1、第 1 页（共 34 页）2016-2017 学年江苏省无锡市江阴中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）12 的绝对值是（ ）A2 B2 C D2下列计算正确的是（ ）A2aa=1 Ba 2+a2=2a4 Ca 2a3=a5 D（ab） 2=a2b 23已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x2x2a=0 的一个解，则 a 的值为（ ）A0 B1 C1 D24将 161000 用科学记数法表示为（ ）A0.16110 6 B1.6110 5C16.110 4D16110 35三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x26x+
2、8=0 的一个根，则这个三角形的周长是（ ）A9 B11 C13 D11 或 136若一个多边形的内角和为 1080，则这个多边形的边数为（ ）A6 B7 C8 D97已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）A20cm 2 B20cm 2C40cm 2 D40cm 28如图，点 D 是ABC 的边 AC 的上一点，且ABD=C；如果 = ，那么 =（ ）A B C D9如图，已知O 的半径 OD 与弦 AB 互相垂直，垂足为点 C，若 AB=16cm，CD=6cm，则O 的半径为（ ）第 2 页（共 34 页）A cm B10cm C8cm D cm10如图，
3、RtABC 中，ACBC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，DEAD 交 AB 于点 E，M 为 AE 的中点，BFBC 交 CM 的延长线于点 F，BD=4，CD=3下列结论AED=ADC； = ；ACBE=12 ；3BF=4AC，其中结论正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）11因式分解：a 23a= 12函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 13x |m|+4x+3m+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m= 14设 x1，x 2是一元二次方程 x23x2=0 的两个实数根，则 x1+x2= 15
4、如图，在ABC 中，DEBC，AD=1，AB=3，DE=2，则 BC= 16如图，在O 中，AB 为O 的弦，点 C 为圆上异于 A、B 的一点，OAB=25，则ACB= 第 3 页（共 34 页）17某电动自行车厂三月份的产量为 1000 辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到 1210 辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为 %18如图，RtABC 中，BAC=90，将ABC 绕点 C 逆时针旋转，旋转后的图形是ABC，点 A 的对应点 A落在中线 AD 上，且点 A是ABC 的重心，AB与 BC 相交于点 E，那么 BE：CE= 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分）19
5、计算：（1）（2） 2 +（3） 0（2）4（x 2+2）4（x+1）（x1）20解方程：（1）x 2+2x=0（2）x 24x+3=021已知关于 x 的一元二次方程 x2+3x+1m=0 有两个不相等的实数根（1）求 m 的取值范围；（2）若 m 为负整数，求此时方程的根22如图，在ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E（1）求证：BE=CE；（2）若 BD=1，BE=2，求 AC 的长第 4 页（共 34 页）23如图，已知 AB=DC，AC=DB，AC 与 DB 交于点 M过点 C 作 CNBD，过点 B 作 BNAC，CN 与 BN 交于
6、点 N（1）求证：ABCDCB；（2）求证：四边形 BNCM 是菱形24如图，四边形 ABCD 内接于O，BD 是O 的直径，过点 A 作 AECD，交 CD 的延长线于点 E，DA 平分BDE（1）求证：AE 是O 的切线；（2）已知 AE=4cm，CD=6cm，求O 的半径25某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价 x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系：每箱售价 x（元） 68 67 66 65 40每天销量 y（箱） 40 45 50 55 180已知 y 与 x 之间的函数关系是一次函数（1）求 y 与 x 的函数解析式；（2）水蜜桃的进价是 40 元/箱，
7、若该超市每天销售水蜜桃盈利 1600 元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？第 5 页（共 34 页）（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从 7 月 17 号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了 m%，同时水蜜桃的进货成本下降了 10%，销售量也因此比原来每天获得 1600 元盈利时上涨了 2m%（m100），7 月份（按 31 天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比 7 月份降价销售前的销售总盈利少 7120 元，求 m 的值26如图，ABC 中，ACB=90，BC=6，AB=10点 Q 与点 B 在 AC 的同侧，且 AQAC（1）如图 1，点 Q 不与点
8、A 重合，连结 CQ 交 AB 于点 P设 AQ=x，AP=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）是否存在点 Q，使PAQ 与ABC 相似，若存在，求 AQ 的长；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，过点 B 作 BDAQ，垂足为 D将以点 Q 为圆心，QD 为半径的圆记为Q若点 C 到Q 上点的距离的最小值为 8，求Q 的半径27如果一个三角形的三边 a，b，c 能满足 a2+b2=nc2（n 为正整数），那么这个三角形叫做“n 阶三角形”如三边分别为 1、2、 的三角形满足 12+22=1（ ） 2，所以它是 1 阶三角形，但同时也满足（ ） 2+22=
9、912，所以它也是 9 阶三角形显然，等边三角形是 2 阶三角形，但 2 阶三角形不一定是等边三角形（1）在我们熟知的三角形中，何种三角形一定是 3 阶三角形？（2）若三边分别是 a，b，c（abc）的直角三角形是一个 2 阶三角形，求 a：b：c（3）如图 1，直角ABC 是 2 阶三角形，ACBCAB，三条中线 BD、AE、CF 所构成的三角形是何种三角形？四位同学作了猜想：A 同学：是 2 阶三角形但不是直角三角形；B 同学：是直角三角形但不是 2 阶三角形；第 6 页（共 34 页）C 同学：既是 2 阶三角形又是直角三角形； D 同学：既不是 2 阶三角形也不是直角三角形请你判断哪位
10、同学猜想正确，并证明你的判断（4）如图 2，矩形 OACB 中，O 为坐标原点，A 在 y 轴上，B 在 x 轴上，C 点坐标是（2，1），反比例函数y= （k0）的图象与直线 AC、直线 BC 交于点 E、D，若ODE 是 5 阶三角形，直接写出所有可能的 k 的值28 已知：如图 1，菱形 ABCD 的边长为 6，DAB=60，点 E 是 AB 的中点，连接 AC、EC点 Q 从点 A出发，沿折线 ADC 运动，同时点 P 从点 A 出发，沿射线 AB 运动，P、Q 的速度均为每秒 1 个单位长度；以 PQ 为边在 PQ 的左侧作等边PQF，PQF 与AEC 重叠部分的面积为 S，当点 Q
11、 运动到点 C 时 P、Q 同时停止运动，设运动的时间为 t（1）当等边PQF 的边 PQ 恰好经过点 D 时，求运动时间 t 的值；当等边PQF 的边 QF 恰好经过点 E 时，求运动时间 t 的值；（2）在整个运动过程中，请求出 S 与 t 之间的函数关系式和相应的自变量 t 的取值范围；（3）如图 2，当点 Q 到达 C 点时，将等边PQF 绕点 P 旋转 （0360），直线 PF 分别与直线AC、直线 CD 交于点 M、N是否存在这样的 ，使CMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段CM 的长度；若不存在，请说明理由第 7 页（共 34 页）2016-2017 学年江苏省无锡市江
12、阴中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）12 的绝对值是（ ）A2 B2 C D【考点】绝对值【分析】根据绝对值的定义，可直接得出2 的绝对值【解答】解：|2|=2故选 B【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质2下列计算正确的是（ ）A2aa=1 Ba 2+a2=2a4 Ca 2a3=a5 D（ab） 2=a2b 2【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，即可解答【解答】解：A.2aa=a，故错误；Ba 2+a2=2a2，故错误；Ca 2a3=a5，
13、正确；D（ab） 2=a22ab+b 2，故错误；故选：C【点评】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式3已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x2x2a=0 的一个解，则 a 的值为（ ）A0 B1 C1 D2【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义第 8 页（共 34 页）【专题】方程思想【分析】把方程的解代入方程，可以求出字母系数 a 的值【解答】解：x=2 是方程的解，422a=0a=1故本题选 C【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值4将 161000 用科学记数法表示为（ ）A0.16110 6
14、B1.6110 5C16.110 4D16110 3【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：161000=1.6110 5故选 B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x26x+8=0 的一个根
15、，则这个三角形的周长是（ ）A9 B11 C13 D11 或 13【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可【解答】解：解方程 x26x+8=0 得，x=2 或 4，则第三边长为 2 或 4边长为 2，3，6 不能构成三角形；而 3，4，6 能构成三角形，所以三角形的周长为 3+4+6=13，第 9 页（共 34 页）故选：C【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯6若一个多边形的内角和为
16、1080，则这个多边形的边数为（ ）A6 B7 C8 D9【考点】多边形内角与外角【分析】首先设这个多边形的边数为 n，由 n 边形的内角和等于 180（n2），即可得方程180（n2）=1080，解此方程即可求得答案【解答】解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：180（n2）=1080，解得：n=8故选 C【点评】此题考查了多边形的内角和公式此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用7已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）A20cm 2 B20cm 2C40cm 2 D40cm 2【考点】圆锥的计算【专题】计算题【分析】圆锥的侧
17、面积=底面周长母线长2，把相应数值代入即可求解【解答】解：圆锥的侧面积=2452=20故选：A【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长8如图，点 D 是ABC 的边 AC 的上一点，且ABD=C；如果 = ，那么 =（ ）第 10 页（共 34 页）A B C D【考点】相似三角形的判定与性质【专题】常规题型【分析】证明ABDACB，利用相似的性质求解即可【解答】解：点 D 是ABC 的边 AC 的上一点，且ABD=C，且BAD=CAB，ABDACB，如果 = = = = ，AD=x，CD=3x，AB 2=ACAD，AB
18、=2x =故：选 A【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明ABDACB，由 = 设AD=x，CD=3x，根据相似的性质求解9如图，已知O 的半径 OD 与弦 AB 互相垂直，垂足为点 C，若 AB=16cm，CD=6cm，则O 的半径为（ ）A cm B10cm C8cm D cm【考点】垂径定理；勾股定理【专题】计算题第 11 页（共 34 页）【分析】连结 OA，如图，设O 的半径为 r，根据垂径定理得到 AC=BC= AB=8，再在 RtOAC 中利用勾股定理得到（r6） 2+82=r2，然后解方程求出 r 即可【解答】解：连结 OA，如图，设O 的半径为 r，ODA
19、B，AC=BC= AB=8，在 RtOAC 中，OA=r，OC=ODCD=r6，AC=8，（r6） 2+82=r2，解得 r= ，即O 的半径为 cm故选 A【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理10如图，RtABC 中，ACBC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，DEAD 交 AB 于点 E，M 为 AE 的中点，BFBC 交 CM 的延长线于点 F，BD=4，CD=3下列结论AED=ADC； = ；ACBE=12 ；3BF=4AC，其中结论正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】相似三角形的判定与性质【专题】
20、综合题；压轴题第 12 页（共 34 页）【分析】AED=90EAD，ADC=90DAC，EAD=DAC；易证ADEACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，AC 不一定等于 4当 FCAB 时成立；连接 DM，可证 DMBFAC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易证FMBCMA，得比例线段求解【解答】解：AED=90EAD，ADC=90DAC，EAD=DAC，AED=ADC故本选项正确；AD 平分BAC， = = ，设 AB=4x，则 AC=3x，在直角ABC 中，AC2+BC2=AB2，则（3x）2+49=（4x）2，解得：x= ，EAD=DAC，ADE=ACD=90，ADEACD，得
21、 DE：DA=DC：AC=3： ，故不正确；由知AED=ADC，BED=BDA，又DBE=ABD，BEDBDA，DE：DA=BE：BD，由知 DE：DA=DC：AC，BE：BD=DC：AC，ACBE=BDDC=12故本选项正确；连接 DM，在 RtADE 中，MD 为斜边 AE 的中线，则 DM=MAMDA=MAD=DAC，DMBFAC，由 DMBF 得 FM：MC=BD：DC=4：3；由 BFAC 得FMBCMA，有 BF：AC=FM：MC=4：3，3BF=4AC第 13 页（共 34 页）故本选项正确综上所述，正确，共有 3 个故选 C【点评】此题重点考查相似三角形的判定和性质，综合性强，
22、有一定难度二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）11因式分解：a 23a= a（a3） 【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接把公因式 a 提出来即可【解答】解：a 23a=a（a3）故答案为：a（a3）【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是 a 是解题的关键12函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 x2 【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件【专题】计算题【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0【解答】解：要使分式有意义，即：x20，解得：x2第 14 页（共 34 页）故答案为：x2
23、【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为 013（m+2）x |m|+4x+3m+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m= 2 【考点】一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义得出 m+20，|m|=2，求出即可【解答】解：（m+2）x |m|+4x+3m+1=0 是关于 x 的一元二次方程，m+20，|m|=2，解得：m=2，故答案为：2【点评】本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键14设 x1，x 2是一元二次方程 x23x2=0 的两个实数根，则 x1+x2= 3 【考点】根与系数的关系【专题】方程思想
24、【分析】一元二次方程 x23x2=0 的两个实数根分别为 x1和 x2，根据根与系数的关系即可得出答案【解答】解：一元二次方程 x23x2=0 的两个实数根分别为 x1和 x2，根据韦达定理，x 1+x2=3，故答案为：3【点评】本题考查了根与系数的关系，难度不大，关键掌握 x1，x 2是方程 x2+px+q=0 的两根时，x1+x2=p，x 1x2=q15如图，在ABC 中，DEBC，AD=1，AB=3，DE=2，则 BC= 6 【考点】相似三角形的判定与性质【分析】根据 DEBC，可判断ADEABC，利用对应边成比例的知识可求出 BC【解答】解：DEBC，第 15 页（共 34 页）ADE
25、ABC， = ，即 =解得：BC=6故答案为：6【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握：相似三角形的对应边成比例16如图，在O 中，AB 为O 的弦，点 C 为圆上异于 A、B 的一点，OAB=25，则ACB= 65 【考点】圆周角定理【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出AOB 的度数，根据圆周角定理计算即可【解答】解：OA=OB，OAB=25，AOB=1802525=130，ACB= AOB=65，故答案为：65【点评】本题考查的是圆周角定理和三角形内角和定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关
26、键17某电动自行车厂三月份的产量为 1000 辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到 1210 辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为 10 %【考点】一元二次方程的应用【专题】增长率问题【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是 1000（1+x），五月份的产量是1000（1+x） 2，据此列方程解答即可【解答】解：设四、五月份的月平均增长率为 x，根据题意得，1000（1+x） 2=1210，解得 x1=0.1，x 2=2.1（负值舍去），第 16 页（共 34 页）所以该厂四、五月份的月平均增长率为 10%【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元
27、二次方程原来的数量为 a，平均每次增长或降低的百分率为 x 的话，经过第一次调整，就调整到 a（1x），再经过第二次调整就是a（1x）（1x）=a（1x） 2增长用“+”，下降用“”18如图，RtABC 中，BAC=90，将ABC 绕点 C 逆时针旋转，旋转后的图形是ABC，点 A 的对应点 A落在中线 AD 上，且点 A是ABC 的重心，AB与 BC 相交于点 E，那么 BE：CE= 4：3 【考点】旋转的性质；三角形的重心【专题】计算题；平移、旋转与对称【分析】先证明 DA= CB，由 DACB，得 = = 即可解决问题【解答】证明：BAC=90，A是ABC 重心，BD=DC=AD，DA=
28、 AA= AD= BC，ACBS 是由ABC 旋转得到，CA=CA，BC=CB，ACB=ACB=DAC，CAB=90，CAA=CAA=DAC，DAB+CAA=90，B+ACB=90，DAB=BDACB， = = ，设 DE=k，则 EC=6k，BE=DC=7k，BE=8k，BE：CE=8k：6k=4：3故答案为 4：3【点评】本题考查三角形重心、旋转平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是发现 DA= CB，记住三角形的重心把中线分成 1：2 两部分，属于中考常考题型第 17 页（共 34 页）三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分）19计算：（1）（2） 2 +（3） 0（2）4（
29、x 2+2）4（x+1）（x1）【考点】平方差公式；零指数幂【专题】计算题；整式【分析】（1）原式利用乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可得到结果；（2）原式利用平方差公式计算，去括号合并即可得到结果【解答】解：（1）原式=44+1=1； （2）原式=4x 2+84x 2+4=12【点评】此题考查了平方差公式，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20解方程：（1）x 2+2x=0（2）x 24x+3=0【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】（1）利用因式分解法把方程化为 x=0 或 x+2=0，然后解两个一次方程即可；（2）利用十字相乘法把要求的式子进行因式分解，
30、得到两个一元一次方程，然后求解即可【解答】解：（1）x 2+2x=0，x（x+2）=0，x1=0，x 2=2；（2）x 24x+3=0，（x3）（x1）=0，x1=3，x 2=1【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法21已知关于 x 的一元二次方程 x2+3x+1m=0 有两个不相等的实数根（1）求 m 的取值范围；第 18 页（共 34 页）（2）若 m 为负整数，求此时方程的根【考点】根的判别式【分析】（1）由方程有两个不等实数根可得 b24ac0，代入数据即可得出关于 m 的一元一次不等式
31、，解不等式即可得出结论；（2）根据 m 为负整数以及（1）的结论可得出 m 的值，将其代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出结论【解答】解：（1）关于 x 的一元二次方程 x2+3x+1m=0 有两个不相等的实数根，=b 24ac=3 24（1m）0，即 5+4m0，解得：m m 的取值范围为 m （2）m 为负整数，且 m ，m=1将 m=1 代入原方程得：x 2+3x+2=（x+10）（x+2）=0，解得：x 1=1，x 2=2故当 m=1 时，此方程的根为 x1=1 和 x2=2【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解方程，解题的关键：（1）由根的情况得出关于
32、m 的一元一次不等式；（2）确定 m 的值本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键22如图，在ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E（1）求证：BE=CE；（2）若 BD=1，BE=2，求 AC 的长【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一即可证明（2）由BEDBAC，得 ，列出方程即可解决问题第 19 页（共 34 页）【解答】 （1）证明：连结 AE，如图，AC 为O 的直径，AEC=90，AEBC，而 AB=AC，BE=CE（2）连结 DE，如图，
33、BE=CE=2，BC=4，BED=BAC，而DBE=CBA，BEDBAC， ，即 ，BA=8，AC=BA=8【点评】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型23如图，已知 AB=DC，AC=DB，AC 与 DB 交于点 M过点 C 作 CNBD，过点 B 作 BNAC，CN 与 BN 交于点 N（1）求证：ABCDCB；（2）求证：四边形 BNCM 是菱形第 20 页（共 34 页）【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】（1）利用 SSS 定理可直接判定ABCDCB；（2）首先根据 CNB
34、D、BNAC，可判定四边形 BNCM 是平行四边形，再根据ABCDCB 可得1=2，进而可得 BM=CM，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论【解答】解：（1）在ABC 和DCB 中 ，ABCDCB（SSS）；（2）CNBD、BNAC，四边形 BNCM 是平行四边形，ABCDCB，1=2，BM=CM，四边形 BNCM 是菱形【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形24如图，四边形 ABCD 内接于O，BD 是O 的直径，过点 A 作 AECD，交 CD 的延长线于点 E，DA 平分BDE（1）求证：AE 是O 的切线；第 21 页
35、（共 34 页）（2）已知 AE=4cm，CD=6cm，求O 的半径【考点】切线的判定；圆周角定理【分析】（1）连接 OA，因为点 A 在O 上，所以只要证明 OAAE 即可；由同圆的半径相等得：OA=OD，则ODA=OAD，根据角平分线可知：OAD=EDA，所以 ECOA，由此得 OAAE，则 AE 是O 的切线；（2）过点 O 作 OFCD，垂足为点 F，证明四边形 AOFE 是矩形，得 OF=AE=4cm，由垂径定理得：DF=3，根据勾股定理求半径 OD 的长【解答】（1）证明：连结 OA，OA=OD，ODA=OAD，DA 平分BDE，ODA=EDA，OAD=EDA，ECOA，AECD，
36、OAAE，点 A 在O 上，AE 是O 的切线；（2）过点 O 作 OFCD，垂足为点 F，OAE=AED=OFD=90，四边形 AOFE 是矩形，OF=AE=4cm，又OFCD，DF= CD=3cm，在 RtODF 中，OD= =5cm，即O 的半径为 5cm第 22 页（共 34 页）【点评】本题考查了切线的判定和性质，在判定一条直线为圆的切线时，分两种情况判定：当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径即可，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，此题属于第二种情况：连接 OA，是半径，
37、证明垂直即可25某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价 x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系：每箱售价 x（元） 68 67 66 65 40每天销量 y（箱） 40 45 50 55 180已知 y 与 x 之间的函数关系是一次函数（1）求 y 与 x 的函数解析式；（2）水蜜桃的进价是 40 元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利 1600 元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从 7 月 17 号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了 m%，同时水蜜桃的进货成本下降了 10%，销售量也因此比原来每天
38、获得 1600 元盈利时上涨了 2m%（m100），7 月份（按 31 天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比 7 月份降价销售前的销售总盈利少 7120 元，求 m 的值【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）直接根据题意表示每箱的利润进而得出总利润等式求出答案；（3）根据题意分别表示出降价前后的利润进而得出等式求出答案第 23 页（共 34 页）【解答】解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系是：y=kx+b，根据题意可得： ，解得： ，故 y 与 x 之间的函数关系是：y=5x+380；（2）由题意可得：（x40）（
39、5x+380）=1600，解得：x 1=56，x 2=60，顾客要得到实惠，售价低，所以 x=60 舍去，所以 x=56，答：要使顾客获得实惠，每箱售价是 56 元；（3）在（2）的条件下，x=56 时，y=100，由题意得到方程：160016=56（1m%）40（110%）100（1+2m%）15+7120，解得：m 1=20，m 2= （舍去），答：m 的值为 20【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知 7 月份各量之间的变化得出等量关系进而求出是解题关键26如图，ABC 中，ACB=90，BC=6，AB=10点 Q 与点 B 在 AC 的同侧，且 AQAC（
40、1）如图 1，点 Q 不与点 A 重合，连结 CQ 交 AB 于点 P设 AQ=x，AP=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）是否存在点 Q，使PAQ 与ABC 相似，若存在，求 AQ 的长；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，过点 B 作 BDAQ，垂足为 D将以点 Q 为圆心，QD 为半径的圆记为Q若点 C 到Q 上点的距离的最小值为 8，求Q 的半径第 24 页（共 34 页）【考点】圆的综合题【分析】（1）先由平行线分线段成比例得出， 代值即可得出结论；（2）先判断出要使PAQ 与ABC 相似，只有QPA=90，进而由相似得出比例式即可得出结论；（
41、3）分点 C 在O 内部和外部两种情况，用勾股定理建立方程求解即可【解答】解：（1）AQAC，ACB=90，AQBC， ，BC=6，AC=8，AB=10，AQ=x，AP=y， ， ；（2）ACB=90，而PAQ 与PQA 都是锐角，要使PAQ 与ABC 相似，只有QPA=90，即 CQAB，此时ABCQAC，则 ，AQ= 故存在点 Q，使ABCQAP，此时 AQ= ；（3）点 C 必在Q 外部，此时点 C 到Q 上点的距离的最小值为 CQDQ设 AQ=x当点 Q 在线段 AD 上时，QD=6x，QC=6x+8=14x，x 2+82=（14x） 2，解得：x= ，即Q 的半径为 第 25 页（共
42、 34 页）当点 Q 在线段 AD 延长线上时，QD=x6，QC=x6+8=x+2，x 2+82=（x+2） 2，解得：x=15，即Q 的半径为 9Q 的半径为 9 或 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，相似三角形的判定和性质，极值问题，勾股定理，解本题的关键是判断出 CQAB，分点 C 在圆内和圆外两种情况27如果一个三角形的三边 a，b，c 能满足 a2+b2=nc2（n 为正整数），那么这个三角形叫做“n 阶三角形”如三边分别为 1、2、 的三角形满足 12+22=1（ ） 2，所以它是 1 阶三角形，但同时也满足（ ） 2+22=912，所以它也是 9 阶三角形显然，等边三
43、角形是 2 阶三角形，但 2 阶三角形不一定是等边三角形（1）在我们熟知的三角形中，何种三角形一定是 3 阶三角形？（2）若三边分别是 a，b，c（abc）的直角三角形是一个 2 阶三角形，求 a：b：c（3）如图 1，直角ABC 是 2 阶三角形，ACBCAB，三条中线 BD、AE、CF 所构成的三角形是何种三角形？四位同学作了猜想：A 同学：是 2 阶三角形但不是直角三角形；B 同学：是直角三角形但不是 2 阶三角形；C 同学：既是 2 阶三角形又是直角三角形； D 同学：既不是 2 阶三角形也不是直角三角形请你判断哪位同学猜想正确，并证明你的判断（4）如图 2，矩形 OACB 中，O 为
44、坐标原点，A 在 y 轴上，B 在 x 轴上，C 点坐标是（2，1），反比例函数y= （k0）的图象与直线 AC、直线 BC 交于点 E、D，若ODE 是 5 阶三角形，直接写出所有可能的 k 的值【考点】反比例函数综合题第 26 页（共 34 页）【分析】（1）等腰直角三角形为 3 阶三角形，根据题中的新定义验证即可；（2）根据题中的新定义列出关系式，再利用勾股定理列出关系式，即可确定出 a，b，c 的比值；（3）C 同学猜想正确，由直角ABC 是 2 阶三角形，根据（2）中的结论得出 AC，BC，AB 之比，设出三边，表示出 AE，BD，CF，利用题中的新定义判断即可；（4）根据图形设出
45、E 与 D 坐标，利用勾股定理表示出 OE2，OD 2以及 ED2，由ODE 是 5 阶三角形，分类讨论列出关于 k 的方程，求出方程的解即可得到 k 的值【解答】解：（1）等腰直角三角形一定是 3 阶三角形，理由为：设等腰直角三角形两直角边为 a，a，根据勾股定理得：斜边为 a，则有 a2+（ a） 2=3a2，即等腰直角三角形一定是 3 阶三角形；（2）ABC 为一个 2 阶直角三角形，c 2=a2+b2，且 c2+a2=2b2，两式联立得：2a 2+b2=2b2，整理得：b= a，c= a，则 a：b：c=1： ： ；（3）C 同学猜想正确，证明如下：如图，ABC 为 2 阶直角三角形，
46、AC：BC：AB=1： ： ，设 BC=2 ，AC=2，AB=2 ，AE，BD，CF 是 RtABC 的三条中线，AE 2=6，BD 2=9，CF 2=3，BD 2+CF2=2AE2，AE 2+CF2=BD2，BD，AE，CF 所构成的三角形既是直角三角形，又是 2 阶三角形；（4）根据题意设 E（k，1），D（2， ），则 AE=k，EC=2k，BD= ，CD=1 ，OA=1，OB=2，第 27 页（共 34 页）根据勾股定理得：OE 2=1+k2，OD 2=4+ ，ED 2=（2k） 2+（1 ） 2，由ODE 是 5 阶三角形，分三种情况考虑：当 OE2+OD2=5ED2时，即 1+k2+4+ =5（2k） 2+（1 ） 2，整理得：k 25k+4=0，即（k1）（k4）=0，解得：k=1 或 k=4；当 OE2+ED2=5OD2时，（2k） 2+（1 ） 2+1+k2=5（4+ ）
