 级分形图中所有线段长度之和为_. 解析：(1)依题意， 记 n 级分形图中共有 an条线段，则有 a13， ana n1 32 n1 .由累加法得 ana 1(a 2a 1)(a 3a 2)(a na n1 )3 3 3(2 n1)(1 2 2n 1)1 2n1 2(2)n 级分形图中所有线段的长度和等于3132 32 n1 n1 9 .13 (13)31 (23)n31 23 1 (23)n答案：(1)3(2 n 1) (2)9 1 (23)n三、解答题5(2012高考福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下
13、五个式子的值都等于同一个常数：sin 213cos 217sin 13cos 17；sin 215cos 215sin 15cos 15；sin 218cos 212sin 18cos 12；sin 2(18)cos 248sin(18)cos 48；sin 2(25)cos 255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选择式，计算如下：sin215cos 215sin 15cos 151 sin 30 1 .12 14 34(2)三角恒等式为 sin2cos 2(30)s
14、in cos(30) .34证明如下：法一：sin 2cos 2(30) sin cos(30)sin 2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin 2 cos2 sin cos sin2 sin cos sin2 sin2 cos2 .34 32 14 32 12 34 34 34法二：sin 2cos 2(30) sin cos(30) sin (cos 30cos sin 30sin )1 cos 22 1 cos60 22 cos 2 (cos 60cos 2sin 60sin 2) sin cos sin212 12 12
15、 12 32 12 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 (1cos 2)12 12 12 14 34 34 141 cos 2 cos 2 .14 14 14 346(选做题) 设函数 fn()sin n(1) ncosn，0 ，其中 n 为正整数4(1)判断函数 f1()，f 3()的单调性，并就 f1()的情形证明你的结论；(2)证明：2f 6()f 4()(cos 4sin 4)(cos2sin 2)解：(1)f 1()，f3()在 上均为单调递增函数0，4对于函数 f1()sin cos ，设 12，1，2 ，0，4则 f1(1)f 1(2)(sin 1sin 2)(cos 2cos 1)，sin 1sin 2，cos 2cos 1，f1(1)f 1(2)0，f1(1)f1(2)，函数 f1()在 上单调递增0，4(2)证明：原式左边2(sin 6cos 6)(sin 4cos 4)2(sin 2cos 2)(sin4sin 2cos2cos 4)(sin 4cos 4)sin 42sin 2cos2cos 4(sin 2cos 2)2cos 22.又 原式右 边(cos 2sin 2)2cos 22.2f6() f4()(cos 4sin 4)(cos2sin 2)
